材料硬度是否会决定物体尺寸上限？ 第1页

题中的这段话基本上没问题，物体越大确实越“软”：

两个航母用每分钟一个自己船身的速度相向而行，撞上后必然船体破损，而两个玩具航母就算每秒一个自己船身的速度相向而行，撞上后也不会破损

但这种现象并不是由硬度决定的，硬度主要用来衡量材料抵抗局部微小变形的能力（例如表面摩擦/压痕），跟整体变形的关系不大。

简单来说，材料越大越“软”，一是因为材料所受载荷往往正比于其质量（~长度的三次方），二是因为材料的承载能力正比于其截面积（~长度的二次方）。因此，当材料的尺寸变大时，载荷的增长速度往往超过承载能力的增长速度，所以材料更容易发生变形。

举例来说，如果你把一艘船等比例放大10倍，它的载荷（质量）会变为原来的1000倍，但承载能力只是原来的100倍。所以放大后很可能自身重量就把船压垮了。

同样的道理，从长宽比来看，蚂蚁的腿可以很细很长，但大象的腿却又粗又圆。如果把蚂蚁的等比例放大到大象那么大，蚂蚁的腿会瞬间被自己压断。

前面几位答主提到的强度，其实是承载能力/截面积的比值。强度高的材料确实容易做的大一些，就好比木头房子很难搭到十层以上，而钢筋混凝土的房子却可以轻易搭到几十上百层。

但这并不改变载荷增速比承载能力快的物理规律。无论材料的强度有多高，其尺寸都是有上限的，不同的只不过是这个上限的数值而已。即使用上强度最高的钢筋混凝土，也不太可能建成万层高楼。

物理上有个很重要的概念，叫「无量纲化」。要比较的两个场景，如果在无量纲化之后是一样的，那么所要研究的性质在这两个场景里就是一样的。或者说，在使用无量纲化变量之后，两个场景可以用同一个方程来描述，而不用考虑尺度因素（白金汉π定理）。什么意思呢？就拿题主的例子来说明一下。玩具航母和真航母，航母还是太复杂了我们用一个空心盒子来做简化。

这两个场景里涉及到的物理量有哪些呢？有盒子的长度 L（具有长度量纲 L），盒子的速度 v（量纲 L T^-1），盒子的板材厚度 d（量纲 L），盒子材质的密度 ρ（量纲 M L^-3）， 盒子相撞时候的力 F（量纲 M L T^-2），盒子相撞过程的形变量 δ（量纲 L）

好了，我们来看看这些量可以怎样无量纲化。写出量纲矩阵

容易得知这个矩阵的零空间（null space）的秩（rank）是 3（按行计算，所以是左零空间），所以可以组合出 3 个无量纲量。无量纲量其实就是零空间的基础解系。虽说理论上无量纲量的组合有一定任意性（基础解系进行线性组合还是基础解系），但实际上人们会挑选一些比较有实际物理意义的组合，这样比较方便分析问题。[此处感谢评论中 @王赟 Maigo 指正，最开始写的时候粗心把零空间算错了，漏掉一个无量纲量 x3]：

按照题主的假设，玩具航母盒子和真航母盒子，「钢板厚度与船自身比例都是一样」，那么这里的 x2 是一样的；而 x3 表示航母撞坏的时候相对变形量，或者说变形到全长的百分之多少的时候认为是撞坏了。这个也可以认为是一样的（实际上 x2 和 x3 是平凡的，表示尺度上的归一化）。剩下 x1，我们看看玩具航母和真航母 x1 是不是一样。稍微仔细一点就会发现，这里 其实就是材料的杨氏模量 E，表示材料的强度，于是 x1 可以重新写为

在所用材料相同的情况下，E 和 ρ 都是一样的，但是速度 v 显然不一样。为了保持 x1 不变，有这样几种思路：1. 真航母增加 E 减少 ρ —— 说人话就是，要材料又轻又坚固，这就不会被撞坏了。可是这就太难了，谁不想航母做得又轻又坚固……那只能从另一方面来入手，真航母材料不变，玩具航母用 ρ 大 E 小的材料，或者 ρ 小 E 小得更多的材料 —— 说人话就是，玩具航母做得「脆」一点，那么相撞的时候也会一样损坏；2. 维持速度 v 不变，也就是，让真航母也走得和玩具航母一样慢，比如 10cm/s，那真航母相撞也不会损坏。

看见没？对于这种尺度不同的场景，利用「无量纲化」的技巧，很容易发现关键因素在哪里。在题主的场景中，如果保持长度方面比例不变（无量纲因子 x2 和 x3 不变），那么就势必导致玩具航母「看起来」要比真航母强很多，如果可以调整材料或者航行速度，那么玩具航母和真航母的结局就是一样的了 —— 要么玩具航母也很脆一碰就坏，要么真航母航行极其缓慢碰撞也没问题。

无量纲化技巧极其重要，很多场景下我们是很难做原尺度实验的，比如歼20研发，要先做一个比例缩小的模型放到风洞里做实验。那怎么保证实验结果是有指导意义的呢？这就要靠无量纲化技巧来进行分析了。

留给题主一个思考题吧，为什么狗尾巴草的茎又细又长，许多大树的主干却是非常粗壮呢？