算法A时间复杂度O(n²)，算法B时间复杂度为O(n³)，为什么选择算法B而不选算法A的6个理由?
在我看来，大多数情况下我们确实会优先选择时间复杂度更低的算法，也就是在您提到的例子里是算法A（O(n²)）。毕竟，更快的执行速度通常意味着更好的用户体验和更少的资源消耗。
但是，任何事情都有例外，而且在某些特定的场景下，一个看似“慢”的算法（比如算法B，O(n³)）反而可能比一个“快”的算法（算法A，O(n²)）更受青睐。我仔细想了想，大概有这么几个可能的原因，虽然听起来有点反直觉，但确实存在：
1. 算法A在某些情况下比理论上更慢： 时间复杂度只是一个宏观的描述。它告诉我们当输入规模n“足够大”时，算法的执行时间增长趋势。但它并不包含一些“常数因子”或者“低阶项”。想象一下，如果算法A的实际运行时间是 T(n) = 10000n² + 50n + 100，而算法B的实际运行时间是 T(n) = 0.001n³ + 10n + 5。当n很小的时候，算法A的那个大大的常数项（10000）可能会让它比算法B慢很多。当然，这需要特定的数值，但理论上，如果算法A有非常大的常数开销，或者在实际实现中有大量的函数调用、复杂的内存访问等，它在小到中等规模的数据集上可能表现不如算法B。
2. 算法B在某些特定输入上表现出色： 有些算法的平均时间复杂度是O(n³)，但它对某些特定类型的数据非常敏感。如果你的应用场景恰好很少遇到这些“ worstcase”输入，那么算法B的实际性能可能会远好于其理论最坏情况，甚至超过算法A在所有情况下的表现。反之，如果算法A是那种即使输入不是最坏情况，依然会受到某些因素影响，那么算法B即使理论上慢，在实际操作中也可能显得更可靠。
3. 算法B的实现更简单，维护成本更低： 作为一个开发者，我们不仅要考虑算法的速度，还要考虑开发和维护的成本。有时候，一个O(n³)的算法可能只需要几行代码，逻辑非常直观，容易理解和调试。而一个O(n²)的算法可能因为追求极致性能，引入了非常复杂的逻辑、数据结构或者优化技巧，导致代码量巨大、可读性差，一旦出现问题，调试起来会非常耗时，后期维护也困难重重。对于一个生命周期不长的项目，或者对性能要求不是那么极端到非O(n²)不可的场景，选择一个更易于开发的算法B可能就是明智的选择。
4. 算法B在内存占用或资源消耗上更优： 时间复杂度关注的是CPU的执行时间，但现代计算机系统还有很多其他资源，比如内存、磁盘IO、网络带宽等。有可能算法A虽然在理论时间上更快，但它为了达到这个速度，需要消耗大量的内存，甚至可能导致频繁的内存分配和释放，从而引发性能瓶颈。而算法B，尽管计算量大，但可能对内存的需求非常低，或者它的计算过程可以非常高效地利用缓存，反而使得整体的资源消耗更小，在资源受限的环境下（比如嵌入式设备），这可能是更重要的考量。
5. 算法A的常量因子过大，导致在实际应用范围内无优势： 就像前面提到的，时间复杂度忽略了常数因子。但这个常数因子有时候是极其重要的。假设算法A的实际时间是 T_A(n) = 1000n²，而算法B的实际时间是 T_B(n) = 5n³。如果我们分析一下 n=10 时，T_A(10) = 1000 100 = 100,000， T_B(10) = 5 1000 = 5000。在这里，算法B明显更快。当然，随着n增大，n²的增长速度会赶超n³的常数倍数，但如果我们的应用场景很少会处理非常大的n，那么这个“理论上”的优势就根本发挥不出来，甚至会被算法B反超。
6. 算法B的解决方案更具通用性或灵活性： 有时候，一个算法虽然在某个特定问题上看起来效率不高，但它可能拥有更广泛的适用性，或者更容易扩展和修改以适应未来可能出现的需求变化。比如，一个O(n³)的算法可能是一种通用的搜索或优化方法，它虽然不如为特定问题量身定制的O(n²)算法快，但它可以轻松地应用于解决一系列相似但又不完全相同的问题，从而节省了为每个问题重新设计和实现算法的时间和精力。在需要快速原型开发或者面对不确定需求的场景下，这种通用性可能比单纯的速度更宝贵。
所以，虽然我们总是强调选择效率更高的算法，但在实际的项目开发中，我们不能只盯着时间复杂度这一个指标。很多时候，我们需要综合考虑算法的实际表现、开发成本、维护成本、资源消耗以及问题的特性，才能做出最合适的选择。
但是，任何事情都有例外，而且在某些特定的场景下，一个看似“慢”的算法（比如算法B，O(n³)）反而可能比一个“快”的算法（算法A，O(n²)）更受青睐。我仔细想了想，大概有这么几个可能的原因，虽然听起来有点反直觉，但确实存在：
1. 算法A在某些情况下比理论上更慢： 时间复杂度只是一个宏观的描述。它告诉我们当输入规模n“足够大”时，算法的执行时间增长趋势。但它并不包含一些“常数因子”或者“低阶项”。想象一下，如果算法A的实际运行时间是 T(n) = 10000n² + 50n + 100，而算法B的实际运行时间是 T(n) = 0.001n³ + 10n + 5。当n很小的时候，算法A的那个大大的常数项（10000）可能会让它比算法B慢很多。当然，这需要特定的数值，但理论上，如果算法A有非常大的常数开销，或者在实际实现中有大量的函数调用、复杂的内存访问等，它在小到中等规模的数据集上可能表现不如算法B。
2. 算法B在某些特定输入上表现出色： 有些算法的平均时间复杂度是O(n³)，但它对某些特定类型的数据非常敏感。如果你的应用场景恰好很少遇到这些“ worstcase”输入，那么算法B的实际性能可能会远好于其理论最坏情况，甚至超过算法A在所有情况下的表现。反之，如果算法A是那种即使输入不是最坏情况，依然会受到某些因素影响，那么算法B即使理论上慢，在实际操作中也可能显得更可靠。
3. 算法B的实现更简单，维护成本更低： 作为一个开发者，我们不仅要考虑算法的速度，还要考虑开发和维护的成本。有时候，一个O(n³)的算法可能只需要几行代码，逻辑非常直观，容易理解和调试。而一个O(n²)的算法可能因为追求极致性能，引入了非常复杂的逻辑、数据结构或者优化技巧，导致代码量巨大、可读性差，一旦出现问题，调试起来会非常耗时，后期维护也困难重重。对于一个生命周期不长的项目，或者对性能要求不是那么极端到非O(n²)不可的场景，选择一个更易于开发的算法B可能就是明智的选择。
4. 算法B在内存占用或资源消耗上更优： 时间复杂度关注的是CPU的执行时间，但现代计算机系统还有很多其他资源，比如内存、磁盘IO、网络带宽等。有可能算法A虽然在理论时间上更快，但它为了达到这个速度，需要消耗大量的内存，甚至可能导致频繁的内存分配和释放，从而引发性能瓶颈。而算法B，尽管计算量大，但可能对内存的需求非常低，或者它的计算过程可以非常高效地利用缓存，反而使得整体的资源消耗更小，在资源受限的环境下（比如嵌入式设备），这可能是更重要的考量。
5. 算法A的常量因子过大，导致在实际应用范围内无优势： 就像前面提到的，时间复杂度忽略了常数因子。但这个常数因子有时候是极其重要的。假设算法A的实际时间是 T_A(n) = 1000n²，而算法B的实际时间是 T_B(n) = 5n³。如果我们分析一下 n=10 时，T_A(10) = 1000 100 = 100,000， T_B(10) = 5 1000 = 5000。在这里，算法B明显更快。当然，随着n增大，n²的增长速度会赶超n³的常数倍数，但如果我们的应用场景很少会处理非常大的n，那么这个“理论上”的优势就根本发挥不出来，甚至会被算法B反超。
6. 算法B的解决方案更具通用性或灵活性： 有时候，一个算法虽然在某个特定问题上看起来效率不高，但它可能拥有更广泛的适用性，或者更容易扩展和修改以适应未来可能出现的需求变化。比如，一个O(n³)的算法可能是一种通用的搜索或优化方法，它虽然不如为特定问题量身定制的O(n²)算法快，但它可以轻松地应用于解决一系列相似但又不完全相同的问题，从而节省了为每个问题重新设计和实现算法的时间和精力。在需要快速原型开发或者面对不确定需求的场景下，这种通用性可能比单纯的速度更宝贵。
所以，虽然我们总是强调选择效率更高的算法，但在实际的项目开发中，我们不能只盯着时间复杂度这一个指标。很多时候，我们需要综合考虑算法的实际表现、开发成本、维护成本、资源消耗以及问题的特性，才能做出最合适的选择。
网友意见
- 空间复杂度过大，空间换时间但目标机器空间不足。
- 数据量过小，效率更高的算法耗用时间相对更长。如常数时间每次查询都需要1毫秒，而平方复杂度在数据量低于某个值时只需几十个纳秒，那么显然后者为好。一个典型案例就是对quick sort算法的优化：当数据分割到小于等于6个元素时改用复杂度高半级的冒泡排序，最终表现却比纯粹的quick sort更好。另一个案例是哈希表，当数据量较小时二分法查找只需十几次访问，哈希表本身的哈希算法却可能需要执行很多条指令（当然现在因为内存速率和CPU严重不匹配，cache miss本身消耗的额外时间可能就足够执行哈希算法了，具体哪个更好用需要先做测试才能确定）。
- 时间消耗不稳定，如常数时间的哈希表在冲突发生时退化到链表，而对数复杂度的二分法稳定在对数复杂度。那么对于实时系统，哈希表可能就是不可行的。
- 数据准备/维护代价过大。比如一个对数查询效率的数据结构，插入新数据的消耗可能是指数复杂度。
- 精度不足。如布隆过滤器效率O（1），但只能确认数据不在集合中。而它报告数据存在时，数据却可能不在，也就是存在误判。类似的，有很多效率极高的近似算法，在需要精确解时显然是不能用的。
- 无法满足可靠性要求。比如如果某高效算法无法做到事务级可靠性（ACID）、或者在多线程场合表现极差，那么在可靠性不可忽略的场合自然不能使用。
- 对数据性质有苛刻要求。比如基数排序效率可达O（N），但要求数据必须是有限位的数字、每位符号数目有限且每个数字位满足进位值类似的权值约束。
好像一不小心说了七条，但似乎并没能涵盖所有情况...
问题：输入两个 的矩阵 ，计算矩阵乘积
实际用的算法：
直接法，一个一个老老实实乘。利用硬件的乘加融合、SIMD、Tensor Core，有明显的优化效果。
Strassen算法：
三个维度都对半切 ， ，
如果是直接法，就用左边的8个小矩阵块，可以通过4次小矩阵块的加法和8次小矩阵块的乘法，算出右边4个小矩阵块
而Strassen算法把计算公式变形，变成18次矩阵加法（ ）和7次矩阵乘法（递归的 ），具体看这篇文章
Strassen算法的两个问题：
- 复杂度低阶项大。也就是小矩阵块加法从4次变成18次，虽然平方是低阶项，但是在实际的有限规模下不能忽略。而且，矩阵加法的主要开销不是每个元素的浮点加法，而是内存访问（或者说cache的启动缺失）。
- 浮点精度低。 和 不是2个乘积之和，而是4个乘积之和，把4个乘积的误差累积起来了；递归算下去，对角线附近的元素要经过 次乘加的误差累积。
目前已知的渐进复杂度的极限：
把上面的数字一般化，每个方向分成 份，变成 次矩阵乘法，复杂度变成
考虑更大的 。比如 时， 不一定是 。因为两层合到一起以后有更多的公式变形机会，乘法次数有可能更少，渐进复杂度更低；但是公式变形的代价是加法更多，低阶项更大，有可能精度更低。
目前已知的渐进复杂度的极限是令 ，取 得到的极限。
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在我看来，大多数情况下我们确实会优先选择时间复杂度更低的算法，也就是在您提到的例子里是算法A（O(n²)）。毕竟，更快的执行速度通常意味着更好的用户体验和更少的资源消耗。但是，任何事情都有例外，而且在某些特定的场景下，一个看似“慢”的算法（比如算法B，O(n³)）反而可能比一个“快”的算法（算法A，............. -
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