数学家 John Horton Conway 或因感染新型冠状病毒逝世，如何评价他一生的经历与贡献? 第1页

数学魔术师Conway：“超现实主义”游戏人生的终止

（本文首发于公众号：奇略研究所）

英国数学家，普林斯顿大学教授约翰·H·康威(John Horton Conway)证实于美国东部时间4月11日因新冠肺炎在美国新泽西州的住处逝世，享年82岁。Conway的离世是数学界的重大损失。在缅怀Conway教授的帖子里，有数学爱好者评论说，“Conway终究遗憾地输掉了他的生命游戏”。

生命游戏（Conway’s Game of Life）是Conway最广为人知的发明。生命游戏是一种元胞自动机（cellular automaton），源自大名鼎鼎的数学家冯·诺依曼在1950年代模拟细胞自我复制的发明。冯·诺依曼贵为学界泰山北斗，但他的初代元胞自动机并未引起学界重视。而Conway的生命游戏却在问世之后立即在学界成为爆款。元胞自动机由此成为一门全新的学科，而生命游戏则为数学家与码农所熟知。

著名码农刷题平台Leetcode（力扣）的题库中，第289题就是用代码实现生命游戏，标定难度中等。这道题的确不难，因为Conway设计此游戏的首要原则就是“规则简洁”。生命游戏的背景是无尽正方形格子组成的宇宙，其中每一格代表一个细胞。每个细胞有两种状态，生存或是死亡。细胞的繁殖或死去取决于其与周围八个相邻细胞的互动，遵循以下规则：

1．若一个活细胞周围活着的邻居只有0个或1个，则此细胞下回合死亡。（模拟人口过低）

2．若一个活细胞周围活着的邻居恰有2个或3个，则此细胞下回合存活。

3．若一个活细胞周围活着的邻居超过3个，则此细胞下回合死亡。（模拟人口过剩）

4．若一个死细胞周围活着的邻居正好有3个，则此细胞下回合变为活细胞。（模拟人口繁殖）

简洁、合理的规则之下，生命游戏蕴含着不胜枚举的有趣“生命形态”。Conway宇宙中，最简单的永久生物是一个2×2的“方块”。由6个活细胞组成的“蜂巢”也是一种简单永久生物。若没有外来因素影响，永久生物将持续生存下去，其形态不会改变。

除永久生物外，另有一种周期性改变形态的生物。“脉冲星”是其中最漂亮的之一。“脉冲星”有三种不同的状态，每三回合循环各出现一次。

比周期型生物变化更频繁的，是“飞船型”生物。飞船型生物不仅周期性改变其形状，且位置也会持续变化。旧的细胞不断死去，而新的细胞在新的位置持续重生。这让人想起那个古老的哲学问题“忒修斯之船”：

如果忒修斯之船上的木头被持续替换，直到船上所有的木头都不是原本的木头，那么这艘船还是“忒修斯之船”吗？

Conway的生命游戏曾令无数极客沉迷于其中。不过，对于Conway本人而言，生命游戏只是他数学研究结出的，相对不重要的成果之一。实际上，Conway的研究成果遍及数论、有限群理论、扭结理论、编码理论、组合博弈论等数学分支。在今天，数学各子领域高度专业化，大部分数学家一生的研究只局限于一两个领域。像Conway这样研究横跨多个不相关领域的数学家，实为凤毛麟角。因此，Conway被广泛赞誉为“数学魔术师（mathemagician）”。

Conway很早就展露出数学研究的超凡天赋，但他在年轻时也曾陷入迷茫。在20多岁时，Conway就对一些形式特别的趣味数学问题感兴趣，却担心其他数学家将其研究评价为“平凡无奇”。平凡无奇，即trivial，这是数学工作者绝不想听到的最低评价。因此，Conway在相当长的一段时间里，研究进度逡巡不前。

数年磨刃之后，Conway以一篇关于有限群的严肃论文一鸣惊人，在学界声名鹊起。但Conway很快意识到，这世界上数学家总共没有多少，因此他们的评价也没有想象中的重要。那么，为什么要在意他人类似“不够严肃”、“平凡无奇”的评价呢？

认清“他人的评价不重要”之后，Conway决定放飞自我，优先研究自己感兴趣的方向。生命游戏是Conway投入思考的方向之一，不过这只是一盘开胃菜。在发明生命游戏的同一时期，也就是1970年前后，Conway发明了一套后来被称为“超现实数（Surreal Number）”的数字体系。

超现实数与名为“超现实主义”的艺术流派没有直接关联，只是超现实数的问世本身就是一件带有“超现实”色彩的事件。在复数与超复数（如四元数）等数字体系建立后，数学界在很长一段时间内认为，数字体系的发展已基本走到尽头。而Conway的超现实数，可谓于无声处起惊雷。

比超现实数的发明本身更令人惊奇的是，Conway最初的目的并不是发展新的数字体系，而是研究一门来自东方的古老游戏——围棋。在剑桥大学学习和工作期间，Conway接触到围棋，并沉迷于其中。

剑桥大学1985年出版的《数学人》一书中记载，在创造生命游戏期间，“Conway与身边的研究生一起工作，一面写满了数以亩计的草稿纸，一面手中把玩扑克牌、硬币、贝壳、围棋子，直到他们找出能够平衡生与死的游戏规则”。或许是围棋简洁的规则启发了Conway，使得他创造的生命游戏同样简洁、美丽。

围棋与生命游戏的关系我们只能从一些只言片语里推断，不过围棋启发了超现实数的发明，这一点确凿无疑。Conway在研究围棋的官子（即终局阶段）时领悟到，全局性的围棋官子问题可以被视作若干局部官子问题的总和（例如下图）。而局部性的官子问题可以被进一步抽象为数字，超现实数则在此认识的基础上应运而生。

超现实数的基本形式是G={L|R},可以被视作像围棋这样双人回合制游戏的抽象。L代表执黑棋方下一手导致所有可能结果的集合，而R则代表执白棋方下一手导致所有可能结果的集合。超现实数具体到围棋上，Conway考虑的是围棋规则的一种变体——无停着围棋(No-pass Go)。常规的围棋允许棋手在没棋下的时候停一着，而无停着围棋则不允许停着，这会导致一些微妙的区别。

第一个被创造的超现实数是0 = { | },L和R都是空集，相当于黑白双方都没有合法着数可下的局面，见下图。现在若轮到黑方走棋，那么根据规则，黑棋不能在C、D处白棋的“眼”里自杀。而围棋的基础知识告诉我们，两只真眼才能活棋。所以黑棋也不能自填仅有的A、B两只眼，因此黑棋无棋可下。同理，若轮到白棋下，白棋也无棋可下。因此，{ | }这个局面的结果被指定为0。其含义是，此局面下，轮到哪那一方下棋，那一方就必输无疑。

紧接着0 = { | }之后，下一组超现实数是1 = { 0 | }，和 -1 = { | 0 }。在围棋盘上，前者可以用下图表示。此局面下，黑棋有A、B、C三个眼，而白棋只有D、E两个眼。若轮到黑方走棋，黑方可以走A、B、C的任意一点，结果都等价于上图的0 = { | }。而若轮到白方，她没有任何可行的选项。因此，{ 0 | }这个超现实数，竖线的左边代表黑方有可行着法，并导致“0”这一结果；而竖线右边代表白方没有可行着法，因此留空。{ 0 | }等于1，其含义是黑方比白方多1个可行的选项。换句话说，无论轮到谁走棋，这个局面都是黑方胜。

-1 = { | 0 } 是 1 = { 0 | }的相反数。在围棋盘上，前者相当于在后者的基础上交换了黑白子，如下图。{ | 0 }等于 -1的含义是，白方比黑方多一个可行的选项。因此无论轮到谁走棋，此局面都是白方胜。

到目前为止，三个超现实数，0、1、-1已经被创造出来，但这还没有超出我们熟悉的整数的范围。而下一个超现实数，则不再属于整数，也不是分数、无理数，甚至不是复数。

这个数是 * = { 0 | 0 }。其对应的围棋局面如下图。与0 = { | }的局面相比，此局面只多出C一处空点。这个点在围棋术语里叫做“单官”。若现在轮到黑走棋，则A、B、D、E仍是不可行的着法，只有走C，其结果和 0 = { | }一样。若轮到白走棋，白方也只能走C，结果还是0 = { | }。所以，此局面被记作{ 0 | 0 }，即黑、白双方的唯一策略均指向“0”这个局面。{ 0 | 0 }的结果与{ | }正好相反：轮到黑方下则黑胜，轮到白方下则白胜。Conway因此用“*”这个特殊符号记录此结果，指定 * = { 0 | 0 }。

总结四个基本的超现实数，我们可以得到下表。

就像普通的数字一样，超现实数也可以进行四则运算。比如超现实数的0+1=1; 1+(-1)=0, 1+1=2; 这些运算的结果，有兴趣的读者可以自行验证。笔者潘达在这里要介绍的是一个特殊的运算结果，* + * = 0。这个式子看上去很抽象，不过放到围棋盘上就容易理解了。前文提到，* 相当于一个单官，那么 * + * 就相当于两个单官，可以用下图表示。

棋盘上有C、D两处单官，是仅有的可下之点。无论是黑棋还是白棋先下，结果都是黑、白各占一点。因此最后总是回归到“0”这个局面（上图右）。左图是 * + *；右图是0，两者等价。因此用超现实数的语言总结，* + * = 0。

在上述四个基本的超现实数的基础上，我们可以递归定义出分数、无理数、无穷小量、无穷大等各种超现实数。篇幅所限，本文在此不再展开介绍。

Conway的超现实数理论脱胎于围棋，其适用范围也远远超过了围棋。在超现实数的基础上，Conway与同行一起开创了组合博弈论这一数学领域，用于研究包括围棋在内的一大类数学游戏。

其中，与Conway一道创立组合博弈论的Elwyn Ralph Berlekamp教授，在超现实数的基础上发展出一套专门适用于围棋官子的数学理论。像上图这道Berlekamp设计的官子问题（轮白棋下），曾经难倒过中、日、韩三国的职业棋手，也让新时代的围棋AI无从下手。而Berlekamp的理论，不仅能够成功解出此题，并且能够给出严谨的证明。

很遗憾，Berlekamp教授已于2019年4月逝世，Conway教授也在前天离开人世。两位大师的离去是学界的重大损失，不过，我们或许不必为此过度伤心。

有一句网络流行语说得好，“男人至死是少年”。Conway作为一位天才数学家，内心可以强大到无视世俗的评价，而醉心于研究常人眼中的“玩物”，践行了超越现实的游戏人生态度。而Conway前两年的采访也可确证，他不会因为死亡的临近感到紧迫，或因为无法看到重大数学未解之谜的最终解决感到遗憾，因为他的一生都已献给他所热爱的研究。

在缅怀Conway教授的帖子中，有网友以Conway教授创造的生命游戏和Conway的人生态度撰写了一则墓志铭，笔者以此结束本文。

“Conway创造了生命游戏。而因为新冠肺炎疫情导致的社交距离限制，名为Conway的元胞没有足够多的邻居，遗憾地退出了生命游戏。”