甲烷的键角是 109°28'，可以通过高中数学的立体几何或空间向量知识算出这个值吗？ 第1页

楼上 简单 建的坐标系可是一点也不简单呀。

把碳原子放在原点，四个氢原子坐标分别为(1,1,1) (-1,-1,1) (1,-1,-1) (-1,1,-1)

任取其中两个算向量夹脚

cos<a,b>=a•b/(|a|•|b|)

a•b=-1

|a|=|b|=sqrt3

cos<a,b>=-1/3

将碳原子设为原点，一个氢原子设为A(0,0,1)。

再将一个氢原子设为B(x,0,-sqrt(1-x^2))，则另两个氢原子分别为C(-x/2,sqrt(3)x/2,-sqrt(1-x^2))，D(-x/2,-sqrt(3)x/2,-sqrt(1-x^2)).

甲烷分子中各个碳氢键夹角相等，即OA与OB的夹角=OC与OD的夹角，

根据空间直线夹角的公式有，

cosAB=cosCD

|OA·OB|=|OC·OD|，

sqrt(1-x^2)=x^2/4-3x^2/4+1-x^2

1-x^2=(1-3x^2/2)^2

令x^2=y，则有1-y=1-3y+9y^2/4

2y=9y^2/4

y=8/9

所以cosAB=cosCD=sqrt(1/9)=1/3.

即可算出夹角的大小。

注意得到的两直线的夹角是一个锐角，而碳氢键的夹角是这个夹角的余角，即为109.28度。