「等于」的严格定义是什么？ 第1页

谢邀。

希望我能写出一个直观又不失严谨的说明。

序言

我们常说的“等于”，实际上是一个映射。通常我们在实数域 上讨论，为了不失一般性，我们在一个更为抽象的集合 上讨论之。

定义 1

在集合 上，任取其中一个元素 可以得到一个单点子集 ，若存在 满足

我们就说

定义 2

映射 ，并且满足：

我们简记为：

remark

以上两个定义都是元素相等的定义：定义 1 只用到了集合论，定义 2 在集合论的基础上添加了映射的概念，不过两者是相容的，那么我为什么还要写出第二个定义呢？值得一提的是，我们将映射的结果往往记为

这里的等号其实只是箭头的含义

只不过

在算术的场合下 与 不会因为混为一谈而造成误会。

利用元素的定义，我们可以构造两个映射（运算是一种二元映射）相等的定义——

定义5

两个映射 ，若满足

我们称

后记

定义元素相等的方法还有很多，比如在一个全序集（任意两个元素都可以比较大小的集合），如果同时满足 ，我们记为 ；或者用等价关系三条公理定义。但是我没有写，因为我觉得等价关系是一个比较粗糙的（对我们通常理解的等于）刻画，比如平面三角形的相似和全等都是等价关系，相似的三角形有很多很多，但是全等的三角形在重合的意义下唯一，而后者却更接近我们通常对相等的理解。不过，也不必太拘泥哪种理解，事实上，任何相等只能是在某种意义下的相等，而等价关系的刻画也确实道出了相等的精神。

所以，我忍不住追问：我是在何种意义下等于我呢？我真的是唯一的我吗？

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以上的说明实际上很简略，一言以蔽之：把说不清、道不明的麻烦全都推给了集合论。在定义“相等”的概念之前，我的前提是：只有集合的概念、可以判断元素是否属于集合，仅此而已，不需要自然数概念，没有“唯一”的概念。

我和题主在评论区的讨论是很生动、详细的，如果要深究本文，建议看看。

大家写得都比较通俗，我来给一个纯形式化的定义。

一个二元关系 是指一个从 到 的映射，其中 。

映射到 记作 。映射到 有各种不同的记号。

一个二元关系 被称为相等关系，当且仅当

1.

2.

3. 。

其实更专业的说法叫等价关系，这比通常的相等关系更为广泛。比如在模某个数的整数环中，两个在通常意义下“不相等”的数可以是等价的。

奈何本人学艺不精，最基础的等于关系的定义我是不清楚的，只知道广泛的等价关系。。。

不过，如果只考虑数的相等的话，我以前有过一个脑洞想法，自己创造了一个“公理系统”，把实数定义为由一个有限符号集组成的字符串，定义字符串里“邻居”的概念，然后定义位置的概念。从而可以定义相等为：两个数相等等价于位置相同的符号相同。(也就是按照“小学生的思维模式”来定义。。。)