《决战21点》中的概率问题怎么解释？ 第1页

关于这个问题，我已经思考过很久了，现在跟题主分享一下我的思考经历。

首先，这个问题的一个类似问题我大概是在4年前听到的，我听到的是说有10扇门，其中一扇后面有金子，另外9扇后面什么都没有，现在让你选其中一扇之后，主持人帮你去掉剩下9扇门中的8扇没有金子的，然后问你换不换。当时我朋友给我的答案是换！大意就是说换之前你猜对的概率是1/10，如果你换了，就能得到因为主持人的“帮助”而去掉的那8/10的概率，从而你换的结果是9/10的概率得到金子。我表示其实当时我基本上没听懂这个推理过程，只是觉得听起来好像是挺有道理的。

那之后，由于当时正好在本科学习概率论，我就拿这个问题去请教了我的概率论老师，原意只是想让老师解释一下过程。但是老师听完题之后直接告诉我换和不换的概率是一样的，最后都是各1/2的概率。老师的解释是无论前面的过程怎样，最终呈现在你面前的就是两扇门，一扇有金子，一扇没有，那么很显然概率都是1/2。说实话，当时听完这个结果之后我认为老师错了，因为我一直觉得主持人是一个特殊条件，他能让你得到额外的8/10概率。从那以后我陷入了长达4年的纠结中，总是觉得两种解释都有说得通的理由，为此我看了很多网上回答，每一次都是晕头转向，最终放弃思考。但从内心讲，我开始逐渐觉得老师的解释也许是对的。

大概1年前，我看了《决胜21点》（原谅我才知道这才是使这个问题如此流行的出处），电影剧情让我又一次思考这个问题。现在，我想我终于想明白了这个问题（置信度95%）。下面我来尝试解释一下这个问题吧。

首先，我们稍微改变一下题目，也许会更好理解一些。还是考虑10个门的情况，你先选了一个门，你选中的概率肯定是1/10。现在假设主持人只为你去掉一扇没有金子的门，问你换成另外8扇怎么样，也就是说，你要么保留自己最开始选的这扇门，要么选择剩下的8扇门。相信这个问题谁都可以轻松得到答案——换。但是，这个过程中的概率究竟发生了什么变化呢？

一开始，你选的那扇门有金子的概率是1/10，剩下9扇门有金子的总概率是9/10，现在主持人去掉一扇门后，各扇门的概率是多少呢。有朋友肯定会说，你之前选的那扇还是1/10，剩下的8扇总共是8/10，所以换（我们暂时给这个推理过程命名推理1）。这里结论是对的，但过程就不对了，因为有一扇门移出了游戏，它的概率必须要加到其他的门上（其实这就是条件概率，只是我换成了语言来描述），不然总的概率就不是1了。于是又会有人说，移出的概率加到了那8扇门上，因为原来的还是1/10，所以等于在剩下8扇门后有金子的概率就是9/10了（推理2）。这个结论其实就是我最早从朋友那儿听到的结论的推理过程，但是也许已经有朋友发现这个过程的问题所在了——去掉1扇门前后的总体样本已经发生变化了。在这个过程中，移出的那扇门的概率其实并不只是加给了那8扇门，实际上它平均分给了剩下的9扇门，也就是说，那被移出的1/10概率被平分成了9份给了剩下的所有门！对于我们最开始选的那扇门，门后有金子的概率从1/10变成了1/10+(1/10)/9＝1/9，而另8扇门后有金子的概率变成了8/10+8*(1/10)/9=8/9！再换一种说法，就是说移出一扇没有金子的门意味着既增加了原先选中那扇门后有金子的概率也增加了另外8扇门后有金子的概率。

现在我们可以考虑原来的问题了，10扇门，选1扇，去掉8扇没有的，问你换不换？对于原来那扇门它现在的概率是1/10+(8/10)/2=1/2，对于剩下那扇门它现在的概率是1/10+(8/10)/2=1/2。于是结果出来了，换不换有金子概率是一样的，都是1/2！

于是我们回到题主的问题上，决胜21点里的车和羊在3扇门里，随便选一扇，有车的概率是1/3，去掉一扇门，现在的概率是1/3+(1/3)/2=1/2，剩下那扇也是1/3+(1/3)/2=1/2。所以换不换都一样，所以电影里的剧情是错的！所以“不靠谱”教授找到了一个“不靠谱”学生去做了一件“不靠谱”的事。但这个“不靠谱”的问题确实非常有意思，才会有这么多人去思考，去争论。

到此问题就算解决了，但是其实这个结果已经有很多人用更简单的语言描述过了，为什么还是有很多人一再犯错误呢。原因就在于概念的混淆，正如前面的推理1和推理2一样，犯推理1错误的人大致属于基本概念不清晰或者没有认真思考就得出结论的人（这类人往往轻易得出结论且喜欢争论）；犯推理2错误的人属于有一定的知识和思考，但是没有仔细推敲过程的人（这类人不在少数，也是使问题复杂化的主要来源）；当然除了这两种错误，还有一些人并没有仔细思考但是得到了正确答案（有一些是出世的智者，有一些是碰运气）；

其实得到错误结论的还有一些原因，比如说有人把问题复杂化了，也有人把选门的过程直接忽略掉，变成了算羊和车的概率了。