三边为 10 的四边形，如何使之面积最大？ 第1页

通过水槽镜像变成六边形，推广到更一般的形式：已知一个N边形，各条边的边长依次为 ，它的面积最大是多少，什么时候取最大值？

解决这个问题最直接的办法是列函数用拉格朗日乘子法求极值，不过也有个取巧的办法，物理学上根据虚功原理，如果能构造一个物理系统使得它的能量的表达式和我们要求极值的函数是一致的，那么能量取极值的时候，各个组件也刚好受力平衡，因而可以改用力学平衡来求解极值问题，它跟直接列出函数然后求导是等价的。

把N边形的相邻边之间用铰链连接起来（可以自由旋转但必须保持连接，边是刚性的不能弯曲和拉伸），往这个N边形内部“充气”，内部的“气体”有固定的压强p，则N边形面积变化δS时，气体做功为pδS，这样整体能量可以认为是-pS，面积最大时能量最小，只需要对这个体系求静力平衡就行。

首先看每条边，它受到两端铰链和气体压强的作用，气体压力是 ，作用点为边的中心，整体平衡是两个条件：

1. 三个力合力为0
2. 三个力合力矩为0

不难得出，两端铰链的作用力沿垂直杆的方向的分量各自为 ，沿着杆方向的分量大小相等方向相反。设第k条边沿着杆方向的分量为 ，所有的下标我们规定 ，下标为0的边可以同时用0或者N表示，方便后面的公式书写。

考虑每个铰链，它受到两个相邻边的作用力，这两个力合力为0。设k和k+1两条边的夹角为 ，为了方便起见这里规定 是相应的外角，即k的延长线与k+1的夹角，或者180°-相应内角，则可以得到方程：

改写成矩阵

注意这个矩阵的逆矩阵是它本身，同时也有

可以运用复数进行换元，记 ，则有

设 ，则有

多边形必须首尾相连，则外角和为一个周角，边的向量和为0，两个条件同样用复数写为

重新用 表示：

后一个即

不难发现 成立时，后一个等式恰好也成立，两个条件化简为一个条件。

因为有 ，如果我们作一个以R为半径的圆，然后从圆上任意一点开始，依次以圆心为中心旋转 、 、 ……，最后恰好会回到原处（2β和为一个周角），而 对应的弦长正好就是 ，同时相应的外角恰好也是 ，于是我们就得到了一个惊人的结论：

固定边长的多边形面积最大时，当且仅当它是一个圆内接多边形

很容易证明在边的顺序固定的情况下，所有固定边长的圆内接多边形都是全等的，因为它们的外接圆半径一定相等——必须有 且 ，而后一个等式左侧的关于R的函数，在 时是单调递减的，值域则包含 ，因而有且只有一个符合条件的R。

问题中的条件比较特殊，所有边长都相等，那么边长都相等的圆内接多边形一定是个正多边形。

前面的物理方法还可以解决一个等周问题的劣化版本——周长相等的圆内接N边形中，最大的是正N边形。只需要把铰链变成类似滑轮的结构，将杆变成某种特殊的绳，允许它在滑轮的地方滑到另一侧，但两个滑轮之间必须拉直——这种物理模型不常见，但数学上没有毛病。很容易通过受力平衡得到这时候所有的 必须都相等，那么滑轮处的受力平衡决定了所有的 也必须都相等，前面的结论又说明它必须是一个圆内接多边形，因而一定是一个正多边形。