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该n元不等式如何解?(张端阳的题)? 第1页

  

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第七题:令 为自然数, 。令

得到

把 调换位置:

两式相加得到

最大值为 ,最小值在 时取到,为 。这样再使用一次绝对值不等式就可以消掉 得到 的下界: 。

然后我们证明 的最小值确实是 。令 ,以及 。则绝对值中的式子就是

首先,由Cauchy不等式知道 ,所以 ,等号成立当且仅当 都相等。

另一方面,设 ,其中 。对任意 , 是 的凸函数,所以 的最大值必定在 时取到。设 中 ,其中 。则

注意到 ,所以 ,得到 。

所以 ,即 ,等号可以取到。也就是说 时原式的最小值正是 。

综上, 的最小值是 。




  

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