怎么用清晰的具象的语言来描述黎曼度量的意义与定义？ 第1页

对于欧式空间中的子流形，黎曼度量定义了其上的几何量的度量，这个度量可以是欧式度量，也可以是非欧度量。如果是欧式度量，则利用它可以直接在流形上内蕴地计算相关几何量，而不用将其嵌入到外围欧氏空间中进行求解。

黎曼度量可以定义在抽象流形上，这样就可以将欧式空间的几何度量推广到抽象流形上去。

谢邀。黎曼度量实际上给了你一把尺子，可以量黎曼流形上曲线的长度。

为了说明这一点，我们先回忆，在多元微积分中学过的，欧氏空间中（可微）曲线的长度计算公式（第二类曲线积分）： 在这里我们度量切向量的长度，使用的是的内蕴度量（也就是直接用勾股定理算长度）。

但是如果我们强行规定为另一个长度（对所有的t都这样做），那么就得到了沿着曲线的另一个度量。如果我们对所生活的流形M的每一点的每一个切向量都规定一个长度（实际上是对每个切空间规定一个内积，因为我们至少希望可以这个长度是线性增长的，且我们希望可以讨论“垂直”这个概念），那么我们就得到了一个黎曼度量（当然我们一般要求这个内积对底流形上的点是光滑依赖的）。

所以我们可以看出黎曼度量是个很flexible的东西，我们几乎可以“随心所欲”的操纵他，修改他。所以我们真正感兴趣的，往往是一些满足特定性质的度量，比如常截面曲面度量，恒正（或者恒负）截面曲率度量，常数量曲率度量，Einstein度量,blabla.