你所知道的最冷的国际象棋知识是什么？ 第1页

“盲僧，你看到了一个华点！”

除了最常见的的 n 步杀王（mate in n）外，其实国际象棋还有很多不同类型的谜题。今天我们要介绍的回溯分析（retrograde analysis）是一类具有悠久历史和丰富题目的国际象棋谜题。与其他类型的谜题不同的是，回溯分析通常不关注棋局的未来，它聚焦的是棋局的过去。这就好比是推理小说的模式，根据当前获得的线索来推理出曾经发生的犯罪行为。

美国数学家、逻辑学家 Raymond Merrill Smullyan 写过两本特别受欢迎的回溯分析的书：

The Chess Mysteries of Sherlock Holmes: 50 Tantalizing Problems of Chess Detection.

The Chess Mysteries of the Arabian Knights: 50 New Problems of Chess Detection.

其中，第一本借用了全世界最著名的侦探，书中的福尔摩斯和华生解决了一个又一个回溯分析题，完美地展示了棋局推理的魅力。接下来，我就从这本“福尔摩斯”里面挑三道题目进行介绍，希望能以此引起大家对回溯分析的好奇与兴趣。

实事上，知乎上已经有几个国际象棋的回溯分析题了，比如 汪有 的回答：

以及 夏洋 的文章，里面的题目也是出自 Smullyan 的书：

0 规则

在回溯分析谜题中，我们总是假设当前的局面是从开局局面经过一系列合法的着法到达的。虽然这些着法可能很愚蠢、甚至很怪异，但只要它们是合法的，我们就都需要考虑。引用福尔摩斯的名言：

当你排除一切不可能的情况，剩下的，不管多难以置信，那都是事实。

关于着法的合法性，除了棋子的基本走子规则外，还有一条需要特别注意的，就是不能将自己的王送吃。更具体的，国际棋联规则 的 3.9.2 明确了如果行棋后使得自己的王处于被将军的状态，那么这手棋就是不合法的。当然，使得双方的两个王能够互相攻击的着法也是不合法的。

合法性是回溯分析的核心。回溯分析谜题是将逻辑推理与棋局的合法性检查相结合，通过巧妙的设置局面来构造趣味性的问题。另外，在回溯分析谜题中，棋子的三种特殊走法王车易位（castling）、升变（promotion）、过路兵（en passant）也经常被使用。

呃~~~此外，为了避免一些不太了解国际象棋惯例的同学开杠，再说一点，除了特别说明需要猜棋盘的摆放方位的谜题外，所有谜题的棋盘都是标准棋盘，也就是开局时白在下黑在上，所以关于棋盘摆放的问题就不必再疑问了。

1 热身

为了使大家对回溯分析有一个初步的了解，我们先来看一个热身题，这也是 Smullyan 的书的封面题

条件：当前轮到白方走。

问题：黑白双方各自的最后一手是什么？

在考虑回溯分析题的时候，一般的套路是由后向前推导出棋局的进程，所以我们先来看看到达该局面前的最后一手棋是什么。当然，最后一手是黑方下的，而且显然黑方移动的只能是自己的王。那么黑王是从哪里到达 a8 格的呢？不可能是 b7 或者 b8 ，因为这意味着白方的上一手棋造成了王互相攻击，这是不合法的着法，所以黑王是从 a7 到达 a8 的。但是问题又来了，注意到 g1 格的象是可以攻击 a7 格的，所以白方的最后一手棋是一步将军。然而，白方的象又是从哪里到达 g1 格的呢？由于 h2 格有兵存在，所以白象似乎只能是从大斜线上移动到 g1 的。但这又是不可能的，因为白象在大斜线上意味着在白方的最后一手前，黑王已经处于被将军的状态，这将导出黑方的再上一手棋是不合法的。

至此，我们的分析陷入了一个僵局，这个局面似乎是不可能从棋局的初始状态经过一系列合法着法到达的。但这也正是回溯分析题有趣的地方，它经常能巧妙地击中我们思维的盲点。上一段分析的问题在于，我们默认了在两手棋前棋盘上只有这 4 个棋子。如果能想到这一点，题目的答案就呼之欲出了。黑王肯定是从 a7 到达 a8 的，但是这步棋有可能同时吃掉了一个白子。那吃掉的白子是什么呢？考虑到白象的位置，这个白子在白方的最后一手前肯定位于白象的攻击线上，这样才能使得黑方的再上一手有合法着法。而这个白子最后到达的是 a8 格，所以被吃掉的白子只能是马。

2 不能易位

上一节的题目可能简单了一点，现在我们增加难度。

“不能王车易位”（can't castle）是回溯分析的一个重要的主题，下面这个精彩的题目在书中被福尔摩斯称为最美妙的不能易位题之一

条件：当前轮到黑方走，且双方各自的最后一手棋都没有吃子。

问题：现在黑方可以易位吗？

题目的条件已经明确了双方的最后一手棋没有吃子，所以白方的最后一手棋移动的不可能是兵。也不可能是车，因为车只能从 e1 移动到 f1，但是如果在白方行棋前白车就位于 e1 了，那么黑王就处在被将军的状态，这将与合法性矛盾。所以白方的最后一手只可能移动王，而白王可以从 h1 或 h2 到达 g1，但是 h1 h2 都处于黑车的攻击线上，因而黑方的上一手是一步将军。所以，黑方的最后一手移动的不可能是王、象、兵。另外，由于题目的条件说双方的最后一手棋没有吃子，所以也不存在与上一题类似的黑方移动一个象、马或者兵闪将（discovered attack）然后被白王吃掉的情况。因此，黑方的最后一手棋只能是移动车并将军。这意味着黑方的车在此前的对局中已经移动过了，所以题目中的局面下黑方不能易位。

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因为白方的最后一手还可能是王车易位！现在我们假设白方的最后一手是易位，然后考察黑方的最后一手棋是什么，注意这手棋没有吃子。我们分三种情况讨论：

1. 如果黑方的最后一手移动的是王或者车，那么显然题目中的局面下黑方是不能易位的。

2. 如果黑方的最后一手移动的是象，那么象只可能是从 e2 到达 d1，这将意味着白方的倒数第二手没有合法着法。因为 e2 被黑象占据，白方 f3 的兵不可能从 e2 到达。而白方的其他兵都在原位，这意味着白方的倒数第二手移动的是王或者车，但这与白方的最后一手是易位的假设矛盾。

3. 如果黑方的最后一手移动的是兵，那么白方的倒数第二手必然是兵从 e2 到达 f3。但是当我们再次回溯到白方的倒数第三手时会发现，白方的所有兵都在原位，能动的只有王和车，这又将与白方的最后一手是易位矛盾。

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上一节分析中的情况 3 中，黑方的倒数第二手还可能是一手吃子，从而白方的倒数第三手就可能有其他着法了。现在，终于到了这道题最精妙的地方了。我们假设白方最后一手是易位，黑方最后一手是进兵，白方倒数第二手是兵从 e2 到达 f3 吃子，然后继续分析。

这里的关键点在于黑象是如何到达 d1 的？注意，白方的 c2 兵没动过，因而在白方的 e2 兵吃子前，黑象是不可能从其他地方跨过白兵到达 d1 格的。所以，唯一的可能就是这个黑象是由兵升变而来的！接着我们考察黑兵是如何升变的。注意，黑兵升变时白方的 c2 和 e2 兵都还在原位，所以黑兵只能从 d2 到达 d1 进行升变。但是，黑兵位于 d2 时是可以攻击 e1 格的，而 e1 格正是白王的初始位置！因此，黑兵到达 d2 时白王要么已经不在原位，要么正要避开黑兵的将军。无论哪种情况都与白方的最后一手是易位矛盾。

3 寻找宝藏

上面的题目可能还不够复杂，现在我们来提高复杂度。

在 Smullyan 的书中，老船长将宝藏埋在一个岛上，并用三道回溯分析题作为藏宝图指示埋藏的地点，下面这个题就是其中之一

条件：棋局中黑方没有升变。

问题：黑方的白格象是在哪一格被吃掉的？

题目的条件中没有给出现在轮到谁走，但是注意到黑王正被将军，所以最后一手是白方下的。而白方 a1 车的位置决定了这一手移动的不是车。观察后发现白方能进行闪将的棋子只有白王，所以白方上一手是王从 a2 或 a3 移动到 b3。但注意到黑方的 c2 车的位置，如果白王是来自 a2 那么黑方的最后一手没有合法着法。因为这一手移动的不是黑车，也没有棋子可以进行闪将。而如果上一手白王吃掉了一个黑方的棋子，那么这个黑子只可能是从 b2 达到 b3 的，满足条件的棋子只有车和后，但在移动前都已经将军了。所以，白方的最后一手是王从 a3 移动到 b3（可能吃子）。注意黑方的 f8 象的位置决定了黑方的最后一手棋是一步闪将，而闪将的棋子又被白王吃了。所以这个被吃的黑子是从黑象的攻击线上移动到 b3 的，满足这个条件的黑子可能是后、车、马、兵。而后和兵是不可能的，因为在黑方移动前白王就被将军了，所以只能是车或者马。

至此，单纯的回溯已经无法继续了，接下来的分析就需要额外的观察了。首先需要注意，题目中的局面中白子有11个，黑子有 12 个。注意黑方没有升变，现在棋盘黑方上有 12 个子，所以有 4 个黑子（车、马、白格象、兵）被吃了，其中有一个车或者马被白王吃了。然后我们看到，白方的 h4 兵是来自 f2 的，且在黑格吃了两个黑子，所以被白兵吃的是一个兵和一个车或者马。而如果白兵吃了黑兵的话，那么意味着吃得肯定是黑方的 c7 兵。但是 c7 兵到达 g3 格需要吃掉白方 4 个棋子，而注意到黑方的 g4 兵是来自 e2 的，它吃了 2 个白子。所以这两个兵共吃了 6 个白子，但是棋盘上还有 11 个白子，因此我们得到了一个矛盾。

我们又一次陷入了僵局，这个题出错了吗？当然没有，我们只是再一次忽略了一个盲点。上面分析的问题在于，我们假设了闪将只能是移开己方的一个位于另一个棋子攻击线上的棋子，从而让出攻击线进行将军。发现问题了吗？为什么移动的棋子必须要位于另一个棋子的攻击线上呢，如果移动的棋子不在攻击线上能不能闪将呢？回答是肯定的，没错，就是过路兵！黑方的最后一手是兵从 a4 或者 c4 吃掉 b4 的过路兵到达 b3，同时亮出黑象的攻击线将军。注意到吃过路兵的前提条件，所以白方的倒数第二手是兵从 b2 到达 b4。又因为白方的 d2 兵没有移动过，所以在 b2 兵移动前，白方 c1 的黑格象没法移动（这也说明该象是在原位被吃），这意味着白方 f2 的象是升变来的。升变兵显然是 a2 兵，而且它吃了黑方的白格象到达了 b 线。

最后的问题就是确定 a2 兵在哪个格子吃掉了黑象。如果能说明黑方的 b6 兵是来自 b7 而不是 c7，就能确定黑方的白格象是在 b7 被吃。现在我们就来用反证法说明这一点。假设 b6 兵是来自 c7，那么吃掉白方过路兵的黑兵就来自 b7，而 b7 兵要到达 a4 或者 c4 至少要吃掉一个白子，再加上过路兵，b7 兵就吃了 2 个白子。再结合事实：棋盘上现存白子 11 个、c7 兵吃了 1 个子、 g4 兵吃了 2 个子、白方 c1 象在原位被吃，我们就能得到矛盾。

4 讨论

我从 Raymond Merrill Smullyan 的书 The Chess Mysteries of Sherlock Holmes: 50 Tantalizing Problems of Chess Detection 中找了三道具有代表性的题目来展示回溯分析谜题的魅力。希望通过这几题的训练，大家能够体会棋盘推理的乐趣和巧妙，初步理解国际象棋谜题设计的品味和美学。我相信，当大家下次再遇到回溯分析问题时，不会再喊“坑爹呢，这是”。

另外再提一下，回溯分析不仅仅在国象爱好者中流行，它还引起了计算机科学工作者的关注。2020年，Josh Brunner, Erik D. Demaine, Dylan Hendrickson, Julian Wellman 在他们的文章 Complexity of retrograde and helpmate chess problems: Even cooperative chess is hard. In Proceedings of the the 31st International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC 2020), pages 33:1–33:14 中，从计算复杂性的角度讨论了回溯分析的困难程度，证明了广义的国际象棋回溯分析属于 PSPACE-complete。

关于 Smullyan 的另外一本“阿拉伯骑士”—— The Chess Mysteries of the Arabian Knights: 50 New Problems of Chess Detection，等我找到了并看完了再来写吧（摊摊手）。

最后附一些私货。我们已经看到国际象棋有的回溯分析有大量精彩的例题，但是关于中国象棋的回溯分析我却完全没找到。可能是因为中国象棋的棋子行动能力要比国际象棋低一些，设计回溯分析题会比较麻烦。这里，我自己尝试设计了几个，感兴趣的同学可以做做看，同时帮忙检查一下是不是有错误。

类似国际象棋，我们规定如果某方的一手棋后自己的帅（将）处于被将军的状态，那么这手棋就被认为是不合法的。当然，我们继续假设当前的局面是从开局局面经过一系列合法的着法到达的。

第一题《死锁》

条件：现在轮到红方走。

问题：到达该局面前的倒数第四手棋（也就是红方的倒数第 2 手棋）是什么？（两手棋为一个回合，答案唯一）另外，删掉棋盘上的任意一个棋子后，答案还唯一吗？

第二题《将军》

这道题要特别感谢 @岁月忽已晚 @夕雪 @ssswjs 快速地指出错误，并协助一起修改。

条件：无。（除了该局面是从初始局面经合法着法得到以外，无其他额外条件）

问题：到达该局面前的倒数 5 手棋是什么？

更多中国象棋推理题和上面两题的解答可以看：

2021.12.27