网传清华大学电子系2020春 《概率论与随机过程1》 几乎高达30%的挂科情况，反映出什么现象？ 第1页

“我从他的利爪，认出了这头狮子”。张真人偏爱奇技灵巧的题目，喜好降维秒杀的解法。题目确有难度，我在CMU当助教时可不敢这么出题。闲话少叙，我来做几道有趣的题目。

1. 客车有n个座位，第一个乘客车票丢失任选一个座位坐下，后面的乘客持票上车后，如果自己的座位空着，则坐在自己的座位上，否则也任选一个空位坐下。计算最后一个乘客坐在自己座位上的概率。

这是一道动态规划题。记最后一个乘客坐对概率为，我们来找递推式。记第i个乘客的对号座位为i号座位。考虑n≥2时，按照第1个乘客的座位分类：如果他坐在1号座位，则最后一个乘客坐对概率为1；如果他坐在n号座位，则最后一个乘客坐对概率为0；如果他坐在i号座位，i=2,...,n-1，则第2至i-1个乘客都坐对，第i个乘客发现座位被占，他任选一个座位，这样就变成了n-(i-1)个乘客的子问题（可以把1号座位看成他的对号座位），此时最后一个乘客坐对概率为。从而得到递推式：，初始值，可解得，n≥2。

很多评论提到本题有秒杀解法，这里补充一个@家飞猫 提供的精妙解法：让乘客强硬起来，第2至n-1个乘客上车后，如果发现自己的座位被占，不再自己任选一个空座，而是赶走占座者让他重选一个空座，而他俩谁去选座这对于后面的乘客来说是等价的。在这个版本中，第2至n-1个乘客均坐在对号座位，仅有第1个乘客被驱来赶去，最后一个乘客上车时，第1个乘客等概率地坐在1号或n号座位（在第1个乘客眼里两个座位没差别，根据对称性概率各为1/2），从而最后一个乘客坐对概率为1/2。

6. X,Y独立，且均服从标准高斯分布N(0,1)，求Z=cos(X+Y)的均值和方差。

这道题涉及高斯分布的求和、特征函数。X+Y服从高斯分布N(0,2)。这里插一句，高斯分布经过线性变换保持高斯分布，只需计算变换后的均值和方差即可。高斯分布的特征函数是，两侧取实部并代入w=1得到 。从而得到均值。方差写成，用二倍角公式化简得到。

最后2道题隐含了随机过程中泊松过程和鞅的思想。题目取材于高等的知识，却有初等的解法，颇有苏联数学题的风味。

7. X,Y独立，且均服从参数为λ的指数分布，计算E[X²|X+Y]。

这道题涉及指数分布的物理意义。指数分布X~Exp(λ)可以理解为：任意时间微元dt出事概率为λdt且相互独立，X为首次出事的时刻，亦是两次事故的间隔时间。给定X+Y时第2次出事，则第1次出事时刻X均匀分布于[0,X+Y]，即X|X+Y~Unif[0,X+Y]。E[X²|X+Y]是均匀分布的二阶矩，可得到。

顺便说一句，类似的结论可以推广为：X~Gamma(m, λ), Y~Gamma(n, λ)，则X+Y~Gamma(m+n, λ)，X/(X+Y)~Beta(m, n)，且二者独立。Gamma(m, λ)可以理解为第m次出事的时刻。Beta(m, n)可以理解为[0,1]内随机取m+n-1个数其中第m小的数（顺序统计量）。给定X+Y时第m+n次出事，则前面m+n-1次出事时刻均匀分布于[0,X+Y]，第m次出事的时刻X除以时间长度X+Y，正是Beta(m, n)。这类思路常见于泊松过程的计算。

8. U₁, U₂...是一列独立、同在[0,1]上均匀分布的随机变量，试求E[N]，其中是部分和首次超过1的项数。

这又是一道动态规划题。记N(x)是部分和首次超过x的期望项数，0≤x≤1，我们来找递推式。按照U₁的取值分类：如果U₁>x，则N(x)=1；否则还需要部分和首次超过x-U₁这么多项数，即N(x)=1+N(x-U₁)。从而得到递推式。改写成，解微分方程得到，0≤x≤1。从而E[N]=N(1)=e。

另有一种解法，首先将期望改写成，N>n可以等价地理解为前n项部分和≤1，即。后者是n维立方体中单纯形的体积，可以通过对称性或积分计算出，从而得到。

以上两种思路均常见于鞅的停时、更新方程的计算。

反映出什么现象我不好说，评论一下卷子吧。刚看了一遍，其实不能算是非常难，也有些题出得还是不错的。但是另一些题则是我不太喜欢的类型。

最突出的是第一题。这种题我出卷子的话肯定是没有的。为什么呢？不是因为它难，而是因为它难得不是地方。高赞给出了一种解法，我之前在知乎上也回答过这道题，用的是另一种思路。

无论是动态规划还是构造一一映射，我们看到，想到正确的思路都不容易。但是，问题来了--动态规划/构造一一映射的技巧是概率论的核心内容吗？不是。严格意义上说，它们甚至连“边缘内容”都算不上--它们就不是概率论。一个概率论的考试，理应考察学生对概率论的理解。现在难度全加在了和概率论没多大关系的技巧上，这难度点歪了啊。学生做对了，不代表他概率论学得就好；做错了，八成也是因为没想出特定的技巧，那考它有什么用呢？

古典概型的问题可以很有意思，平时锻炼思维是很好的，但是我一直觉得它们不应该在考试里出现，就是这个原因：古典概形的问题的难度是没办法加在概率论本身上面的，一难就难到组合和特殊技巧上面了，考核的重点不对。

第七题和第八题是不错的。特别是第七题，无论是知道指数分布的特殊性质还是临时推一下，考察的都是学生对概率分布和基本推导的理解，计算量则很小，所谓会者不难。这样的题是我最喜欢的。它具有几个特征：1. 一个对概率论有较好理解的学生，从基本的原理和性质出发，用常规技巧可以轻松解决；2. 计算量小，这样可以避免考试变成计算能力测试 ；3. 在找到正确思路或者得到正确结果的瞬间，学生就可以知道自己做对了。

另外要吐槽一下，我一直觉得一门概率课，即使再入门，大数律和中心极限定理是必须提的。这份卷子里完全没有涉及，像马尔可夫不等式和切比雪夫不等式这样的概率不等式也没有出现。不知道是课程里确实没有，还是课上讲了但是没有反映在卷子上？前者我想吐槽课程，后者我想吐槽出题...

来自树洞。

如果数据真实，应该算是教学事故了吧。

自己也当过助教，所以有点疑虑，觉得后期应该会通过调分公式，把挂科率控制在合理范围吧。

假如是真实的，我觉得大概率是老师出题和判分的问题。清华是顶级学府，电子系也不是劝退专业，这么好的生源，搞30%的不达标实在有违常理。