如何证明魏尔斯特拉斯函数处处不可导？
揭秘魏尔斯特拉斯函数：一个“坏”函数的诞生与无处不在的“不可导”
数学的世界里，总有一些函数看似简单，却颠覆了我们对“光滑”和“连续”的直观认知。其中，魏尔斯特拉斯函数便是这样一个标志性的存在。它是一个处处连续，却又处处不可导的奇特函数，如同数学中的一个悖论，挑战着我们对导数概念的理解。那么，究竟是什么让这个函数如此“特别”，我们又该如何一步步揭开它“处处不可导”的面纱呢？
什么是魏尔斯特拉斯函数？
在我们深入证明之前，先来认识一下这位“不寻常”的函数。魏尔斯特拉斯函数的一般形式可以写成：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} a^n cos(b^n pi x)$$
其中，我们需要满足一些特定的条件来保证它处处连续且处处不可导：
$0 < a < 1$ (a 是一个介于0和1之间的数)
$b$ 是一个奇整数
$ab > 1 + frac{3}{2}pi$
举个具体的例子，最经典的版本是：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} left(frac{1}{2} ight)^n cosleft(pi 3^n x ight)$$
在这个例子中，$a = frac{1}{2}$，$b = 3$。它们满足了上述条件：$0 < frac{1}{2} < 1$，$3$ 是奇整数，并且 $(frac{1}{2})(3) = frac{3}{2} < 1 + frac{3}{2}pi$ 并不成立，所以这里我们选取的参数需要稍微调整，比如：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} left(frac{1}{2} ight)^n cosleft(2pi 3^n x ight)$$
这里 $a = frac{1}{2}$, $b = 3$ 并且我们加入了 $2pi$，这样 $b$ 就不是奇整数了，为了保证它的性质我们调整为：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} left(frac{1}{2} ight)^n cosleft(pi 3^n x ight)$$
当 $a = frac{1}{2}$，$b = 3$ 时，$ab = frac{3}{2}$。这个条件与 $ab > 1 + frac{3}{2}pi$ 不符，说明经典的例子并不完全符合严格的证明条件，但它已经足够展示其思想。
更严谨的参数选择，例如：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} left(frac{1}{4} ight)^n cosleft(2^n pi x ight)$$
这里 $a = frac{1}{4}$，$b = 2$。为了满足“b 是奇整数”的要求，我们重新审视公式的参数。事实上，许多证明所用的参数组合不同，但核心思想是一致的。我们暂且搁置具体的参数选择，先理解其证明的逻辑。
魏尔斯特拉斯函数看上去像是由许多锯齿状的波叠加而成。虽然每个波的振幅越来越小，但它们叠加产生的“褶皱”却越来越密集，最终形成了一个没有平滑之处的曲线。
为什么直观不行？导数是如何定义的？
在证明之前，我们需要回顾一下导数的定义。一个函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，意味着在该点存在一个极限：
$$f'(x_0) = lim_{h o 0} frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h}$$
这个极限表示的是函数在 $x_0$ 点附近切线的斜率。如果这个极限存在且不趋于无穷，我们就说函数在 $x_0$ 点是可导的。
对于魏尔斯特拉斯函数，我们希望证明的是，对于任意的点 $x_0$，上述极限都不存在。 这意味着无论我们如何缩小 $h$ 的范围，这个差商 $frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h}$ 都无法收敛到一个确定的值。
证明的思路：放大与收敛的对抗
证明魏尔斯特拉斯函数处处不可导的核心思想是构造一个序列的扰动，使得在任何可能的“切点”附近，函数的变化总是非常剧烈，且无法形成一个稳定的斜率。 想象一下，你试图在海浪拍打的沙滩上找到一个平滑的“切线”，这几乎是不可能的。魏尔斯特拉斯函数就是这样一个“数学上的海浪”。
证明通常采用反证法或者直接构造一个收敛的差商序列证明其不存在。下面我们来详细阐述一种常见的证明思路。
关键步骤一：观察函数在特定点附近的性质
我们先来看函数在某个特定点 $x_0$ 附近的表现。为了证明处处不可导，我们实际上需要证明对于任意的 $x_0$，导数都不存在。
考虑差商 $frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h}$：
$$frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} = frac{1}{h} sum_{n=0}^{infty} a^n (cos(b^n pi (x_0 + h)) cos(b^n pi x_0))$$
利用三角函数的差角公式 $cos A cos B = 2 sinleft(frac{A+B}{2} ight) sinleft(frac{AB}{2} ight)$：
$$ cos(b^n pi (x_0 + h)) cos(b^n pi x_0) = 2 sinleft(b^n pi x_0 + frac{b^n pi h}{2} ight) sinleft(frac{b^n pi h}{2} ight) $$
所以，差商变为：
$$frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} = frac{1}{h} sum_{n=0}^{infty} a^n left(2 sinleft(b^n pi x_0 + frac{b^n pi h}{2} ight) sinleft(frac{b^n pi h}{2} ight) ight)$$
我们可以将 $frac{1}{h}$ 分配到 $sinleft(frac{b^n pi h}{2} ight)$ 上，并利用 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$ 的性质。
对于小的 $h$，$sinleft(frac{b^n pi h}{2} ight) approx frac{b^n pi h}{2}$。代入后，我们期望差商的极限是：
$$lim_{h o 0} frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} = sum_{n=0}^{infty} a^n left(2 sin(b^n pi x_0) frac{b^n pi}{2} ight)$$
如果这个级数收敛，那么导数就存在了。然而，魏尔斯特拉斯函数的参数选择正是为了阻止这个极限的稳定存在。
关键步骤二：选择合适的 $h$ 序列
要证明极限不存在，我们可以尝试找到一系列趋近于0的 $h_k$ 值，使得对应的差商序列 $frac{f(x_0 + h_k) f(x_0)}{h_k}$ 趋于不同的值或者发散。
这里设计的 $h_k$ 非常巧妙。我们选择 $h_k$ 的形式使得在级数的每一项中，$cos(b^n pi (x_0 + h_k))$ 的值能够被控制在最“极端”的状态，并且每一项的贡献能够叠加起来，而不是相互抵消。
考虑选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k$ 恰好是偶数倍的 $pi$，而其他项的 $b^n pi h_k$ (n ≠ k) 相对“小”，不至于破坏整体的趋势。
具体来说，我们可以选取 $h_k = frac{2pi}{b^k}$（或者稍微调整，以适应参数）。
我们选择 $h$ 的方式是让某一项的 $cos$ 函数项中的参数 $b^n pi x_0 + frac{b^n pi h}{2}$ 尽可能地接近 $pi$ 的整数倍，而其他项的参数变化相对较小。
更精确地说，我们选择一个序列 $h_k o 0$。对于魏尔斯特拉斯函数，我们通常会选择 $h_k$ 的形式与 $b^n$ 相关。例如，选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k$ 是一个可以控制的量。
我们选择 $h_k$ 的方式是让 $b^k pi h_k = pi delta_k$ 其中 $delta_k o 0$ 当 $k o infty$。
或者，我们选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k = frac{pi}{2} + m pi$ (其中 $m$ 为整数)。
让我们聚焦于一个更直接的证明方式，它依赖于泰勒展开和级数的均匀收敛性。
证明的核心思想：放大细节，寻找尖锐的“转折”
想象一下，我们不断放大魏尔斯特拉斯函数的图像。在任何一个足够小的尺度下，它都可能看起来像一个非常陡峭的锯齿。导数衡量的是这种“陡峭程度”的平均值，而魏尔斯特拉斯函数就好像在每一个可能的尺度下，都存在着无穷多的“尖锐转折”。
我们试图证明的是：对于任意给定的 $x_0$ 和任意的 $epsilon > 0$，都存在一个 $h$，使得 $left|frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} L ight| ge epsilon$，其中 $L$ 是任意一个可能的导数值。
为了做到这一点，我们选择一系列的 $h$ 值。令 $x_0$ 为任意一点。我们选择 $h_k$ 序列，使得：
1. $h_k o 0$
2. 在 $n < k$ 的时候，$cos(b^n pi (x_0 + h_k))$ 和 $cos(b^n pi x_0)$ 的差值相对“平滑”。
3. 在 $n = k$ 的时候，$cos(b^k pi (x_0 + h_k))$ 和 $cos(b^k pi x_0)$ 的差值“足够大”，并且可以控制其变化趋势。
4. 在 $n > k$ 的时候，由于 $a^n$ 的减小非常快，这些项的贡献相对较小。
我们选择 $h$ 的具体方式是：让 $x_0 + h$ 位于两个 $b^n pi x$ 值之间，使得 $cos$ 函数在那附近有剧烈的变化。
更确凿的证明方法是构造两个序列 $h_1 o 0$ 和 $h_2 o 0$，使得 $lim_{h_1 o 0} frac{f(x_0 + h_1) f(x_0)}{h_1} eq lim_{h_2 o 0} frac{f(x_0 + h_2) f(x_0)}{h_2}$。
使用泰勒展开和导数定义
我们先来分析 $frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h}$ 的某一项：
$a^n frac{cos(b^n pi (x_0 + h)) cos(b^n pi x_0)}{h}$
使用泰勒展开 $cos(y+z) approx cos(y) z sin(y) frac{z^2}{2} cos(y) + dots$
令 $y = b^n pi x_0$，$z = b^n pi h$。
$a^n frac{(cos(b^n pi x_0) b^n pi h sin(b^n pi x_0) frac{(b^n pi h)^2}{2} cos(b^n pi x_0) + dots) cos(b^n pi x_0)}{h}$
$= a^n frac{b^n pi h sin(b^n pi x_0) frac{(b^n pi h)^2}{2} cos(b^n pi x_0) + dots}{h}$
$= a^n (b^n pi sin(b^n pi x_0) frac{(b^n pi h)^2}{2} cos(b^n pi x_0) + dots)$
当 $h o 0$ 时，主要项是 $a^n b^n pi sin(b^n pi x_0)$。
如果函数可导，导数就是 $sum_{n=0}^{infty} a^n b^n pi sin(b^n pi x_0)$。
然而，我们必须考虑高阶项的影响，特别是 $frac{(b^n pi h)^2}{2} cos(b^n pi x_0)$ 这一项。
关键构造：选择 $h_k$ 来“锁定”某个项的行为
我们选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k$ 接近 $frac{pi}{2}$ 的奇数倍，例如 $b^k pi h_k = frac{pi}{2}$。
那么 $h_k = frac{pi}{2b^k}$。
现在我们来看差商：
$frac{f(x_0 + h_k) f(x_0)}{h_k} = sum_{n=0}^{infty} a^n frac{cos(b^n pi (x_0 + h_k)) cos(b^n pi x_0)}{h_k}$
我们聚焦于第 $k$ 项：
$a^k frac{cos(b^k pi x_0 + b^k pi h_k) cos(b^k pi x_0)}{h_k} = a^k frac{cos(b^k pi x_0 + frac{pi}{2}) cos(b^k pi x_0)}{h_k}$
$= a^k frac{sin(b^k pi x_0) cos(b^k pi x_0)}{h_k}$
$= a^k frac{sin(b^k pi x_0)}{h_k} a^k frac{cos(b^k pi x_0)}{h_k}$
$= a^k frac{sin(b^k pi x_0)}{frac{pi}{2b^k}} a^k frac{cos(b^k pi x_0)}{frac{pi}{2b^k}}$
$= frac{2}{pi} a^k b^k (sin(b^k pi x_0)) frac{2}{pi} a^k b^k cos(b^k pi x_0)$
这个贡献可能很大，特别是当 $ab > 1$ 的时候。
现在我们考虑其他项 ($n eq k$):
$a^n frac{cos(b^n pi (x_0 + h_k)) cos(b^n pi x_0)}{h_k}$
当 $n < k$ 时，$b^n pi h_k = b^n pi frac{pi}{2b^k} = frac{pi}{2b^{kn}}$。这个值虽然趋于0，但变化相对较慢。
当 $n > k$ 时，$b^n pi h_k = b^n pi frac{pi}{2b^k} = frac{b^{nk} pi^2}{2}$。这个值增长很快。
为了更严谨的证明，我们需要仔细分析所有项的和。
考虑以下两个序列的差商极限：
1. 选择 $h_1$ 使得 $b^k pi x_0 + b^k pi h_1$ 接近 $pi$ 的偶数倍的 $frac{pi}{2}$。即让 $cos$ 函数在 $(b^k pi x_0)$ 附近具有最大值或最小值。
2. 选择 $h_2$ 使得 $b^k pi x_0 + b^k pi h_2$ 处于 $cos$ 函数的“下降”或“上升”阶段，即接近 $mpi$ 的位置。
一个更通用的证明策略是使用中值定理和对 $h$ 的精细分析。
设 $x$ 为任意一点。我们考虑差商 $frac{f(x+h) f(x)}{h}$。
$frac{f(x+h) f(x)}{h} = sum_{n=0}^{infty} a^n frac{cos(b^n pi (x+h)) cos(b^n pi x)}{h}$
利用中值定理，对于每一项，存在 $xi_n$ 在 $x$ 和 $x+h$ 之间，使得：
$a^n frac{cos(b^n pi (x+h)) cos(b^n pi x)}{h} = a^n (b^n pi sin(b^n pi xi_n))$
那么差商为 $sum_{n=0}^{infty} a^n b^n pi sin(b^n pi xi_n)$。
问题在于， $xi_n$ 的选择依赖于 $h$。当 $h o 0$ 时，$xi_n o x$。
关键点在于，魏尔斯特拉斯函数的参数选择使得 $sin(b^n pi xi_n)$ 的行为不受控制。
为了证明处处不可导，我们需要展示对于任意的 $x$，不存在一个实数 $L$ 使得对于所有小的 $h$， $left|frac{f(x + h) f(x)}{h} L ight|$ 可以任意小。
核心思想是，无论你如何选择 $h$，总能找到一个更大的 $k$，使得 $a^k b^k$ 的贡献占据主导，并且 $sin(b^k pi xi_k)$ 的值可以被操纵，从而使得差商的极限不稳定。
证明的完整性需要借助更严谨的数学工具，例如：
1. 构造 $h$ 的序列： 选择 $h_k$ 使得 $b^k pi x$ 和 $b^k pi (x+h_k)$ 位于 $pi$ 的某个“关键”区间。例如，让 $b^k pi x$ 靠近一个偶数倍的 $frac{pi}{2}$，而 $b^k pi (x+h_k)$ 也在附近。
2. 利用 $cos$ 函数的性质： 当角度接近 $frac{pi}{2}, frac{3pi}{2}, dots$ 时，$sin$ 函数的值非常接近 $pm 1$，而 $cos$ 函数的值非常接近 0。
3. 控制高阶项： 参数 $a < 1$ 保证了级数的收敛性，但 $ab > 1$（或者其他条件）保证了级数在“放大”过程中不会变得平滑。
具体的证明步骤可能包含：
1. 固定一个任意点 $x_0$。
2. 考虑差商： $Delta(h) = frac{f(x_0+h) f(x_0)}{h} = sum_{n=0}^infty a^n frac{cos(b^n pi (x_0+h)) cos(b^n pi x_0)}{h}$。
3. 选取 $h_k$ 序列： 例如，选择 $h_k$ 使得 $b^k pi x_0$ 的位置可以通过 $b^k pi h_k$ 的微小变化，使其 $cos$ 函数的增减性改变。
一个常见的选择是让 $b^k pi x_0 = mpi + frac{pi}{2} epsilon_k$，其中 $m$ 是整数，$epsilon_k$ 是一个很小的正数。
然后我们选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k = 2epsilon_k$。
这样，在第 $k$ 项，$cos(b^k pi (x_0+h_k)) cos(b^k pi x_0) approx cos(mpi + pi/2) cos(mpi + pi/2 2epsilon_k) = 0 (cos(mpi+pi/2)cos(2epsilon_k) + sin(mpi+pi/2)sin(2epsilon_k)) approx (sin(mpi+pi/2))(2epsilon_k) = (1)^m 2epsilon_k$.
所以，第 $k$ 项的贡献近似为 $a^k frac{(1)^m 2epsilon_k}{h_k} = a^k frac{(1)^m 2epsilon_k}{frac{2epsilon_k}{b^k}} = a^k b^k (1)^m$。
4. 分析其他项： 当 $n < k$ 时，$b^n pi h_k$ 会趋于0，这些项的贡献可能趋于一个值，但其绝对值是有限的。
当 $n > k$ 时，$a^n$ 的减小速度足够快，这些项的贡献会趋于0。
5. 比较不同 $k$ 值下的差商： 通过调整 $x_0$ 的值，我们可以影响 $sin(b^n pi x_0)$ 的符号和值，从而使得在不同 $h_k$ 序列下，差商的总和趋于不同的极限。
最终的证明需要严谨地证明：
对于任意给定的 $x_0$，我们总能找到一个序列 $h_k o 0$，使得：
$left|frac{f(x_0 + h_k) f(x_0)}{h_k} sum_{n=0}^{k1} a^n b^n pi sin(b^n pi x_0) ight|$
的上界可以被控制，但它会随着 $k$ 的增大而变化。而主要贡献项 $a^k b^k (dots)$ 的变化又会使得这个差商不稳定。
总结来说，魏尔斯特拉斯函数之所以处处不可导，是因为它的构造方式：
无限的波动： 函数由无数个具有不同频率和振幅的余弦函数叠加而成。
快速的频率增长： 频率 $b^n$ 以指数级增长，意味着函数在越来越小的尺度下，波动越来越密集。
振幅的缓慢衰减： 虽然振幅 $a^n$ 衰减，但由于 $ab > 1$ 的条件，高频的波动依然能产生显著的影响。
这种结合使得函数在任何一个点附近都存在着“无限的细节”，无法形成一个稳定的切线。就好比你试图在一块极度粗糙的石头上找到一个完美的抛光点，总是会遇到微小的凹凸不平。魏尔斯特拉斯函数就是这样一个“数学上的粗糙”的极致体现。这个证明过程本身就展示了微积分在处理看似矛盾现象时的力量和精妙。
数学的世界里，总有一些函数看似简单，却颠覆了我们对“光滑”和“连续”的直观认知。其中，魏尔斯特拉斯函数便是这样一个标志性的存在。它是一个处处连续，却又处处不可导的奇特函数，如同数学中的一个悖论，挑战着我们对导数概念的理解。那么，究竟是什么让这个函数如此“特别”，我们又该如何一步步揭开它“处处不可导”的面纱呢？
什么是魏尔斯特拉斯函数？
在我们深入证明之前，先来认识一下这位“不寻常”的函数。魏尔斯特拉斯函数的一般形式可以写成：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} a^n cos(b^n pi x)$$
其中，我们需要满足一些特定的条件来保证它处处连续且处处不可导：
$0 < a < 1$ (a 是一个介于0和1之间的数)
$b$ 是一个奇整数
$ab > 1 + frac{3}{2}pi$
举个具体的例子，最经典的版本是：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} left(frac{1}{2} ight)^n cosleft(pi 3^n x ight)$$
在这个例子中，$a = frac{1}{2}$，$b = 3$。它们满足了上述条件：$0 < frac{1}{2} < 1$，$3$ 是奇整数，并且 $(frac{1}{2})(3) = frac{3}{2} < 1 + frac{3}{2}pi$ 并不成立，所以这里我们选取的参数需要稍微调整，比如：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} left(frac{1}{2} ight)^n cosleft(2pi 3^n x ight)$$
这里 $a = frac{1}{2}$, $b = 3$ 并且我们加入了 $2pi$，这样 $b$ 就不是奇整数了，为了保证它的性质我们调整为：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} left(frac{1}{2} ight)^n cosleft(pi 3^n x ight)$$
当 $a = frac{1}{2}$，$b = 3$ 时，$ab = frac{3}{2}$。这个条件与 $ab > 1 + frac{3}{2}pi$ 不符，说明经典的例子并不完全符合严格的证明条件，但它已经足够展示其思想。
更严谨的参数选择，例如：
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} left(frac{1}{4} ight)^n cosleft(2^n pi x ight)$$
这里 $a = frac{1}{4}$，$b = 2$。为了满足“b 是奇整数”的要求，我们重新审视公式的参数。事实上，许多证明所用的参数组合不同，但核心思想是一致的。我们暂且搁置具体的参数选择，先理解其证明的逻辑。
魏尔斯特拉斯函数看上去像是由许多锯齿状的波叠加而成。虽然每个波的振幅越来越小，但它们叠加产生的“褶皱”却越来越密集，最终形成了一个没有平滑之处的曲线。
为什么直观不行？导数是如何定义的？
在证明之前，我们需要回顾一下导数的定义。一个函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，意味着在该点存在一个极限：
$$f'(x_0) = lim_{h o 0} frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h}$$
这个极限表示的是函数在 $x_0$ 点附近切线的斜率。如果这个极限存在且不趋于无穷，我们就说函数在 $x_0$ 点是可导的。
对于魏尔斯特拉斯函数，我们希望证明的是，对于任意的点 $x_0$，上述极限都不存在。 这意味着无论我们如何缩小 $h$ 的范围，这个差商 $frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h}$ 都无法收敛到一个确定的值。
证明的思路：放大与收敛的对抗
证明魏尔斯特拉斯函数处处不可导的核心思想是构造一个序列的扰动，使得在任何可能的“切点”附近，函数的变化总是非常剧烈，且无法形成一个稳定的斜率。 想象一下，你试图在海浪拍打的沙滩上找到一个平滑的“切线”，这几乎是不可能的。魏尔斯特拉斯函数就是这样一个“数学上的海浪”。
证明通常采用反证法或者直接构造一个收敛的差商序列证明其不存在。下面我们来详细阐述一种常见的证明思路。
关键步骤一：观察函数在特定点附近的性质
我们先来看函数在某个特定点 $x_0$ 附近的表现。为了证明处处不可导，我们实际上需要证明对于任意的 $x_0$，导数都不存在。
考虑差商 $frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h}$：
$$frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} = frac{1}{h} sum_{n=0}^{infty} a^n (cos(b^n pi (x_0 + h)) cos(b^n pi x_0))$$
利用三角函数的差角公式 $cos A cos B = 2 sinleft(frac{A+B}{2} ight) sinleft(frac{AB}{2} ight)$：
$$ cos(b^n pi (x_0 + h)) cos(b^n pi x_0) = 2 sinleft(b^n pi x_0 + frac{b^n pi h}{2} ight) sinleft(frac{b^n pi h}{2} ight) $$
所以，差商变为：
$$frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} = frac{1}{h} sum_{n=0}^{infty} a^n left(2 sinleft(b^n pi x_0 + frac{b^n pi h}{2} ight) sinleft(frac{b^n pi h}{2} ight) ight)$$
我们可以将 $frac{1}{h}$ 分配到 $sinleft(frac{b^n pi h}{2} ight)$ 上，并利用 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$ 的性质。
对于小的 $h$，$sinleft(frac{b^n pi h}{2} ight) approx frac{b^n pi h}{2}$。代入后，我们期望差商的极限是：
$$lim_{h o 0} frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} = sum_{n=0}^{infty} a^n left(2 sin(b^n pi x_0) frac{b^n pi}{2} ight)$$
如果这个级数收敛，那么导数就存在了。然而，魏尔斯特拉斯函数的参数选择正是为了阻止这个极限的稳定存在。
关键步骤二：选择合适的 $h$ 序列
要证明极限不存在，我们可以尝试找到一系列趋近于0的 $h_k$ 值，使得对应的差商序列 $frac{f(x_0 + h_k) f(x_0)}{h_k}$ 趋于不同的值或者发散。
这里设计的 $h_k$ 非常巧妙。我们选择 $h_k$ 的形式使得在级数的每一项中，$cos(b^n pi (x_0 + h_k))$ 的值能够被控制在最“极端”的状态，并且每一项的贡献能够叠加起来，而不是相互抵消。
考虑选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k$ 恰好是偶数倍的 $pi$，而其他项的 $b^n pi h_k$ (n ≠ k) 相对“小”，不至于破坏整体的趋势。
具体来说，我们可以选取 $h_k = frac{2pi}{b^k}$（或者稍微调整，以适应参数）。
我们选择 $h$ 的方式是让某一项的 $cos$ 函数项中的参数 $b^n pi x_0 + frac{b^n pi h}{2}$ 尽可能地接近 $pi$ 的整数倍，而其他项的参数变化相对较小。
更精确地说，我们选择一个序列 $h_k o 0$。对于魏尔斯特拉斯函数，我们通常会选择 $h_k$ 的形式与 $b^n$ 相关。例如，选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k$ 是一个可以控制的量。
我们选择 $h_k$ 的方式是让 $b^k pi h_k = pi delta_k$ 其中 $delta_k o 0$ 当 $k o infty$。
或者，我们选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k = frac{pi}{2} + m pi$ (其中 $m$ 为整数)。
让我们聚焦于一个更直接的证明方式，它依赖于泰勒展开和级数的均匀收敛性。
证明的核心思想：放大细节，寻找尖锐的“转折”
想象一下，我们不断放大魏尔斯特拉斯函数的图像。在任何一个足够小的尺度下，它都可能看起来像一个非常陡峭的锯齿。导数衡量的是这种“陡峭程度”的平均值，而魏尔斯特拉斯函数就好像在每一个可能的尺度下，都存在着无穷多的“尖锐转折”。
我们试图证明的是：对于任意给定的 $x_0$ 和任意的 $epsilon > 0$，都存在一个 $h$，使得 $left|frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} L ight| ge epsilon$，其中 $L$ 是任意一个可能的导数值。
为了做到这一点，我们选择一系列的 $h$ 值。令 $x_0$ 为任意一点。我们选择 $h_k$ 序列，使得：
1. $h_k o 0$
2. 在 $n < k$ 的时候，$cos(b^n pi (x_0 + h_k))$ 和 $cos(b^n pi x_0)$ 的差值相对“平滑”。
3. 在 $n = k$ 的时候，$cos(b^k pi (x_0 + h_k))$ 和 $cos(b^k pi x_0)$ 的差值“足够大”，并且可以控制其变化趋势。
4. 在 $n > k$ 的时候，由于 $a^n$ 的减小非常快，这些项的贡献相对较小。
我们选择 $h$ 的具体方式是：让 $x_0 + h$ 位于两个 $b^n pi x$ 值之间，使得 $cos$ 函数在那附近有剧烈的变化。
更确凿的证明方法是构造两个序列 $h_1 o 0$ 和 $h_2 o 0$，使得 $lim_{h_1 o 0} frac{f(x_0 + h_1) f(x_0)}{h_1} eq lim_{h_2 o 0} frac{f(x_0 + h_2) f(x_0)}{h_2}$。
使用泰勒展开和导数定义
我们先来分析 $frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h}$ 的某一项：
$a^n frac{cos(b^n pi (x_0 + h)) cos(b^n pi x_0)}{h}$
使用泰勒展开 $cos(y+z) approx cos(y) z sin(y) frac{z^2}{2} cos(y) + dots$
令 $y = b^n pi x_0$，$z = b^n pi h$。
$a^n frac{(cos(b^n pi x_0) b^n pi h sin(b^n pi x_0) frac{(b^n pi h)^2}{2} cos(b^n pi x_0) + dots) cos(b^n pi x_0)}{h}$
$= a^n frac{b^n pi h sin(b^n pi x_0) frac{(b^n pi h)^2}{2} cos(b^n pi x_0) + dots}{h}$
$= a^n (b^n pi sin(b^n pi x_0) frac{(b^n pi h)^2}{2} cos(b^n pi x_0) + dots)$
当 $h o 0$ 时，主要项是 $a^n b^n pi sin(b^n pi x_0)$。
如果函数可导，导数就是 $sum_{n=0}^{infty} a^n b^n pi sin(b^n pi x_0)$。
然而，我们必须考虑高阶项的影响，特别是 $frac{(b^n pi h)^2}{2} cos(b^n pi x_0)$ 这一项。
关键构造：选择 $h_k$ 来“锁定”某个项的行为
我们选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k$ 接近 $frac{pi}{2}$ 的奇数倍，例如 $b^k pi h_k = frac{pi}{2}$。
那么 $h_k = frac{pi}{2b^k}$。
现在我们来看差商：
$frac{f(x_0 + h_k) f(x_0)}{h_k} = sum_{n=0}^{infty} a^n frac{cos(b^n pi (x_0 + h_k)) cos(b^n pi x_0)}{h_k}$
我们聚焦于第 $k$ 项：
$a^k frac{cos(b^k pi x_0 + b^k pi h_k) cos(b^k pi x_0)}{h_k} = a^k frac{cos(b^k pi x_0 + frac{pi}{2}) cos(b^k pi x_0)}{h_k}$
$= a^k frac{sin(b^k pi x_0) cos(b^k pi x_0)}{h_k}$
$= a^k frac{sin(b^k pi x_0)}{h_k} a^k frac{cos(b^k pi x_0)}{h_k}$
$= a^k frac{sin(b^k pi x_0)}{frac{pi}{2b^k}} a^k frac{cos(b^k pi x_0)}{frac{pi}{2b^k}}$
$= frac{2}{pi} a^k b^k (sin(b^k pi x_0)) frac{2}{pi} a^k b^k cos(b^k pi x_0)$
这个贡献可能很大，特别是当 $ab > 1$ 的时候。
现在我们考虑其他项 ($n eq k$):
$a^n frac{cos(b^n pi (x_0 + h_k)) cos(b^n pi x_0)}{h_k}$
当 $n < k$ 时，$b^n pi h_k = b^n pi frac{pi}{2b^k} = frac{pi}{2b^{kn}}$。这个值虽然趋于0，但变化相对较慢。
当 $n > k$ 时，$b^n pi h_k = b^n pi frac{pi}{2b^k} = frac{b^{nk} pi^2}{2}$。这个值增长很快。
为了更严谨的证明，我们需要仔细分析所有项的和。
考虑以下两个序列的差商极限：
1. 选择 $h_1$ 使得 $b^k pi x_0 + b^k pi h_1$ 接近 $pi$ 的偶数倍的 $frac{pi}{2}$。即让 $cos$ 函数在 $(b^k pi x_0)$ 附近具有最大值或最小值。
2. 选择 $h_2$ 使得 $b^k pi x_0 + b^k pi h_2$ 处于 $cos$ 函数的“下降”或“上升”阶段，即接近 $mpi$ 的位置。
一个更通用的证明策略是使用中值定理和对 $h$ 的精细分析。
设 $x$ 为任意一点。我们考虑差商 $frac{f(x+h) f(x)}{h}$。
$frac{f(x+h) f(x)}{h} = sum_{n=0}^{infty} a^n frac{cos(b^n pi (x+h)) cos(b^n pi x)}{h}$
利用中值定理，对于每一项，存在 $xi_n$ 在 $x$ 和 $x+h$ 之间，使得：
$a^n frac{cos(b^n pi (x+h)) cos(b^n pi x)}{h} = a^n (b^n pi sin(b^n pi xi_n))$
那么差商为 $sum_{n=0}^{infty} a^n b^n pi sin(b^n pi xi_n)$。
问题在于， $xi_n$ 的选择依赖于 $h$。当 $h o 0$ 时，$xi_n o x$。
关键点在于，魏尔斯特拉斯函数的参数选择使得 $sin(b^n pi xi_n)$ 的行为不受控制。
为了证明处处不可导，我们需要展示对于任意的 $x$，不存在一个实数 $L$ 使得对于所有小的 $h$， $left|frac{f(x + h) f(x)}{h} L ight|$ 可以任意小。
核心思想是，无论你如何选择 $h$，总能找到一个更大的 $k$，使得 $a^k b^k$ 的贡献占据主导，并且 $sin(b^k pi xi_k)$ 的值可以被操纵，从而使得差商的极限不稳定。
证明的完整性需要借助更严谨的数学工具，例如：
1. 构造 $h$ 的序列： 选择 $h_k$ 使得 $b^k pi x$ 和 $b^k pi (x+h_k)$ 位于 $pi$ 的某个“关键”区间。例如，让 $b^k pi x$ 靠近一个偶数倍的 $frac{pi}{2}$，而 $b^k pi (x+h_k)$ 也在附近。
2. 利用 $cos$ 函数的性质： 当角度接近 $frac{pi}{2}, frac{3pi}{2}, dots$ 时，$sin$ 函数的值非常接近 $pm 1$，而 $cos$ 函数的值非常接近 0。
3. 控制高阶项： 参数 $a < 1$ 保证了级数的收敛性，但 $ab > 1$（或者其他条件）保证了级数在“放大”过程中不会变得平滑。
具体的证明步骤可能包含：
1. 固定一个任意点 $x_0$。
2. 考虑差商： $Delta(h) = frac{f(x_0+h) f(x_0)}{h} = sum_{n=0}^infty a^n frac{cos(b^n pi (x_0+h)) cos(b^n pi x_0)}{h}$。
3. 选取 $h_k$ 序列： 例如，选择 $h_k$ 使得 $b^k pi x_0$ 的位置可以通过 $b^k pi h_k$ 的微小变化，使其 $cos$ 函数的增减性改变。
一个常见的选择是让 $b^k pi x_0 = mpi + frac{pi}{2} epsilon_k$，其中 $m$ 是整数，$epsilon_k$ 是一个很小的正数。
然后我们选择 $h_k$ 使得 $b^k pi h_k = 2epsilon_k$。
这样，在第 $k$ 项，$cos(b^k pi (x_0+h_k)) cos(b^k pi x_0) approx cos(mpi + pi/2) cos(mpi + pi/2 2epsilon_k) = 0 (cos(mpi+pi/2)cos(2epsilon_k) + sin(mpi+pi/2)sin(2epsilon_k)) approx (sin(mpi+pi/2))(2epsilon_k) = (1)^m 2epsilon_k$.
所以，第 $k$ 项的贡献近似为 $a^k frac{(1)^m 2epsilon_k}{h_k} = a^k frac{(1)^m 2epsilon_k}{frac{2epsilon_k}{b^k}} = a^k b^k (1)^m$。
4. 分析其他项： 当 $n < k$ 时，$b^n pi h_k$ 会趋于0，这些项的贡献可能趋于一个值，但其绝对值是有限的。
当 $n > k$ 时，$a^n$ 的减小速度足够快，这些项的贡献会趋于0。
5. 比较不同 $k$ 值下的差商： 通过调整 $x_0$ 的值，我们可以影响 $sin(b^n pi x_0)$ 的符号和值，从而使得在不同 $h_k$ 序列下，差商的总和趋于不同的极限。
最终的证明需要严谨地证明：
对于任意给定的 $x_0$，我们总能找到一个序列 $h_k o 0$，使得：
$left|frac{f(x_0 + h_k) f(x_0)}{h_k} sum_{n=0}^{k1} a^n b^n pi sin(b^n pi x_0) ight|$
的上界可以被控制，但它会随着 $k$ 的增大而变化。而主要贡献项 $a^k b^k (dots)$ 的变化又会使得这个差商不稳定。
总结来说，魏尔斯特拉斯函数之所以处处不可导，是因为它的构造方式：
无限的波动： 函数由无数个具有不同频率和振幅的余弦函数叠加而成。
快速的频率增长： 频率 $b^n$ 以指数级增长，意味着函数在越来越小的尺度下，波动越来越密集。
振幅的缓慢衰减： 虽然振幅 $a^n$ 衰减，但由于 $ab > 1$ 的条件，高频的波动依然能产生显著的影响。
这种结合使得函数在任何一个点附近都存在着“无限的细节”，无法形成一个稳定的切线。就好比你试图在一块极度粗糙的石头上找到一个完美的抛光点，总是会遇到微小的凹凸不平。魏尔斯特拉斯函数就是这样一个“数学上的粗糙”的极致体现。这个证明过程本身就展示了微积分在处理看似矛盾现象时的力量和精妙。
网友意见
谢邀，非常好的问题。
我也是看了论文之后才知道的证明。证明总体用到的知识不难，但非常繁杂。
Weierstrass函数[1]
摘自维基百科的图片
其中 为正的奇数，使得： 。
这就是Weierstrass函数的定义，是一个无穷级数。
定理的证明：[2]
引理：M-检测（The Weierstrass M-test）
设 为一个度量空间，对于任意 ，令函数列满足每一个函数都有 。则我们假定对于任意 ，能够存在 使得：
那么我们能断言：若 收敛，则 在 上一致有界。
引理证明：对 ，由数列的柯西审敛法则发现一定存在 ，使得对 ，均有：
所以我们有对 ， ，均有：
所以由函数列的柯西审敛法则发现 在 上一致有界。
引理证毕。
回到原题，我们发现 ，所以 收敛而且 ，所以它满足M-检测引理的条件，即Weierstrass函数 存在且一致有界。由于 中的每一项 在 上连续，而且 一致有界，所以 在 上连续。
下面正式证明不可微性：即对 ，极限 不存在。
随便令一个 ,则对于 ，我们取 使得：
我们记 为：
容易发现： 。
这说明当 时， 必然有 和
所以数列 和 都趋近于 ，只不过一个从上方趋近，一个从下方趋近。
我们有等式：
把两个大求和分别记为 （ 不是无穷的， 是无穷级数）
则由和差化积公式[3]：
由于 且 ，所以 所以存在 使得 。
现在，我们来研究 。我们有：
所以：
而其中：
所以存在 使得 。
所以将 与 合并，我们有：
由题设条件 知 。利用 和 知：
因此， 的符号被 所决定。并且：
上式左边的值变化迅速，已经可以看出来 不存在了。
当然，这对于同样也适用。
用同样的方法，我们有： 。
继续同样的方法，我们有 ，使得 。
再利用 我们得到：
由于 ，则最后一个和式中的项是非负的，并且有： 同样，我们有存在 使得 。此时：
由于之前我们证过：
所以我们仍然有：
证毕！
参考
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