一个无穷维线性空间的所有基都是等势的吗？ 第1页

答案是肯定的。

首先明确一下基的定义，这里说的是Hamel基，定义是线性空间中的极大线性无关组。其中线性无关指的是任意有限多的非零线性组合结果非零。对于无穷维线性空间，有时也会谈论其他的基，比如Hilbert基或者是Schauder基等，那就是另外的含义了。明显的区别在于，如果对象仅仅是线性空间，那么也就只能谈论Hamel基，而谈论其他的基一般需要额外的结构，比如内积结构或者拓扑结构。

我们有如下的命题：

设 是域 上的线性空间， 和 是 的两组Hamel基。那么存在 与 之间的双射，即 等势.

证明放在最后吧。这个命题表明，线性空间的维数是个良定义的基数。但是这个不变量是非常粗的，很多常见的无限维线性空间维数都是相等的，比如评论区里提到的例子。评论区的说法是错的，闭区间上的平方可积函数和定义域在实数集上的平方可积函数的维数是相等的（作为Hilbert空间也是同构的）。

另外呢，另一条评论讲到泛函分析啊。这门课可以看成是无穷维版本的线性代数，但是这个命题大概是找不到的，因为泛函分析关心的线性空间至少都是有一点拓扑的，没有的话没什么意思。

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证明的参考文献是GTM135（我也没看过这本书，但是肯定有这个命题，证明肯定大同小异）。

我们熟知有限维的情形，此处不予证明，接下来将直接应用这个结论.

以下假设 都是无穷集.

任取 ，由于 是极大的，所以 可以表达为 中元素的有限线性组合. 更具体地说，存在 的有限子集 ，成立 ，其中 非零.

我们记 的有限子集全体为 ，于是上面的构造给出了映射 ， . 这个映射一般来说不是单射，但是根据有限维的结论， . 于是，我们可以给 一个良序，对任意 ，把 中的元素从小到大标记为 .

于是我们得到了一个单射：

而简单的基数算术告诉我们， 是无限集时，右边的集合基数等于 . 所以 . 同理 . 根据Cantor-Bernstein， 等势.