应该怎样解读罗伯特·奥曼的论文《不一致的达成》？ 第1页

这个问题这么好不知道为啥没人答。

我是在

这篇专栏

的一个留言中知道这篇文章的。留言是这么说的：

“诺贝尔奖得主罗伯特·奥曼在1976年发表了一篇论文 《不一致的达成》，这篇堪称传世的论文说的是：如果是两个理性而真诚的真理追求者争论问题，争论的结果必然是二人达成一致。换句话说如果争论不欢而散，那么必然有一方是虚伪的。”

这个太有意思了，和阿罗不可能定理同样有意思，所以我一定要看看他的证明。

首先纠正一下这个定理的翻译，上边的翻译非常浅显直白，但是不能代表原文的含义，是个理想主义小清新的概括。我翻译一下是这样的：

“如果两个人具有相同的先验知识且他们的后验知识是“共同知识”，即使他们的后验知识一开始不同，也能够通过争论形成相同的后验知识。”

这其实是博弈论，尤其不完全信息博弈中非常重要的问题。

我不知道楼主有没有集合论的知识。我试着用通俗的语言回答一下吧。

这个问题的关键是，我们的后验概率是在先验概率的基础之上按照贝叶斯法则更新的，所以后验概率取决于两个变量，一个是先验概率，一个是实际发生的状态。而共同知识使得这个实际发生的状态在二者之间是相同的，所以最后的后验概率当然也是相同的。

拿这篇文章举的这个硬币的例子。

（两个人分别掷硬币一次，要求预测下一次出现正面的概率。第一个人第一次出正面，第二个人第一次出反面。因此第一个人认为下次出正面的概率是三分之二，而第二个人则认为是三分之一。当他们经过对预测的交流之后，都把它修正为二分之一）

我不知道楼主是不是和我看的一个翻译版本。这个版本的翻译是有误导的，uniform prior翻译成了统一先验知识，我认为这里应该均匀分布的先验知识。因此在这个例子中，先验概率就是每一次硬币出现正面的概率服从均匀分布，而后验概率是在第一次出现正面或者反面的情况下，第二次出现正面的概率，这是一个重复2次的二项分布。容易计算当第一次出现正面时，后验概率为三分之二，而第一次出现反面时，后验概率为三分之一。

由此可见，同样是均匀分布的先验概率，由于第一次实际发生的状态不同，后验概率是不同的。你可以这样理解，当我们不知道硬币的质地时，我们会认为它出现正面的概率最稳妥的猜测是0到1的均匀分布，而当第一次它是正面的时候，在这个信息下，我们就提高了它下一次仍然是正面的预期，反之亦反。

共同知识是如何发挥作用的？假如这两个人有了一个争论，第一个人认为下一个硬币是正面的可能性是三分之二，而第二个人认为是三分之一。由于先验概率，硬币出现的可能性都是共同知识，并且1知道2知道，2知道1知道2知道，……因此第一个人通过第二个人认为是三分之一，可以得知第二个人第一次是反面朝上，同理第二个人也知道第一个人的第一次是正面朝上，在这种情况下他们会修正实际发生的状态，实际发生的状态是进行了两次掷硬币，第一次正面第二次反面，因此下一枚硬币出现正面的概率就被修正成二分之一了。

你可以这样理解，当我得知了一个更倾向于下一次出现正面的信息时，对方也得知了一个更倾向于下一次出现反面的信息，当我们出现争论的时候，我知道了对方有了一个和我相反的信息，我把这个信息纳入我的决策重新考虑，于是修正了我的信息，我不那么自信了，我做了一个更加保守的决策，从三分之二修正成了二分之一。

楼主对数学证明感兴趣，我就说一下吧。

首先说一下这些符号。（按照这个翻译版本

）

欧米伽是状态空间，也就是世界上每一种有可能发生的状态的集合。T是状态空间里的一个划分。

例如状态空间是（1,2,3,4）

一个划分可以是（1）（2,3）（4）

也可以是（1）（2）（3，4）

（这个例子来自

）

P（w）是w这个状态发生时一个划分里的元素。这个相当于博弈论里的信息集，也就是w发生了之后，你能观测到w，但是你知道认为这是P(w)里的一个状态发生了，你不能确定它就是w。只有当P时单点集的时候，你才能确定知道是w发生了。

举个例子，在第一个划分中，2发生的时候，你只知道是（2,3）发生了，而在第二个划分中，2发生了你能确定知道是2发生了。

举个现实的例子，农产品产出受到气候和努力程度的影响，当出现差收成的时候，你不知道实际发生的状态是气候较差还是努力程度不够；而工业品产出只受到努力程度的影响，因此当出现差收成的时候，你确定实际发生的状态就是努力程度不够。

一个事件为E，我们用KE表示能够知道E发生的状态的集合。因此K（KE）就是知道知道E发生的状态集合，而K2（K1E）就是参与人2知道参与人1知道E发生的状态集合。

仍然以上述划分为例子，令事件E=（3,4），令第一个划分为参与人1的划分，第二个划分为参与人2的划分。

我们看哪种状态下参与人1可以知道E：当3发生的时候，参与人1只知道P（3）=（2,3）发生了，不确定发生的究竟是2还是3，所以3发生时不可以，当4发生时，参与人知道是4发生了，所以4发生时可以，K1E=（4）。

同理看哪种状态下参与人2可以知道E:当3发生时，参与人知道（3,4）发生了，这正是E,同理当4发生时参与人也知道（3,4），也就是E发生了，因此K2(E)=(3,4)。

差别在哪里？差别在于参与人1对2,3难以分清，而参与2对3,4难以分清；但是E不需要对3,4分清（因为不管是3还是4，它总是发生），只需要对2,3分清（因为如果是2，它就不会发生），所以参与人2的知识更多一些。

那么共同知识呢？注意，共同知识不但要求两个参与人知道对方的一切信息，也就是不但要求1知道2知道，还要求2知道“1知道2知道”，还要求1知道2知道1知道2知道……也就是K(K(K(K)……))这样无限嵌套下去。

仍然看这个例子，

先看参与人1知道不知道参与人2知道，由于K2(E)=(3,4),当4发生的时候，显然参与人2知道，参与人1也知道4发生了，因此也知道参与人2知道，因此K1（K2(E)）=（4）。

再来看看参与人2知道不知道参与1知道，由于K1E=（4），当4发生的时候，参与人1显然知道，但是参与人2只知道（3,4）发生了，假如发生的是4，当然参与人2知道参与人知道，但是假如发生的是3，对于参与人1来说，他只能知道是（2，3）发生了，然而如果是2发生，他显然不知道E发生了，所以参与人2不知道参与人1知道不知道。

也就是说，在状态4下，E的发生虽然是两个参与人的“共有知识”，但不是两个参与人的“共同知识”！！因为参与人2不知道参与人1知道E发生了。

再看一个事件F=（2,3,4），楼主可以自己证明一下，这个是共同知识。

什么样的状态能够产生共同知识呢？其实是两个参与人的划分中，其中一个参与人的划分的元素并集，同时也是另一个参与人划分的元素的并集，这样的一个集合叫做“不证自明”的知识，当一个状态包含在这个集合同时包含在事件发生中时，就能产生共同知识。

楼主可以证明事件（1,2,3,4）是所有状态的共同知识，事件（1）是1的共同知识，然而事件（1,2,3）无法成为共同知识，因为参与人1 的划分可以并出来，但是参与2不可以，当2出现时，参与人1不知道是2还是3，假如是3，参与人2就不知道。

了解了这些概念剩下的就是证明了。这个证明楼主可以自己看，其实道理就是已经说过的一句话：我们的后验概率是在先验概率的基础之上按照贝叶斯法则更新的，所以后验概率取决于两个变量，一个是先验概率，一个是实际发生的状态。而共同知识使得这个实际发生的状态在二者之间是相同的，所以最后的后验概率当然也是相同的。

最后看一下那个渣翻译：如果是两个理性而真诚的真理追求者争论问题，争论的结果必然是二人达成一致。换句话说如果争论不欢而散，那么必然有一方是虚伪的。

这种情况成立其实有三个前提：第一，二人对真理的先验认识是一致的（先验概率相等）；第二，二人对对方的知识体系和思维方式是了解的（了解对方的划分）；第三，当世界的某种状态实现时，二人对伴随而来的事件都知道，并且都知道对方知道，并且都知道对方知道对方知道……

这些条件非常苛刻。当然如果你加上“理性”而字。。在经济学中，理性意味着完全信息，那么理性的从一开始就是必然一致的，所以也没什么意义。