3人聚餐后，想玩一个游戏来决定谁买单，这个游戏公平吗？ 第1页

题主增加了一问：

A发现游戏并不公平，于是他决定放弃优势。在伸手前，他将会声明自己怎么出。作为一个无聊的人，他有50%的概率按声明出手，也有50%概率戏弄B与C。
这样会更公平吗？

但是A这个承诺毫无意义，因为大家都知道他会反悔，所以他无论说自己是手心还是手背都是废话，相当于他直接声明自己随机一半一半的概率。既然A的策略依然是均衡策略，那么B和C保持不变。游戏并没有变得更加公平。

下面是第一问的答案：

似乎我看到这种脑筋急转弯的博弈题主要靠 @Richard Xu 关注……

首先，这是三个人的博弈，不能预先假设每个人都是随机的来出正反。其次，三个人都没有占优策略，所以我们的思路是先假设没有纯策略，先计算出混合策略的概率，然后来算期望支付。

假定三个人出手心的概率为 ，那么出手背的概率就是 。我们假定付钱效用为-1，不付钱效用为0.

ABC出手心手背的期望收益相等，对于A来说,如果自己出手心，那么只有当其他人都出手心自己才付钱，如果自己出手背，那么只有其他人都出手背才付钱，所以手心手背期望相等，就意味着：

对于B来说，B出手心，则只有另外俩人都出手背才付钱，B出手背，则任意一个人出手心付钱。

化简之后得：

对于C来说，C出手心，只有另外两个人有一个人出手心才付钱，C出手背，则另外俩人出手心才付钱：

化简之后得：

现在就联立解这三个式子，发现 , 也就是说在纳什均衡的时候，C的均衡策略是出手背, B的均衡策略是出手心，然后A以1/2的概率出手背和手心。

这样的话，A是始终不用付钱的，因为B和C的策略在均衡的时候是不同的；而Ｂ和C均有一半的概率付钱，完全取决于A是手心还是手背。

这个结论可能很难让人接受，但是考虑到纳什均衡的定义，如果一个状态，没有人能够通过改变的自己的策略获利，那么这个均衡不管多么不可能，都是纳什均衡。我们就来看看B和C能不能做的更好：

1. 如果C不选择手背，选择手心，其他人策略不变，那么显然，C在A选择手背的时候要付钱，在A选择手心的时候不付钱，依然是1/2的概率付钱；
2. 如果B不选择手心，选择手背，其他人策略不变，一样的，B会在A选择手心的时候付钱，A选择手背的时候不付钱，还是1/2的概率；

所以我们就得到了一个这样的纳什均衡，A是唯一一个随机出手心手背的人，期望收益为0；而B出手心，C出手背，B和C的期望收益都为-0.5. 所以就可以回答题主的问题了，这是对A有很大倾斜的机制，均衡的时候A不但不用付钱，还有了随机决定B和C谁付钱的权力。