扔硬币游戏，有可能收益不为0吗？ 第1页

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如果每次扔硬币的概率严格为50%，那么事前的期望收益一定是0，但是有一种情况，如果扔硬币的概率是随机的，其期望值为50%（我们可以假定存在一个不可观测，不可控制的变量叫做“手气”），那么如果你长期采用这样一个策略 "一直扔硬币，直到扔出一次反面为止”，那么你最终是可以赚取到一点正利润的；反之，如果你采用的是“一直扔，直到扔出一次正面为止”那么你是可能会亏钱的。

分割线之后是数学证明，其背后的逻辑很简单，当你手气不好的时候，你会早早的扔出一次反面，结束自己的这次游戏从而避免更多的损失，而当你手气很好的时候，你有更大的概率会多扔几次，从而更好的利用了自己手气好的短暂时光。如果不从数学的角度出发，就经济学来说，我们可以通过每次扔出正反面作为一个信号，根据这个信号来更新自己对手气的推测，从而只在自己手气好的时候多玩。

所以在概率本身是随机的情况下，“不撞南墙不回头”比“见好就收”是更加理性的策略。这也是我玩三国杀OL的时候提高自己胜率的一个策略：如果一直在赢，就一直玩下去，只要输了一场，当天就不玩了。这个策略可以让自己显示在屏幕上的数字稍微的高过一点自己真实的长期平均水平。

我们假定每次扔硬币，反面向上的概率是随机的，满足一个连续且可导的分布 ,其有一个密度函数 :

那么，一直扔扔到反面游戏结束，你扔的总次数为

其中反面的次数恒定为1，因为我们的策略就是扔到反面为止，所以根据柯西不等式，正面的次数的期望是大于反面次数的期望的：

当概率恒定为1/2，不随机的时候，上面的不等式坍缩为等式。