正整数真的和自然数一样多么？

你这个问题问得很有意思，而且直击数学中一个非常核心也容易让人困惑的概念：无穷集的大小比较。简单来说，正整数集（1, 2, 3, ...）和自然数集（0, 1, 2, 3, ...）确实是一样多么的。这听起来可能有点反直觉，因为我们通常会觉得正整数集比自然数集少一个数（就是0）。但数学家们定义了一种方法来衡量无穷集的大小，而根据这种方法，它们是等价的。

要理解这一点，我们得先搞清楚“一样多么”在数学里到底是什么意思。对于有限的集合，这很容易。比如，你有3个苹果，我有一个苹果，那我的苹果就比你的少。我们数数就行了。但是，无穷集呢？我们没法一个一个数完。

数学家们为了比较无穷集的大小，引入了一个叫做“一一对应”（或称为“双射”）的概念。如果两个集合之间能建立起一种“一对一”的联系，也就是说，你永远都能从第一个集合里挑出一个元素，跟第二个集合里一个元素配对，而且配完之后，两个集合里的元素都正好用完，没有剩余，那么这两个集合的大小就是一样的。

我们来看一下正整数集（我们称之为 $mathbb{Z}^+$）和自然数集（我们称之为 $mathbb{N}$）：

$mathbb{Z}^+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}$
$mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, 4, ...}$

它们乍一看确实差了一个0。但我们能不能找到一个方法，把 $mathbb{Z}^+$ 的每个元素都和一个 $mathbb{N}$ 的元素配对，并且这个配对是完美的，不漏掉任何一个？

当然可以！想想这个简单的对应关系：

将 $mathbb{Z}^+$ 中的每个数 $n$ 与 $mathbb{N}$ 中的数 $n1$ 配对。

让我们写出来看看：

正整数 1 对应 自然数 0 ($1 leftrightarrow 0$)
正整数 2 对应 自然数 1 ($2 leftrightarrow 1$)
正整数 3 对应 自然数 2 ($3 leftrightarrow 2$)
正整数 4 对应 自然数 3 ($4 leftrightarrow 3$)
...以此类推，正整数 $n$ 对应 自然数 $n1$。

你看，对于 $mathbb{Z}^+$ 中的任何一个正整数，我们都能找到 $mathbb{N}$ 中一个唯一与之配对的数（只要把正整数减一就行）。反过来，对于 $mathbb{N}$ 中的任何一个自然数 $m$，我们总能在 $mathbb{Z}^+$ 中找到一个数 $m+1$ 和它配对。

例如：
$mathbb{Z}^+$ 的 100 对应 $mathbb{N}$ 的 99。
$mathbb{N}$ 的 500 对应 $mathbb{Z}^+$ 的 501。

这个“减一”的操作，或者说“加一”的操作，就是那个完美的“一一对应”的桥梁。它确保了我们不会遗漏 $mathbb{Z}^+$ 的任何一个元素，也不会遗漏 $mathbb{N}$ 的任何一个元素。

所以，尽管我们直观上觉得正整数少了一个0，但从数学上定义无穷集大小的“一一对应”标准来看，这两个集合拥有相同的“数量”，也就是同样的基数（cardinality）。这两个集合的基数都是可数无穷大（countable infinity），通常用希伯来字母 $aleph_0$（alephnought）来表示。

这就像是两个拥有无限多张牌的扑克牌堆。一个牌堆里的牌是红桃、方块、梅花、黑桃各无限多张（代表自然数，包含0和1,2,3...），另一个牌堆里只有红桃、方块、梅花、黑桃（代表正整数，只有1,2,3...）。如果我们能神奇地让每个红桃都对应一张黑桃，每个方块都对应一张梅花，这样一直下去，并且牌堆里的牌都能正好配对，那么这两个牌堆的“牌的数量”就是一样的。

这种“一一对应”的思想是德国数学家康托尔（Georg Cantor）在19世纪末提出的，它彻底改变了我们对无穷的认识。在此之前，很多人认为无穷只是一个模糊的概念，无法进行比较。康托尔的理论表明，即使是无穷，也有不同的“大小”之分。但这只是更高级的无穷比较，对于正整数和自然数这样相对简单的无穷集，它们的大小是相同的。

所以，下次当你听到说正整数和自然数“一样多么”时，不必惊讶。这是数学家们经过严谨定义后得出的结论，它们通过一个完美的“一对一”的联系证明了这一点。

谢邀。

楼主设想的情形当年希尔波特也想过，于是他提出了一个有趣的旅馆问题：如果一个旅馆有无穷个房间，但是都住满了。这时新来了一个客人，请问能住下么？

答案是能的，我们只要让每一个房间的人往后挪一个房间，第一个房间就空出来了。

同样，来无穷多个客人也可以，我们让第n个客人搬到2n号房间去，就有无穷多个房间空出来了。

甚至来无穷多个旅行团每个旅行团有无穷多个人。这个旅馆都能塞下。题主和各位读者朋友可以自己思考怎么塞。想不出来可以参考以下百度百科词条：

由上面这个例子，我们可以看出，对于一个无穷集合来说，只要这个集合的是可数的（如自然数，正整数，全体奇数），那么我们可以认为他们大小相同，即等势。

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势就是一个集合的大小，对于有限集合来说，它就是元素个数。对于无限集合来说它们都是“无穷大”，然而这些“无穷大”之间我们也是可以比较大小的。

只要我们能找到一个一一映射，那么我们就认为两个集合的势相等，即它们是“一样多”的。

而无穷集合中，势最小的就是类似全体自然数这样的可数集合。这样的集合我们称之为可数无限集。而其他所有不可数集（如全体无理数，全体实数）的势都比可数无限集大。

总结一下，对于集合的势：有限集<可数无限集<不可数集。

换句话来说，可数无限集的基数，即可数无穷，是所有无穷大里面最小的。

（可数无穷：┻━┻ ︵ヽ(`Д´)ﾉ︵ ┻━┻）

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延伸思考：有理数集也是可数集，也是和自然数集等势的，这个一一映射如何构造？

您的问题确实表意不明。。。关键是没有解释“多”的含义。如果是指数学上“等势”的话，一样多。

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