龙格现象产生的原因？ 第1页

简单地讲，并不是所有函数都长得很像多项式。

总存在一些不像多项式的，如果你强行按照等距节点的方式取插值多项式，就可能出现这问题。

首先，不是舍入误差，而是系统误差（应该是这个名字？总之就是多项式插值本身的性质）

详细算一下这个误差。

一般的插值余项公式为

这里 为插值区间 中的插值节点， 为 区间中一点。

Runge现象说的是，对 在区间 上进行n次多项式插值，当 时， 。更确切的说，当 时， ,当 时， , 。

解释这一现象，直接计算

很困难，因为微分项 不太容易直接求导计算。为方便起见，令 .

复变函数中的Cauchy积分公式 可以很方便的计算 的值，故将插值余项公式延拓到复平面上，并应用Cauchy积分公式，得

其中 是区域的边界，区域应满足在中解析且所有插值节点都在中。（注意， 的奇点为 故区域不能包含 ）

化简，得到

所以现在的关键就是通过分析函数 在 时的性态，选择一个围道 ，来估计积分的值。

的图象大概是这样的（来自【2】）

这是当 时，三个节点分别取0，1，2i 时的图象。随着r的增大，图象逐渐外扩。当r足够大时， 的图象很接近一个包含所有节点的圆。因此我们可以选取 作为积分的围道

有一个很好的结论：此时对 内部任意的 , （ 且 ）而对于 外部任意的 , （ 且 ）

于是，当 不包含 的奇点 时，可以直接选取 做围道计算 ，此时

随着 变大，曲线 与 轴正方向交点向右移动。当恰好经过 时，曲线 与 轴正方向交点为 .也就是说，当 时，可以选取 使 在 内部而 在外部，这时误差估计满足上式，插值多项式收敛。

而当 时，奇点 在 的内部，因此需在奇点附近挖“洞”，记“洞”的边缘为，此时有

此时插值多项式发散。

为什么将等距节点换成Chebyshev节点时就不会出现发散的情况呢？因为Chebyshev节点对应的 在经过奇点 时是一个以 为焦点的椭圆，因此对于任意 ,都可找到一个r，使得 包含 而不包含 ,和上面同理，插值多项式收敛。

参考材料

【1】James F. Epperson , "On the Runge Example " , Amer. Math. Monthly, 94(1987), 329-341

这篇文章以本科知识的角度解释了Runge现象，并附加了几个例子。

【2】Phillip J. Davis, Interpolation and Approximation, Dover, New York, 1975

这本书的第三章、第四章详细的讨论了高次多项式插值的余项和收敛性。