怎样理解微分流形中的 Frobenius 定理？ 第1页

1.流形上的向量场与流

2.向量场的Poisson括号积

3.Frobenius定理

1.1 流形上的向量场与流

将 中向量场的概念推广到一般流形上。流形上向量场的一个既直观又具有物理意义的例子就是地球表面大气与海洋流体运动的速度场, 它是二维球面上的一个向量场. 当物体的运动发生在流形上时, 其轨道是在流形上, 但是速度场却定义在切空间中. 一个单物体在流形上运动时, 其速度向量只能处在运动轨道的切空间中, 而无法在流形每一点的切空间上都存在. 然而在一个流形上运动的流体却不同, 它的速度向量是定义在流形上每一点的切空间中. 同样, 一个物体和运动的电荷在它们的周围分别会产生引力场和电磁场, 它们都是向量场. 抽象地说, 如果一个 维流形 中每一点 都对应于一个切向量 ,那么所有点的切向量可以看作是定义在 上的一个向量值函数 ,该函数 就称为 上的一个向量场. 下面给出 可微向量场定义.
定义 1.12 令 是一个 维 流形 是 上的一个向量场. 对于 上的两个 坐标系 可表示为

这里 为 在坐标系中 方向的分量, 它是 的函数. 如果对每一个 上的 坐标系 ,其分量 在 上都是 函数,
则 称为 上的一个 向量场. 令 是流形 上的一个 向量场, 是一条过的曲线, .我们知道 是曲线在点 的切向量. 如果 在每一点 的切向量都等于 在 点的值, 即
(1.3.1)
则 称为向量场 过 点的一条轨道. 等式 (1.3.1) 在局部坐标系中是一个常微分方程. 事实上, 在坐标系 中, 由 (1.1.5) 有

因此 (1.3.1) 可表达为
(1.3.2)
当 时, 由常微分方程存在与唯一性定理, 对每一点 方程 (1.3.2) 都存在唯一解 .这就意味着过每一点 在 上 的 向量场都有一条唯一轨道 的所有轨道集合

称为 在 上的流. 例如, 图 1.26 给出的是一 个作旋浴运动的流体速度场流的拓扑结构, 这种结构在现实生活中经常被观察到.

1.2 向量场的Poisson括号积

在引入 Frobenius 定理之前, 先介绍流形上向量场 Poisson 括号积的代数运算
概念及其几何意义. 令 是一个 维光滑流形, 为 的一个局部坐标系. 上的任两个
光滑向量场 和 在局部坐标系下可表示为

定义 和 的 Poisson 括号积为
(1.3.3)
这里, Poisson 括号积 (1.3.3) 是在局部坐标系中定义的. 由张量分析的知识可以证 明用局部坐标表达的 Poisson 括号积(1.3.3) 实际定义了 上的一个全局向量场. 对于不熟悉张量分析的同学来说就只需接受这一事实即可.
这里需要解释一下, 从局部坐标系定义的向量场在一般情况下不能形成一个全局场. 具体地说, 令 是 维流形 的一个坐标系覆盖, 和 是 上两个向量场, 它们在每个坐标系 表达为

由 和 在 中可诱导出无穷多个局部向量场. 例如

就是 中一个向量场. 但是 不能拼成 上的一个全局向量场. 也就是说, 在 上不存在一个向量场使得它在每个坐标系 中的表达式与 相等. 然而由(1.3.3)定义的所有局部向量场却拼为 上一个全局场, 称为 Poisson 括号积. 张量分析的理论为局部场形成全局场提供了基本判据. 下面分析 Poisson 括号积的几何意义. (1.3.3) 式可写成如下形式:
(1.3.4)
其中 为梯度算子

而 为
(1.3.5)
在向量分析中我们知道, 算子 代表沿着 方向的方向导数. 因此 表示向量场 沿 方向的方向导数. 用更为明确的方式来说明就是: 令 为 的 一条轨道, 则

因此 代表向量场 沿着 的轨道线 的变化率. 这样, Poisson 括号积 (1.3.3) 的几何意义就是 沿着 的轨道曲线变化率与 沿着 的轨道变化率之差.最后需要指出,在许多场合, 特别是在微分几何中一个 上的向量场 就 是采用 (1.3.5) 式来定义的. 此时 相当于局部坐标系中的基底, 代表该基底下的系数. 采用 (1.3.5) 定义向量场的优点在于将向量场算子化了, 它起到方向导数作用, 从而增加了它的数学功能. 另一方面, 从张量分析
的角度看, 是一阶反变张量,而 是一阶协变张量 (即传统意义下的向量场),因而 是一个标量算子. 它作用在一个向量场 上, 即

仍是一个向量场. 这就很容易理解为什么 Poisson 括号积(1.3.3)是一个全局向量场, 因为在这种定义下 .

1.3 Frobenius定理

我们知道, 对 上给定的一个向量场 ,过每一点 存在 的一条轨道 ,满足方程

换句话说, 一个 上的非零向量场在 上每一点 的切空间 上确定了一个维子空间 过 点的轨道 是 的一个一维子流形, 并且 上每一点 的切向量都位于 上. 我们沿着这一思路作进一步的推广, 即在 每一点 的切空间 上都给定一个 维子空间 . 现在的问题就是在什么条件下对每一点 都存在一个过 点的 维子流形 , 使得 上每一点 的切空间 与给定的 维子空间 重合:

Frobenius 定理就是对这一问题的解答.
为了严格地陈述 Frobenius 定理, 下面给出几个定义.
定义 1.13 令 是一个 维光滑流形.
(1) 若对 每一点 的切空间 上都给定一个 维子空间 , 则称 为 上的一个 维分布
(2) 一个 上的 维分布 称为是光滑的, 若对每一点 存在一个邻域 以及 上的 个 向量场 ,使得它们的线性扩张为

一个 上的向量场 称为属于分布 ,记为 ,若对每一点 都有 .
定义 1.14 上的一个光滑分布 称为满足 Frobenius 条件, 如果对任两个向量场 都有 . 上的一个 维子流形 称为是分布 $ 的积分流形, 如果对每一点 都有
下面给出的是 Frobenius 定理.
定理 1.6 令 是 上的一个 维光滑分布, 则对每一点 都存在一个过点 的的积分流形充要条件是 满足 Frobenius 条件. 下面展示定理 1.6 的实质意义, 这些内容也可看作是该定理的一种证明, 虽然在陈述上不是很严格.
首先讨论二维情况. 令 和 是流形 上的两个向量场, 它们在 上张成一个二维分布 ,即对每一点 . 我们可以看到, 过每一点 和 各有一条轨道 和 . 当选定其中一个轨道, 例如 , 则过 上所有点的 轨道集合形成一个二维子流形 ,如图1.27( )所示. 称该流形为按 顺序向量场和 给出的子流形. 同理, 按 顺序, 这两个向量场又给出另一个二维子流形 ,如图1.27( )所示. 在一般情况下, 这两个子流形 和 并不重合. 一个自然问题就是在什么条件下这两个子流形重合? Frobenius 定理 告诉我们, 这两个子流形重合的充要条件是 和 满足条件: , 即

其中 和 为上两个 函数.

对于一般 维情况, 是 上 个向量场, 它们张成一个 维分布 . 对这些向量场的 个下标 可给出许多种不同的排列顺序 .对每一种顺序这些向量场可按下面方式给出一个 维子流形: 过 点 给出一个轨道 , 过 上每一点由 的轨道集合给出一个二维子流形 , 过 上每点 的轨道集合给出一个三维子流形 .依次按顺序 进行下去, 这些向量场给出一个 维子流形 .定理 1.6 说, 所有这些不同顺序给出的 维子流形都重合的充要条件是

为什么会有这样的结论呢？下面就二维情况给予解释. 对于高维情况, 其实质是一样的.
令 和 分别为 和 过点 的轨道, .平面 由 和 所张成

在无穷小尺度下 和 分别过 和 上点的轨道为 和 , 简记为 和 .因此按顺序 和
得到子流形 和 在 点无穷小邻域内可表示为

两个曲面 和 重合的充要条件为：对任给 和 , 两个向量 和 的端点重合, 参见图 1.28 .这意味着

其中 是垂直于平面 的一个向量, 即 , 而 .
因此 与 重合的充要条件为

或等价地
(1.3.6)
另一方面, 由 知, 沿着 轨道的变化率和沿着 轨道的变化率分别为

这样得到
(1.3.7)
由(1.3.6)以及 ,从(1.3.7)可推知两个曲面 和 重合的充要条件为 Poisson 括号积 . 于是在宏观尺度上两个不同顺序得到的曲面重合的充要条件就是对每一点 与 的 Poisson 括号积位于 内:

上述过程不仅从直观上给出分布 的积分流形, 并且也解释了为什么 Frobenius 条件是积分流形存在的充要条件.

马天老师的《流形上的拓扑》一书中还提到了Frobenius定理的其它变形形式，还是建议去阅读一下，这里不赘述。