如何理解数列极限的定义？
想象一下，你正在玩一个游戏。这个游戏是这样的：你有一个数列，比如 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... 每一个数字就是一个“步骤”或者“游戏状态”。你的目标是看看，随着你玩的步骤越来越多（也就是数列的项数越来越大），你所在的位置（也就是数列的值）会怎么变化。
直观的感受：越来越近，无限接近
对于数列 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... 我们很容易发现，数字越来越小：
第一项是 1
第二项是 0.5
第三项是 0.333...
第四项是 0.25
第五项是 0.2
你可以看到，这些数字离 0 是越来越近的。即使你不知道下一个数字是多少，你也能大概猜到，再往后，它会比 1/5 更小，更靠近 0。
数列极限就是要抓住这种“越来越近”的趋势。我们关心的不是数列的某一项具体是多少，而是当项数“跑到无穷大”的时候，它的值会“停留在”哪个地方。
“固定”的那个数：极限值
那个“固定的数”，就是我们说的“极限值”或者“极限”。对于上面的数列 1, 1/2, 1/3...，我们直观地认为它的极限是 0。
为什么需要一个“定义”？
你可能会说：“这不是很明显吗？就是越来越小，最后变成 0 嘛。” 没错，对于一些简单的数列，我们确实能靠直觉把握。但是，数学追求的是严谨和普适性。我们得有一种方法，能够精确地、无懈可击地说明这个“越来越近”到底是怎么回事，并且能够处理那些不像 1, 1/2, 1/3... 那么直观的数列。
比如，你有没有想过，如果我们只是说“越来越近”，那“近”到什么程度才算“极限”？差一点点算不算？差很多又算不算？如果数列的值一直在某个数附近“跳来跳去”，但总体趋势是靠近，这算不算极限？
定义登场：用“误差范围”来精确化“接近”
数列极限的定义，就是用一种非常聪明的方式来量化“越来越接近”。它不是说“某个值非常接近极限”，而是说“不管你要求多近，只要我把数列往后取足够多的项，我都能让你满意。”
我们来拆解一下这个核心思想：
1. “不管你要求多近” (任意给定的正数 ε)：
想象一下，有人对你说：“我想知道数列的项离极限值有多近。” 你可以给他一个“允许的误差范围”。比如，你可能说：“我希望它们的差不超过 0.1。” 另一个人可能要求更严格：“我希望它们差不超过 0.001。” 还有人甚至可以要求：“我希望它们差不超过 10 的负一百次方！”
数列极限的定义就是针对所有可能给定的正数 ε (epsilon) 来工作的。ε 就是我们设定的“允许的误差范围”。这个 ε 可以是任何一个比零大的数，你可以任意选择它的大小，可以非常非常小。
2. “只要我把数列往后取足够多的项” (存在一个正整数 N)：
对于你设定的任何一个 ε，数学家们要找到一个“临界点”，这个临界点用一个正整数 N 来表示。这个 N 可以理解为“从第 N 项开始，后面所有的项都符合要求”。
3. “我都能让你满意” (即 |a_n A| < ε)：
“让你满意”的意思就是，从第 N 项开始，所有项 (a_n) 的值与极限值 A 的差距，都比你设定的误差范围 ε 要小。用数学符号表示就是：|a_n A| < ε。这里的绝对值符号 `| |` 就是用来衡量差距大小的，它确保了无论是比 A 大一点还是小一点，只要差的距离小于 ε，就算符合要求。
把它们组合起来，就是数列极限的定义：
如果对于任意给定的正数 ε > 0，都存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，数列的第 n 项 a_n 与某个常数 A 的差的绝对值满足 |a_n A| < ε，那么我们就说数列 {a_n} 收敛于 A，或者说 A 是数列 {a_n} 的极限。记作：lim (n→∞) a_n = A。
换个角度再理解：
这个定义就像一个“保证书”。
你（作为挑战者）：随便挑一个你想到的“近”的程度，用一个极小的正数 ε 来表示。
我（作为数列的“守护者”）：我拿出一张纸，上面写着一个数字 N。我保证，从这个 N 开始往后的所有数列项，它们离那个“极限值 A”的距离，肯定比你指定的 ε 要小。
如果我能对你提出的任何 ε 都给出这样一个 N 来证明我的保证，那么 A 就是数列的极限。
举例说明（严谨一些）：
我们来证明数列 a_n = 1/n 在 n → ∞ 时，极限是 0。
也就是说，我们要证明 lim (n→∞) 1/n = 0。
1. 任意给定的正数 ε > 0：
我们接受任何一个ε，比如 ε = 0.01，或者 ε = 10⁻⁶，甚至更小的数。
2. 寻找 N：
我们要找一个 N，使得当 n > N 时，|a_n A| < ε 成立。
在这里，a_n = 1/n，A = 0。所以我们要证明 |1/n 0| < ε，也就是 1/n < ε。
我们要找到一个 N，使得对于所有 n > N，都有 1/n < ε。
我们来解这个不等式 1/n < ε。
因为 n 是正整数，ε 也是正数，我们可以两边同时取倒数，并且翻转不等号：
n > 1/ε
所以，只要我们选择一个 N，使得 N ≥ 1/ε (或者更宽松地说，N > 1/ε)，那么对于所有 n > N 的情况，1/n 都会小于 ε。
例如，如果 ε = 0.01，那么 1/ε = 100。我们可以选择 N = 100。这样，当 n > 100 时（比如 n = 101, 102...），1/n 就会小于 0.01。
如果 ε = 10⁻⁶，那么 1/ε = 10⁶。我们可以选择 N = 10⁶。当 n > 10⁶ 时，1/n 就会小于 10⁻⁶。
3. 结论：
因为我们对于任意给定的 ε，都能找到一个合适的 N（例如 N = 1/ε 的一个上界），使得从第 N 项开始，所有项的绝对值都小于 ε，所以数列 a_n = 1/n 的极限确实是 0。
总结一下，理解数列极限的定义，关键在于抓住以下几点：
趋势性：我们关注的是当项数“跑到无穷大”时的表现。
任意性：你给定的“接近程度”（ε）可以任意小，没有上限。
存在性：对于你设定的任意“接近程度”，总是能找到一个“起点”（N），从这个起点往后，所有项都符合这个“接近程度”。
精确性：通过 ε 和 N 的关系，把模糊的“越来越近”变成了一个可以被严格证明的数学事实。
它不是说数列“最终”会等于那个值，而是说数列“可以任意接近”那个值，并且这种“任意接近”是可以通过找到一个合适的“起点”来保证的。这就是数学的严谨之处，它把我们直观的感受，转化成了可以用逻辑推理来证明的规律。
网友意见
请看知乎问题《请问如何理解极限的精确定义？》中的我的回答。点击下面链接就可看到：
怎么理解数列极限的定义，
我们先来看一下数列 ，
当 n=1时，
当 n=10时，
当 n=10000时，
当n趋向于 ，数列的值无限接近于0，那么我们就可以说
这样我们就可以给出数列极限的一个直观定义：
,用文字来表述这段话就是说当n趋向于无穷大的时候，数列的极限 无限接近于一个值A,画在数轴上是这样的：
如果用“无限接近”这种语言来描述一个定义这是不严谨的，我们要找到一种更加精确的语言来描述这段话。也就是如何描述“当n趋向于无穷大的时候，这个数列的值是无限接近某个值”。
为了更好的理解这段话，我举个通俗一点的例子，
比如说一个命题：摩西是中国最帅的一个人。
如何用数学的语言来把这个命题说清楚，我们可以用比较的方法。
我 ，这个人爱谁谁，如果我把每个人都来跟摩西比较一下，总有摩西比这个人都要帅，最后我就可以得出一个结论：摩西最帅
这种描述的方法我们称之为比较法。
我们再回到数列极限的定义：
总 ，当 时有 ,则
我把这句话翻译一下，任给 ,这里的 就像上面任取的一个中国人，这个值爱多小就多小，就是一个任意小的正数，总存在 ，这个 是指第 项，（假如N=10000，那么n=10001时），不管这个 有多大，只要 一超过你 就有后面的不等式成立，这个不等式要怎么理解呢？两个数作差的绝对值也就是说的两个数之间的距离，这个距离要小于任意小的一个数 ，意思就是这两个数无限接近了，这就说清了当n趋向于无穷大的时候，这个数列的值是无限接近于A。
所以数列极限的定义也是用的比较法，说的就是找一个任意小的数 ，然后跟这个任意小的数来作比较，再得到无限接近的这么一个结论。
再来说一下数列极限的几何意义：
,画在数轴上是这样的
不管 有多小，我总能在n充分大时，有 总是落在 之间 ，当n 取有限值的时候比如取1 2 3 的时候，他的取值想在哪里取都没有关系，当我取一个大 ，当小 超过这个大 时，这个 的取值就只能在 之间。
说完了，有空再来举个例子
update 2019.9.24
有人私信问我“数列极限定义之中 与那个任意 什么关系？”
能提出这样的疑问，可能是他没搞懂这个任给的任意小的数 到底有多小，总存在的一个大 又是个什么鬼？带着这个问题，我来解释 一下。
首先这个 是一个距离指标，这个数表示了 与 的接近程度，因为 的任意性，保证了 与 的接近到任何程度。
定义中的 是一个特定的项数，它表示了 与 的接近阶段，当 时，有不等式 表示在某一阶段之后， 与 就达到了这个接近程度。
这个 可以任意给定，当这个 给定之后，就要把它作为一个定数来看待，而大 是相应和依赖于这个任给的 （为什么这么说？下面有举例）的正整数，也就是说 的给定在先，寻找 在后，一般来说 越小， 就越大。
以上面的那个数列 为例，
若 作标准，那么只要 ,就有 ,
什么？你觉得 太大了，我们找个小的，
选 作标准，那么只要 ，就有
如果你觉得 还不够小，那再找个更小的，比如 ，那么，只要 ，就有
总之，无论你给出一个多么小的正数，在这个定义里我们就以 来记这个爱多小有多小的正数，只要 给出，我总能找到这么一个项数大 ，使得对于满足 的一切 都有 成立，将上面的过程放在一张表格里看的会更清楚：
1.说在前面
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础；
所谓极限的思想，是指：用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
2.什么是极限？
说人话就是，无限靠近而永远不能到达的那个地方；
在数学上，这个地方可能是一个点，也可能是一条直线。
3.数列极限定义
设有一个数列 ，其中元素从小打到大排列， 是确定的一个数。若对任给的正数 ，总存在正整数 ,使得 时，有
则，称数列 的极限为 ,也称之为数列收敛于 ,记作：
4.通俗理解
接下来从通俗的角度来理解推导一下数列极限的定义（可能不太严谨，但是道理我们都懂）
1、怎么用一句人说清楚数列极限？
数列 某位置越后的元素，越无限接近一常数 (数列默认是单调排列的)，即
时， 无限接近常数
注意上述中， 代表整个数列， 代表数列中第n项元素。
2、那么怎么用数学语言，来表示“ 无限接近常数 ”呢？
采用差值的绝对值表示两数之间的距离，即
时， 无限小
3、什么是无限小？
就是对任意一个正数 ，两数之间的距离都比他小，不管 你多小，我都比你小，即
4、怎么理解上面加粗的“某位置”呢？
数列收敛并不要求所有项元素都收敛于一点，而是要求从某项元素之后的所有元素收敛于一点就行，前面的有限项不影响数列的整体特性，重点考察后面的无限项（精髓）
因此，针对于一个数列，我们只需找到一个位置 ，对于所有在该位置之后的元素 ，满足 即可。
5.画图理解
啊哈，没想到学数学的同学，也可以是画画的baby 说明： 去掉绝对值后，就是 ，也就是说从 项之后的无数项，都落在区间 中，这个区间在数学上称之为 的邻域[1]。值得注意的是，上图为了形象表示，将这个区间画的特别大，其实大家都明白，这个区间是无限小的。
这个图画的很糟糕，画的是数列中的元素 关于 的二维平面图，上面的黑点就代表着每个取值点，可以看出从 之后的元素越来越靠近上图 这条虚线。同样，这些点也是被包裹在 的邻域中。
为什么要画一个二维的图呢？
一方面，我觉得这更好形象的表示了数列收敛到一个值；其次，将这些离散的点连成光滑的曲线后，表示的就是后面会学到的函数极限[2]
6.思考
1、 用于衡量数列 与 的接近程度( 越小表示越接近)，具有任意性，但一经给出，就确定下来了。
2、 随着 的变小而变大，依赖于 ，但 不由 唯一确定，在数列极限定义中重点还是考察其是否存在。
7.解题
题目一般是要求你用定义证明某个数列是否收敛至某个常数 ，其实就是问你是否能找到一个 ，当 时，数列收敛至这个常数 。
解题三部曲
- 根据题意写距离表达式
- 根据上式解出
- 找到
从下至上解释一下，第三步中的加一其实可以加任何正数，目的是当 时，第二步的表达式就必会成立，因此第一步的表达式也就成立了，故数列收敛至常数 。
例题
问：用定义证明
证明如下：（参照三部曲）
（写距离）设存在 使得存在
（解表达式）根据上式解得：
（找 ）取
综上所述， ，当 时，有 ，使得 ，故，数列收敛于常数1。
证毕
参考
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