你能写出你认为既简洁又很酷的公式么？ 第1页

矩阵指数的行列式=矩阵迹的指数

即：

此公式在许多地方都有使用，比如证明 ，

现在我们就来证明一下：

【符号约定】

在证明过程中，有许多地方仅使用矩阵表达法难以完成，我们在此使用矩阵的分量(指标)表达式

，有些地方使用实际希腊字母的指标可能造成歧义，我们使用 " " 来占位：

比如

另外矩阵的n次方则代表：

矩阵的指数映射也在不发散的情况下定义为：

【前置知识】

注意矩阵对自己求导则为：

那么对矩阵指数求导可得

Levi-Civita符号

对于m维实向量空间，其上的Levi-Civita符号(符号处于下指标实质上是-1阶张量密度，上指标时是1阶张量密度，它们的张量积则是0阶张量密度，也就是普通的张量了) ，我们还定义

以及行列式的定义：对于 ，

符号代数余子式(signed minor)

我们以 的符号化代数余子式：

可知

行列式求导

【证明】

首先我们对于任何 的 ，有

我们令

还可以注意到

那么

看到点端倪了吧

解得

当 时， ，那么可知常数C为1。

于是我们得到 ，当 时,

Q.E.D.