一个人要长到多高才可以让全世界的人们都可以看到他？ 第1页

不邀自来。【长回答，多图预警】

这明明是一个很严谨的数学问题好么！开脑洞时，也要注意条理呀~

既然大家都管这个巨人叫铁柱哥，那就叫铁柱哥吧。

铁柱哥是个有理想、有情怀的人，他毕生最大的梦想，就是自己能被世界上所有眼睛没瞎的人用肉眼看到，为了这个理想，他愿意做任何事情。

• 情况 1：铁柱哥直挺挺地站在地球上。
  

显然，铁柱哥无论多高，总是有半个地球的人是看不到他的。

（借用

的图）

• 情况 2：铁柱哥不直挺挺地站在地球上。
  

1. 为了简化问题，假设地球是个严格的球体，R=6371 km。
2. 以太阳系为参照系。
   

首先呢，地球可是会自转的。只要铁柱哥足够有耐心——

情况 2.1：铁柱哥要在 1 年内被所有人看到

看，天边那轮圆圆的太阳！你知道吗？世界上所有的东西，在一年内，都会被它的光芒普照！

所以，铁柱哥只要是一个太阳上的一个 质点，就可以被所有人看到哦。很容易嘛~

可铁柱哥不满意了，他想，这也太没出息了，我要在让地球上的所有人尽快看到我——

情况 2.2：铁柱哥要在 1 天内被所有人看到

看起来似乎没什么差别，但你要知道，有两个点是很棘手的，一个是北极点，一个是南极点。在这两个点上的人，它们的天空，可是隔了1个地球那么远的！

所以，铁柱哥至少要有地球直径那么大，才能同时让北极人和南极人同时看到。

事实上，这么高的铁柱哥，直挺挺地像棍子一样站着，就可以了：

铁柱哥微微地点了点头，想，这才是我铁柱哥的风范嘛！可是——

于是，铁柱哥提出了终极目标——

情况 2.3：铁柱哥要在同一时刻被所有人看到

显然，现在的铁柱哥，不可能再直挺挺地站着了，因为如果这样，无论他多高，地球背面的人一定是看不到他的。

怎么办？

看起来，把自己的身子绕地球一圈就可以了（

），可惜，这是不正确的。

• 若铁柱把身子绕着赤道转了一圈，北极点的人依然看不到他；
  
• 若铁柱把身子绕着本初子午线转了一圈，下面这个地方的人依然看不到他：
  

*******************铁柱哥的心理活动*******************

“如果地球是二维的，那该多好啊！” 铁柱心想。

该问题的二维简化问题的答案是

如下图所示，上边部分紧贴圆，长度为，下半部分为两条平行的圆的切线，长度为。

*******************铁柱哥回到了现实*******************

那，该怎么办？

伟大的铁柱又怎么会被难倒呢！

“我是三维的，又怎能屈服于二维平面！”

在追求完美的铁柱哥的脑海里，迅速地闪现了几个名词：

……

……

……

……

……

最后，他把目光停在了

上。

球外切正八面体！就是这样！

于是，铁柱把自己蜷缩成了这副模样——

（地球内切于正八面体ABCDEF，铁柱的长为5倍的正八面体变长）

在这个结果下，铁柱的长度是：

（P.S. 正四面体需要 ，立方体需要，均大于此值）

这是什么样的一个长度呢？——5个铁柱，可以从地球连到月亮。

铁柱哥咬咬牙，长到了月地距离的1/5，终于实现了让世界上所有人同时看到的夙愿。

真是完美的结局。

——————————

可是，这，铁柱真的必须长到那么高吗？

鄙人智商有限，只能想到的方案。

可是，这么经典的一个问题，大牛们怎么可能没有研究过呢！

经查询，该问题在 2003 年已被俄罗斯数学家

解决。

（感谢

提供的资料）

如下图所示：

满足条件的最小曲线是 ，其中已在图中给出，是关于线段的中心对称曲线。

（具体的参数详见原论文，下附）

曲线 的总长度为

这个距离大约是月地距离的1/6。

特别地，

• 如果要求铁柱的脚站在地球上，则
  
• 如果要求铁柱的头和脚都在地球上，则
  

铁柱哥心中的疑问，终于得到了彻彻底底的解决。

——————————

参考文献：

1. Shortest inspection curves for a sphere. A. Zalgaller .Zap. Nauchn. Sem. POMI, 2003, Vol. 299: 87–108（原论文：俄语版）
   
2. SHORTEST INSPECTION CURVES FOR THE SPHERE,V. A. Zalgaller, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 131, No. 1, 2005 : 5307-5320 （翻译：英语版）

——————————

相关问题：

——————————

【版权申明】

若需全文转载本回答：

• 若非商业用途，请务必注明作者及回答链接，并私信通知我；
  
• 若商业用途 ，请务必先征询我的意见！

对违反者，我将保留追究的权利。 谢谢理解！

——————————

————附：有条理地开脑洞系列————

1. 一个人要长到多高才可以让全世界的人们都可以看到他？ - 曾加的回答
   
2. 为什么霍金警告我们不要接触外星人？ - 曾加的回答
   
3. 如果把地球那么大的一团水放在太空会发生什么？ - 曾加的回答
   
4. 如果人类可以无性生殖，女性会不会在漫长的生物进化过程中被淘汰？ - 曾加的回答
   
5. 在微信游戏「围住神经猫」中，有什么有效的策略来围住神经猫？ - 曾加的回答
   
6. 为什么算数纸牌游戏是计算24点而不是别的数？ - 曾加的回答
   
7. 如果让你给「life」这个单词中的每个字母均用一个单词来解释，你的解释是什么？ - 曾加的回答
   
8. 如何对宇宙文明进行分级？ - 曾加的回答
   
9. 如果围棋变成三种颜色，是会更难些还是更容易些？ - 曾加的回答