构造微分流形这个概念的动机是什么？ 第1页

我不敢说提出流形这个概念的历史动机是什么，就说说自己的理解吧。

比方说，古代的时候，很多人并不知道地球的形状是什么样的。从人们对局部空间的几何感知出发，人们无法推测出地球的整体几何特征，到底是球形，梨形或是面包圈形的。但另一方面，人们很早就学会了画地图，知道可以用平直的二维空间来表示局部的地形特征。

现在我们知道，地球表面不是平直的，严格说来也不是规则的球面，甚至我们身处的三维空间，也不见得是规则，均匀，平直的，但这并不妨碍人们运用朴素的理性建立起平直均匀的二维，三维欧氏空间，用以描写自己所处的局部环境。

流形，就可以看做这一经验的推广和抽象提炼。流形其实就是说，一个n维的几何体，我们不知道它整体的几何性质如何（比如地球），但我们对它的每一个局部，都能用n维欧氏空间来描写（比如n=2时，用地图描写地表局部）。

用术语来说，这个“局部”，就是拓扑空间中的开集，用n维欧氏空间描写，就是说能够建立开集到n维欧氏空间的“微分同胚”。粗略地说，微分同胚就是一种保持拓扑结构（可以理解成空间中点与点的邻接关系）与微分结构的一一映射。你可以认为，流形的每个局部，从拓扑和微分结构的角度看，都“等价”于n维欧氏空间的一个局部，进而，也就能够赋予其一个局部的坐标系。

这就是流形概念的第一层意思，也是最直观，最精髓的一点：流形的局部等价于欧氏空间，我们可以在其上建立局部坐标系，建立方向（切丛），直线（测地线）这些概念（地球表面并不平坦，但并不影响我们建立了直线和方位的概念）。

在流形概念建立之前，我们一般来说是把n维几何体嵌入到n+1维欧氏空间中去研究的。也就是说，几何体上的每一个点，都被赋予了一个“绝对坐标”。

有了流形的概念之后，我们就不一定要将几何体嵌入到高维欧氏空间了。我们在每个局部，都可以赋予一个相对坐标，这就是流形的研究方式。

仔细说起来，n维几何体还不一定能嵌入到n+1维欧氏空间中。微分拓扑学的结论表明，n维几何体可能要嵌入到最多2n+1维欧氏空间中。比如，挠率不为零的曲线就只能嵌入到3维欧氏空间中。经典曲面论研究的往往是嵌入到3维空间中的可以可视化的曲面，但是2维曲面Klein瓶就至少要嵌入到4维欧氏空间中。这意味着，同样是n维几何体，由于嵌入的欧氏空间的维度不同，其表示形式就不相同。反过来，用流形的观点，倒突出了几何体内禀的维度。

当然，我们知道，作为近似球面的地球表面，是无法在毫无变形，毫无失真的情况下，用一张张平面地图拼接起来表示的。此外，绘制地图，也有着不同的比例尺和各种各样的投影方法，会造成不同种类，程度的扭曲，失真。但只要它们满足一定条件，我们就认定它们绘制的是同一地图，或者它们能够以某种方式拼接起来，表示某个几何整体。

在数学上，我们说流形上各个局部到n维欧氏空间的微分同胚之间，要满足一个特定的相容性条件。同一个点，可以属于不同的开集，赋予不同的坐标表示；同一个开集，也可以赋予不同的坐标表示，只要这些表示是“相容”的。这就好比，地图有各种画法，只要满足一定的相容性条件，我们就认定这些地图是对同一几何体进行描绘，且这些局部的地图总能以某种方式拼成整体的样子。

这就是流形概念的第二层意思：流形的局部微分同胚于n维欧氏空间，这些微分同胚之间彼此是相容的。

一般来说，运用第一层意思，我们已经能够做很多事情了。只要有了局部同胚，局部坐标表示，我们大致上就可以开发出粗糙版本的切丛，联络，测地线，曲率等概念了。但是，为了严谨起见，我们需要论证，我们提出的这些概念，在更换另一个局部坐标之后，不会发生变化，也就是说，我们的概念是几何体内禀的，而不是和坐标系的选取相关的。这时，我们就往往需要援引相容性条件，也就是刚刚说到的流形概念的第二层意思了。

最后，由于局部坐标系的存在，我们很容易在局部定义一个张量场，比如黎曼度量，但怎么将局部的张量场延拓，或者拼接成整体性的张量场呢？这里，常常要用到微分拓扑的基础知识，“单位分解定理”。由于“单位分解定理”需要拓扑空间满足第二可数公理才成立，所以我们要求流形的拓扑空间满足第二可数公理，这是流形概念的第三层意思。

综上，流形最核心的，最直观的要点是，它在每个局部可以同胚于欧氏空间，可以建立局部坐标。但为了概念打磨的目的，还需引入相容性条件和第二可数公理。第一条说的，是流形的局部性质，是流形概念的直觉所在，后两条说的，是局部与局部的关系，局部与整体的关系。照我理解，主要是要排除掉那些“病态”的情况（比如几何量或公式在不同的局部标架下表示不一致，或者局部场无法拼接延拓为整体量，等等）。

从某种角度看，局部的欧氏特性和整体的非欧特性，被统一在流形这个结构中，就好像地球，我们从局部认识它那就是欧氏几何，从整体认识它那就是非欧的黎曼几何，也或许流形的提出反映了人们从欧氏几何到反直觉的非欧几何再到更加一般的几何学这样一种认知的探索吧。

个人建议是，如果没有数学系的看懂定理证明的需求，其实可以满足于知道流形就是每个局部等价于欧氏空间的几何体就足够了。