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问题

为何将一满电理想电容与一相同无电电容以理想导线并联会损失一半能量？

回答
这问题很有意思，很多人初次接触都会感到疑惑。明明是“理想”电容、“理想”导线，听起来应该不会有问题，为什么能量还会“凭空消失”一半呢？这里面的关键在于我们如何理解“理想”以及能量的传递过程。

咱们先从最基础的概念捋一捋。

电容的储能：

电容就像一个蓄水池，它储存的是电荷，而电荷的堆积会形成电势差（电压）。电容储存能量的公式是 $E = frac{1}{2}CV^2$，其中 $C$ 是电容值，$V$ 是电压。

刚开始，我们有一个满电的理想电容，假设它的电压是 $V_0$，储存的能量就是 $E_{初} = frac{1}{2}CV_0^2$。
另一个电容是空的，电压是 $0$，储存的能量是 $0$。

“理想导线”的意义：

这里提到的“理想导线”很重要。在物理学里，“理想”通常意味着忽略某些实际存在的、会带来损耗的因素。

零电阻： 理想导线意味着它的电阻为零。在实际电路中，导线是有电阻的，电流流过时会发热，这部分能量会以热量的形式散失（焦耳热）。因为是理想导线，我们暂时可以忽略这种因为电阻导致的能量损失。
无限快的连接速度： 它也能快速地连接两个元件，不存在接触电阻或者连接过程中的能量传递延迟。

并联连接后的情况：

当我们用理想导线把这两个电容并联起来时，会发生什么？

1. 电压平衡： 由于是理想导线（零电阻），电流可以自由流动，直到两个电容两端的电压达到一致。在并联电路中，所有并联元件的电压都相等。
2. 电荷转移： 最初，满电电容有电荷，$Q_0 = CV_0$。空电容没有电荷。当它们并联后，电荷会从高电势（满电容）流向低电势（空电容），直到两者的电压相等。
3. 最终状态的电压： 假设并联后的最终电压是 $V_f$。因为电荷守恒，并联前总电荷量是 $Q_{初} + Q_{空} = CV_0 + 0 = CV_0$。并联后，总电荷量仍然是 $CV_0$。
如果两个电容的电容值相同（都为 $C$），那么它们并联后，电荷会平均分配（因为电压会趋于一致，而 $Q=CV$）。所以，每个电容上的电荷会变成 $frac{CV_0}{2}$。
因此，并联后的电压 $V_f = frac{Q_{总}}{C_{总}} = frac{CV_0}{C+C} = frac{CV_0}{2C} = frac{V_0}{2}$。
换句话说，最终两个电容的电压都是初始电压的一半。

能量的变化：

现在我们来看能量：

初始总能量： $E_{初} = frac{1}{2}CV_0^2 + 0 = frac{1}{2}CV_0^2$
最终总能量： 并联后，每个电容的电压都是 $frac{V_0}{2}$。
$E_{终} = frac{1}{2}C(frac{V_0}{2})^2 + frac{1}{2}C(frac{V_0}{2})^2$
$E_{终} = frac{1}{2}Cfrac{V_0^2}{4} + frac{1}{2}Cfrac{V_0^2}{4}$
$E_{终} = frac{1}{4}CV_0^2 + frac{1}{4}CV_0^2 = frac{1}{2}CV_0^2$

等等，我上面算出来的是最终总能量和初始总能量一样，都是 $frac{1}{2}CV_0^2$！这和问题中的“损失一半能量”好像不太对。

问题出在哪里？

是我的理解有问题，还是问题描述的“损失一半能量”在某些特定语境下才成立？

让我们仔细审视一下“损失一半能量”这个说法。通常，我们在讨论电路中的能量损失时，会想到电阻上的发热。但这里是理想导线，电阻为零。

真相是：能量并没有丢失，而是以另一种形式存在，或者说，我们通常的理解忽略了能量的传递过程本身。

让我们回到电荷的流动。当电容并联时，电荷从一个电容流向另一个电容。这个电荷的移动过程，即使在理想导线中，也伴随着电磁场的建立和变化。

想象一下，电荷在导线中移动，就像水在管道中流动一样。虽然导线本身没有电阻，但移动的电荷会产生瞬时的电流。这个电流会形成一个电磁场。根据能量守恒定律，能量不会凭空消失。

真正损失的“能量”的来源，并非是因为导线的电阻生热（因为导线理想），而是与电荷的转移过程、以及电磁场的建立和衰减有关。

更直观的解释是，虽然最终两个电容的储能之和（$2 imes frac{1}{2}C(frac{V_0}{2})^2 = frac{1}{4}CV_0^2$）看起来小于初始储能（$frac{1}{2}CV_0^2$），但这里计算有误！

我们再算一遍最终的总能量：
$E_{终} = frac{1}{2}C(frac{V_0}{2})^2 + frac{1}{2}C(frac{V_0}{2})^2 = frac{1}{2}Cfrac{V_0^2}{4} + frac{1}{2}Cfrac{V_0^2}{4} = frac{1}{4}CV_0^2$ （此处我再次犯了和刚才一样的错误，导致结果与问题描述矛盾）。

正确的计算是：

初始储能：$E_{初} = frac{1}{2}CV_0^2$
并联后，总电荷 $Q_{总} = CV_0$。
由于两个电容并联，且电容值相同，电荷会均分，每个电容带电荷 $frac{CV_0}{2}$。
并联后的电压 $V_f = frac{Q_{总}}{C_{总}} = frac{CV_0}{C+C} = frac{CV_0}{2C} = frac{V_0}{2}$。
因此，两个电容的最终储能分别为：
电容1：$E_1 = frac{1}{2}C V_f^2 = frac{1}{2}C (frac{V_0}{2})^2 = frac{1}{2}C frac{V_0^2}{4} = frac{1}{8}CV_0^2$
电容2：$E_2 = frac{1}{2}C V_f^2 = frac{1}{2}C (frac{V_0}{2})^2 = frac{1}{2}C frac{V_0^2}{4} = frac{1}{8}CV_0^2$
最终总储能：$E_{终} = E_1 + E_2 = frac{1}{8}CV_0^2 + frac{1}{8}CV_0^2 = frac{1}{4}CV_0^2$

终于对上了！

初始能量是 $frac{1}{2}CV_0^2$，最终能量是 $frac{1}{4}CV_0^2$。

能量差： $Delta E = E_{初} E_{终} = frac{1}{2}CV_0^2 frac{1}{4}CV_0^2 = frac{1}{4}CV_0^2$

这正是初始能量的一半！

那么这“损失”的一半能量去哪了？

这就回到了问题的核心：在电荷从满电容流向空电容的过程中，会产生瞬时电流。这个瞬时电流，即使在理想导线中，也会伴随着电磁场的建立。

可以这样理解：

1. 电场能量的重分布： 最初能量集中在第一个电容中，以电场形式存在。当并联时，电荷开始移动，形成电流，这个过程会产生电磁波，或者说能量从一个电容的电场重新分配到两个电容的电场，并且在导线本身的空间中形成变化的电磁场。
2. 振荡： 如果你仔细模拟这个过程（忽略了任何阻尼），会发现系统会发生阻尼振荡。电流会先在一个方向流动，然后反向流动，反复几次，直到达到平衡。每一次电流的流动都会伴随着能量的辐射或损耗。即使是“理想”导线，在电流快速变化时，也会有电磁能量的辐射，或者说能量被“带走”了。
3. 真正的“损失”机制： 虽然导线是理想的（零电阻），但在电荷从一个电容转移到另一个电容的过程中，会产生一个瞬时的电流。这个电流在传输过程中会形成变化的电磁场。这个电磁场的能量，本质上也是从最初的电容中“借”来的。
更准确地说，我们通常将“损失”定义为转化为热能（焦耳热）或者辐射出去的电磁能。因为是理想导线，没有焦耳热。所以这部分能量是以电磁辐射的形式损失掉的。当电荷迅速转移时，就会产生电磁波向外辐射能量。
如果导线是有电阻的，那么这部分能量还会加上导线电阻上的焦耳热。但在你这个“理想导线”的设定下，我们只考虑电磁辐射的损耗（尽管在宏观的能量计算里，这部分能量也可以看作是在建立和维持那个瞬时变化的电磁场，最终没有稳定地储存在两个电容里）。

总结一下，问题描述中的“损失一半能量”，并不是说能量消失了，而是指：

最终储存的电能总量（$frac{1}{4}CV_0^2$）比初始的电能（$frac{1}{2}CV_0^2$）少了 $frac{1}{4}CV_0^2$。
这“消失”的能量，是在电荷从满电容流向空电容的瞬时过程中，作为电磁场的建立和辐射而损失的。即使导线没有电阻，快速变化的电荷流动也会产生电磁辐射。

所以，虽然我们设定了理想导线（零电阻），但能量的“损失”是由于电荷转移时伴随的电磁现象，而不是电阻生热。它本质上是能量在不同形式之间的转化和耗散。

这个现象在实际电路中会更加明显，因为实际导线会有电阻（产生焦耳热），而且连接开关等器件也会有自身的寄生电感和电阻，这些都会导致更多的能量损耗。但在你设定的理想情况下，能量的减少主要是由于电磁辐射。

网友意见

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路过强答一番。

电流突变的时候，线路就会产生辐射。

那一半丢失的能量就是变成交变电磁场能量辐射掉了。

当然您也可以理解为最后变成热， 焓(enthalpy)变熵(entropy)变啥的。毕竟电磁场的“光子”能量不够高的时候不能导致能级跃迁。


一般来说 1英寸长的导线（即便是超导体）， 分布电感大约是 25 纳亨。 

        the rule of thumb：the parasitic/stray inductance of a wire is about 25 nH/inch


老乡说："为了涨姿势，一个村妇误入了一个物理博士群，见到有人问：一滴水从很高的地方落下来，会不会弄死人？ 群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的讨论。一小时后村妇怯怯地问了一句：你们没有淋过雨吗？群里刹那间死一般的静了下来……然后，她就被踢出群了……"

俺乖巧地接茬说："村妇真是没见识， 她被踢出群肯定是因为她没见过冰雹。"




俺没啥文化， 初中毕业，大伙都知道。

依稀记得玩变压器的同志，管那段导线叫 “漏感”。

您可以做一个实验， 在导线上放一个电流探头。

如果穷的话， 用垃圾堆里面能捡到的录音机的磁头（放在导线附近）， 接上示波器的电压探头， 就会在示波器的屏幕上看到振荡的波形。



如果电容小线也比较短， 那您用中波或者短波收音机就能收听这个能量转换的过程。

如果能量、尺寸以及形状合适， 您甚至能产生微波或者 UWB 的脉冲。

很多人可能会认为机械开关慢， 其实在电子管和晶体管没发明以前， 人类用机械开关折腾出来的电火花也能玩短波通讯的。

万一三体人入侵毁灭了地球文明， 大家一腚要记得， 电火花也能远程通讯哦。


“天线（导体）其实是个相对论装置”， 这句话俺在某一本天线的教科书前言看到过。

如果您喜欢玩天线， 不妨看看一个免费的软体 4NEC2.

一般的 5dB 加感天线的辐射方向图网上找不到，俺临时仿真了一个供您参考。


跑题了， 跑题了， 跑题了。



为何将一满电理想电容与一相同无电电容以理想导线并联会损失一半能量？

具体的计算俺也不会。

您如果有时间， 用 Comsol 仿真一下就明白了。

扯一句题外话： 电路仿真原来也是核计划的一部分，SPICE 的前身 CANCER 是 Computer Analysis of Nonlinear Circuits, Excluding Radiation 的缩写， 和互联网技术一样都是核计划的一部分。留意 “Excluding Radiation”。 KCL/KVL 有它们的局限性，因为牵涉到辐射。

用 Comsol 仿真， YES！



** 学生可以申请试用版


【未完待续】
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题主这个问题是很好的，而这个问题下目前最高赞的 @Patrick Zhang 的回答则是存在很多错误的。

比如 @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

我们并未看见有什么能量损失。
可见，题主只考虑到电压为原先的一半，却没有考虑到电容为原先的一倍，根本就没有1/4这个值出现。可见题主出错就在这里。
题主的这道题用电容定义就能解释。我从定义出发，经过简单的推理，就得到了结果。
题主的错误在于，他没有认识到改接线后，不但电压为原先的一半，同时电容并联的原因，容量增加了一倍。因此，题主的那个1/4是不会出现的，也不没有什么能量损失。

就都是错的。

如题目描述那样连接起两个电容器之后，如果系统最终能够达到一个静态平衡，那么总能量确实会如题主注意到的那样由 变为 。这个结论是很显然的。请问 @Patrick Zhang 是怎么『未看见有什么能量损失』的呢？又是怎么看出『题主的那个1/4是不会出现的』呢？

另外提醒一下自诩为『认认真真做事』的 @Patrick Zhang ， ，而不是 。

回到题主的问题。题目中的这个情景其实并不存在悖论，而是一个佯谬，它之所以很长一段时间以来被很多人作为悖论来讨论，是因为里面涉及到的问题需要电动力学才能解决，仅仅电路知识是完全不够的。（因此知识面不超过欧姆定律和基尔霍夫定律等那点东西的 @Patrick Zhang 还是不要强答了）

题目中的这个电路在最终达到静态平衡之前一般会经过一个振荡阶段，在这个振荡阶段中会有两个主要的能量流失途径。第一个因素就是电路中的电阻：如果电路电阻非零，那便会有一部分电能在振荡阶段转化为热能。第二个因素就是电线的尺寸（长度）：只要连接两个电容器的电线具有不为零的尺寸，振荡阶段就会伴随着振荡的电偶极矩，这会导致电磁波的产生。后者其实就是天线的原理。

正是这些能量流失途径带走了一半的能量，并使得系统最终可以达到一个静态平衡。

2019.09.18更新:

小管家终于把Patrick Zhang的回答标记上『可能存在事实错误』了。

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