哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难？ 第1页

接下来我要讲一个激燃的故事。

这是一场横跨整整四百年的超级数学接力。

鉴于楼上的大神已经提过这个猜想，我就单纯的从这个猜想被证明的过程写一写。

学渣如我就不涉及理论部分了。

这就是开普勒猜想：怎样才能最紧密堆积圆球。

1590年代末，一个叫Raleigh的英国航海家提出了一个看上去很简单的问题。

他想设计一种炮弹的堆叠方式，以便自己能够轻易的数出每一堆有几颗炮弹。

他把这个问题交给了他的助手Harriot，这个聪明的年轻人想的更远一些，他想设计一种最有效率的堆积方式。

以便在航行中有限的空间内存放更多炮弹。

Harriot在其他的自然科学领域也颇有建树，但这个问题虽然看上去很简单，但是他却久久没有进展。

于是这个年轻人给远在布拉格的数学，物理和天文学家写了一封信。

当然收信者并不是三个人，他就是开普勒。一个数学，物理和天文学家。

于是，这场接力的第一棒交给了这个出生在斯图加特的大师。

1611年，开普勒写了一本小册子，名叫《六角形的雪花》。这是一本写给朋友的非正式出版物，他在书中问到，为什么雪花是六角形，为什么蜂房也是六角形。

再问完这个问题后，开普勒转而研究了另一种植物，石榴。

这是从二维平面的有效率堆积方式拓展到了三维空间的研究。

他认为在石榴有限的空间内，石榴籽的堆积方式一定是最有效率的。

他和100多年后的植物学家黑尔斯的得出了一样的结论，黑尔斯给一大堆豌豆加压。

观察到除了豆子挤成了豌豆泥之外（什么鬼）有些豌豆被挤压成了和石榴一样的十二面体。可是后来被证明是实验结论错误的。（孟德尔：你不要豌豆拿给我啊干嘛挤它

好了，到这里我们歇一歇。开普勒认为大自然的安排一定是最完美的，所以，他认为一个圆球围绕着十二个圆球是最紧密的堆积。

但他没有证明，也有没有说该如何围绕。

对于我们每个人来说，怎么样最有效率的装球，仿佛是一个简单的问题。

你先摆好一层球，然后第二层的球放在第一层的空隙中就好。

这就是著名的面心立方对堆积。但是还有一种堆积方式虽然名字很酷炫但后来被证明和面心立方堆积等效。也就是六方最密。

让我们从二维平面开始，怎么样最有效率的排列圆形。

这看上去简直就像1+1=2。

1528年，一位德国的文艺复兴时期的艺术家写了一本数学教科书。

书中写，在天花板上放置圆形花纹，只有方形和六边形排列才能放整齐。而且指出六边形最紧密。（开普勒：卧槽有人抢跑

好了，接下来接力棒交给了一个刚刚输光了全部家当的意大利人。

他叫拉格朗日。十八世纪最伟大的数学家。

到目前为止，研究的设定都基于所有圆形的圆心都排成整齐的格子状。

拉格朗日轻易的证明了在这种情况下六边形堆积最紧密。

挪威数学家杜氏接过了这一棒，开始研究一般情况，即圆型随意排列的情况下怎么堆积最紧密。

可惜并没有太多实质性的进展。接力棒传到了俄国，一位叫闵可夫斯基的小男孩随着父母移民到了德国。

他后来再苏黎世的联邦理工当了助理教授，班上有很多学生经常翘他的课。其中一位是二十世纪最伟大的专利审查员。

阿尔伯特爱因斯坦。

他指出圆的规律装填密度起码有0.8224。

但他并没有指出这种排列的样子。为了怕闵科夫斯基抢他的风头。杜氏抢先发表证明演说。可是数学界认为他的证明不完善。

三十年后匈牙利数学大师托斯完善了关于平面的装填问题证明。

之后，威斯康星大学的数学课科歇诺又证明了平面的覆盖问题。（覆盖允许重叠，装填不允许。）

证明指出，六边形排列是最佳的装填，也是最有效率的覆盖。

到此

二维平面的数学接力已经完成了，那么现在等待解决的就是三维世界的证明了。

为了叙述三维的问题，我们要从另一个跑道的选手说起。

牛顿和他的基友（误）大卫格里高利。他们之间争论着平面内一个球能最多与几个其他的球接触。我们现在知道这个数字是6。

他们把这个问题拓展到了空中。在空中的一个球能最多与几个球接触。

并进行了激烈的争论，可惜他们的争论只是开普勒的局部问题，对于猜想的证明并无多大用处。

（开普勒猜想中最紧密的堆积，一颗球周围有十二个球围绕，而大卫说空间中一个球最多能与十三个球相接触。他们的争论在1953才被终结。）

之后瑞士数学家Bender向德国的数学期刊投稿，企图证明阐述上面的争论。他的论文被期刊的编辑霍普完善并且霍普把Bender的论文和他自己的论文一同发表。

看起来这一棒跑的很顺利，但是我们的霍普选手丢了棒，他的论文被证明有致命的错误。

这个问题后来被荷兰人和德国人解决。

这条岔道的选手已经完赛，让我们回头看看我们原本的赛道。

现在执棒的选手对我们来说有些陌生，他叫奥古斯都希波，他费尽了心血证明了“立方体体积的平方”除以“扭曲盒子体积的平方”恒小于三。

为了这个看上去不怎么重要的小数字，他写了一本248页的厚厚著作。

然后交棒给了本次马拉松接力的队长，数学王子高斯。

然而高斯就是高斯。

他在希波248页的证明后面花了一页半，把这个比值的极限推到了二。

简直就是神迹！我仿佛听到高斯拔刀在喊“我方已经击穿敌方装甲！准备冲锋！”

通过这一页半，高斯间接说明了在规律排列下圆的最紧密堆积方式的密度最高极限是74.05%。（当球在三维格子里面时）

那么问题就是，哪一种堆积才能达到这样的密度。开普勒的么？只有这一种么？

接下来的近一个世纪，接力棒默默地停止在高斯的那一页半证明上。

直到1900年8月8日，第二届国际数学家大会在巴黎召开。

德国数学家希尔伯特提出了那无比著名的23个数学问题。

开普勒猜想，编号第十八。

这个时候接力赛进入了白热化，数学家们想找出比开普勒猜想更紧密的排列方式。（比如一种混乱的无序排列）

因此他们把74.05%这个密度作为一个下界，把100%作为一个最初的上界。

现在要做的就是缩小他们的距离。

丹麦人布利奇菲尔德接棒把上界缩小到83.5%，然后传棒给苏格兰数学家兰金，在剑桥数学实验室的帮助下，他把上界的值降到了82.7%。

这个时候他们之前说采用的研究方法走到了尽头，上界没办法再继续下降了。

之前跑过接力棒的托斯，又想出了一种另外的方法。

这个方法是另一个俄国数学家沃洛诺伊提出的，但他英年早逝并没有完善证明。

他提出，我们只要去找一种叫做V单元的立方体就行了。

这种V单元需要具有两个特点，第一它可以没有缝隙的填满三维空间，就像正方体，第二他的内部有一个球。

这样，球的体积不变，只要我们找到一种体积更小的v单元，装球密度就会提高。

凭借这个方法，伯明翰大学的罗杰斯把上界降到了78%，跑出了精彩的一棒。

又过了三十年，加州理工大学的林赛选手接棒，跑出77.84%的好成绩，然后数学家穆德榨干了V单元方法的潜力，把他发挥到了极致。

上界又降低了，虽然只是万分之一，但实属不易。

突然之间。

加州大学伯克利分校的台湾人项武义接棒直接一骑绝尘冲过终点线!

很可惜的是他的证明被数学界认为不完备，并且有诸多漏洞。（我们的攻击未能突破核心！观测到敌方生命迹象！

接力棒被交回新秀黑尔斯手中。

只要上界降到了74.05那么开普勒猜想就立刻会被证明。

黑尔斯采用了迪劳内的一种方法，假设空间里面装满了圆球，我们用直线连接相邻的圆心得到很多个四面体，再进行分析计算。

可是黑尔斯并没有取得太多实质性的进展。这个方法并不能降低上界，而是直接对开普勒猜想进行证明，要是不成功就一无所获。

根据普林斯顿同行的建议，黑尔斯开始使用电脑来对抗这个几百年悬而未决的问题。

他对很多种可能排列方式进行穷举分析。

可是程式运行的结果却出乎意料。

结果表明没有任何一种排列可以超过给出了74.08%这个数字。

嗯？74.08%？这和说好的75.05不一样我摔！导演你是不是给错剧本了！

经过检查，黑尔斯发现了一种古怪的排列方式，它似乎比开普勒堆积要更紧密一点。我们就把它叫做“BUG”好了。

接下来他的工作分成了五个部分，简单的概述就是，他提出了一种给每种排列打分的方式，他只要证明除了开普勒排列外的四大类的排列都低于8分，接下来证明BUG的排列也低于8。而开普勒排列的得分是8。

前面四大类都轻易的完成了。

只剩下了BUG，这种一个强有力的外援出现了，黑尔斯的医生父亲的一个病人恰好是数学教授，他的儿子成为了黑尔斯的学生。

无巧不成书。

黑尔斯原本预计再过几个月就能完成对这个BUG排列的分析。

而实际上他们用了整整三年。

终于，1998年8月9日的上午。一个普通的星期天。

黑尔斯坐下来写了一封电子邮件，告诉全世界的同行离散几何中一个古老复杂的猜想已经得到了证明。

并附上了研究过程和电脑程序代码。

但仍然有不少人人对这种这种穷举证明方法存疑。

到此开普勒猜想证明告一段落。

这个看起来无比符合直觉的猜想前前后后用了四百年的时间才得以基本证明。

人类历史上这批最杰出的天才前赴后地继交棒接力。

他们大多数人都看不到这个猜想被证明的那一天。

如果说这个世界的真理和规律都被隐藏在黑暗中的话，

那么谢谢他们为我们点起光明的火炬。

愿火光永不熄灭。

参考：GeSzpiro.Szpiro一Kepler's Conjecture 维基百科

定长绳子所围成的最大面积是圆。

话说就在一个月前，导师突然把我叫过去，说自己有个很好的想法。

你能不能通过pfc建模，找出三维空间下，圆球的最密实堆积状态，圆球要不等大的，按照工程级配来做。（工程中各个粒径的颗粒含量都是规定好的）

然后老师还在纸上给我画了，小球相切时最密实和最疏松状态应该是什么样，我问老师有没有相关文献，老师说，显而易见啊，还需要什么文献。

然后我就开始学习pfc了，感觉这个想法还有一定的可行性，直到昨天，看了小球堆积问题，均一级配下，最密堆积，大家都搞了400多年，我才意识到，自己揽了个大活……