为什么喷泉会弯折回来？ 第1页

这个现象叫做水钟现象(waterbell)，指的是一束射流撞击圆形表面时，射流会四散开来，最终一层薄薄的水膜会形成类似古钟的形状。在国外，水钟现象通常会被用来制作小型喷泉，伴随着周边景物，水钟会被光与影谐调出一种静谧深邃的景象，十分迷人。由于在中文互联网上，根据关键字“水钟”搜索出来的水钟现象照片十分罕见，我特意google了一系列照片，供大家欣赏下。

然而在欣赏之余，我相信很多人心中也会存在许多问题，例如水钟为什么会呈现这种形状，还有没有其他形状的水钟，哪些因素会影响水钟的形状？这些问题实际上都已经得到了解决，科学家们对水钟现象的研究算是比较透彻了，我简单介绍一下。

水钟现象的研究历史，可上溯到1833年萨伐尔的论文，没错，就是电磁学中毕奥-萨伐尔定律中的萨伐尔（1791-1841，法国物理学家）。此后，大量关于水钟现象的研究开始涌现，一直到2008年，依然有新的水钟模态-窗帘水钟被报道出来，这个领域似乎还有东西可挖。

不管那么多，我们只考虑经典的水钟，如下图所示，

水钟表面的某一微元受到的力包括（ 表示微元表面积），

表面张力 ，离心力

内外压差导致的压力 ，重力 。

由微元切向的受力平衡可导出， ，积分可得

由微元法向的受力平衡可导出，

将上述两式无量纲化以后（取特征长度 ，特征速度 ），可得到，

又根据几何关系，存在

上述四式组成了一个常微分方程组，其中 ，表征压力与表面张力的相对大小， ，表征重力与表面张力的相对大小。 为特征长度，定义为 ，其中 为韦伯数。推导时需要利用一个流量守恒关系 ,其中 为液膜厚度。

这个常微分方程组不存在解析解，但数值求解的话很简单。只需要给定初始值， ，然后扔给数学软件求解，便可获得水钟的形状。参考某位网友的博客water bells，我们来比较一下理论结果与实验结果。

根据mathematica算出水钟的形状为，

与实验结果相比较，完美重合。

在下面所列文献中，还有大量的对比结果可供参考，但实验结果都不是很漂亮，我就不贴上来了。现在我们来考虑题主的问题，为什么喷泉会弯折回来？原因是表面张力，取某块液膜分析，表面张力使其有向内收缩成球状的趋势，但在向外的重力和离心力的共同作用下，达成一种妥协，液膜弯曲成水钟的模样。如果表面张力可以忽略时，取对应的参数 ,此时液膜的形状便是一个抛物面，

与平抛运动类似，液膜也就不存在向内弯折的情况了。另外多说一点，这个实验因为操作简单，现象有趣，可以收录于中学生物理实验教材，由于其数学推导并不复杂，也可以改编为中学生物理竞赛题。

2019.7.27更新：感谢评论区提醒，水钟喷泉在国内一般被称为蘑菇喷泉，并且网上图片确实不少，大家可以自行搜索。

【参考文献】

【1】Clanet C. Waterbells and liquid sheets[J]. Annu. Rev. Fluid Mech., 2007, 39: 469-496.

【2】Brahma M, Das P K, Ghoshal K. Unique shapes of liquid bells as a function of flow parameters: A brief overview and some new results[J]. European Journal of Mechanics-B/Fluids, 2015, 50: 98-109.