√8-√2=√2，这是怎么得出来的？ 第1页

本题难度极大，基础不牢肯定是想不出来的。题主面对一个如此艰巨的问题，首先就要摸清楚数学的底层逻辑，我打算从ZFC公理系统讲起！

1-Axioms of Zermelo-Fraenkel

1.1. Axiom of Extensionality. If and have the same elements, then .（外延公理）

第一条非常简洁直白——集合相不相等，只与元素有关，两个集合含有完全一样的元素的时候，我们称两个集合相等

1.2. Axiom of Pairing. For any a and b there exists a set that contains exactly a and b.（无序对公理）

第二条公理保证了集合可以无穷嵌套——直观上理解成俄罗斯套娃（一个壳能套任意个的那种）

1.3. Axiom Schema of Separation. If is a property (with parameter p),

then fоr аnу аnd р thеrе ехіѕtѕ а ѕеt thаt

соntаіnѕ all those that have property .（分离公理）

这一条公理解决了罗素悖论——是否存在“不包含自身的集合的集合”？

1.4. Axiom of Union. For any there exists a set , the union of all elements of .（并集公理）

这个没什么可说的

1.5. Axiom of Power Set. For any there exists a set , the set of all subsets of .（幂集公理）

大白话说就是：集合的所有子集能构成另一个集合

1.6. Axiom of Infinity. There exists an infinite set.（无穷公理）

存在有无穷多个元素的集合

1.7. Axiom Schema of Replacement. If a class is a function, then for any there exists a set .（替换公理）

这让集合与集合之间建立了映射关系

1.8. Axiom of Regularity. Every nonempty set has an -minimal element.（正则公理）

集合中存在极小元

1.9. Axiom of Choice. Every family of nonempty sets has a choice function.（选择公理）

这是一条强大的公理

The theory with axioms 1.1-1.8 is the Zermelo- Fraenkel axiomatic set theory ZF;

ZFC denotes the theory ZF with the Axiom of Choice.

现在引入笛卡尔积——

（二维欧氏平面笛卡尔坐标系上的坐标便是 有序对的投影）

2-Properties of sets

2.1. Define , if , then

Proof: 假设 ，则

由 得 ，于是

2.2. Define , if , then

Proof: WTS

, for ，故

, for ，故

2.3.

Proof：空集时显然成立，只考虑非空情形

若 ， 则 且 ，

存在某个 ，使得

若

，于是 严格相等

2.4.

Proof：空集时显然成立，只考虑非空情形

若 ，则

if , ,

if , ,

则

若

if ，显然成立，if ，则 ，显然成立

则 ，于是 严格相等

2.5. 容斥原理：

is a complete set

（该性质的证明留作题主课后习题）

3-Functions

Definition : is a relation.

、

The symbol is sometimes used as" is a function from to ."

if , then

显然

tip: 线性代数的矩阵乘法就是一种线性映射，于是乎，矩阵乘法同样满足该性质

Relations：

4-Numbers

3是多少？114514是多少？1314520又是多少？我们现在就来定义“数”

Define , is an empty set.

, ,

...ect.

Now let

if , , and （即自然数集）

这里默认是10进制的语境

序关系

4.1. Arithmetic

For each natural number , there exists a function

such that

We have , which means

Whenever are natural numbers.

Since and

The equation is true if

If the equation is true for

Then (Definition)

Thus ,

It is mathematical induction, we can prove it by Axiom of Regularity in ZFC.

Now I would like to define multiplication and exponent.

For each natural number , there exists a function

such that and

Then the value is , by definition , the product

It is not difficult to prove that

,

For each natural number , there exists a function

such that and , noted

Reason by analogy, , ,

4.2. Group

从前面的论证可以看出，若 ， ，且 ，

那么 中无法找到相应的

此时我们定义若 ，则 ，那么 ，加法系统就完备了，

自然数集与负整数集构成了整数集，

加法和整数集构成了交换群（又称阿贝尔群）

(It's too much trouble to type in Chinese, so I'll do it in English...)

Let's apply this doctrine to multiplication.

Define as the inverse of ，and is forbidded.

does not have the multiplication inverse element.

的构造：

先构造 和 （或者 ）的笛卡尔积

每个有序对 代表符号 。

再构造一个 上的binary relation 为

当且仅当

易得该二元关系为等价关系

故我们可以以此关系构建quotient set ，

然后命名其为

但是……有理数域上有很多的“空隙”

现在构造无限笛卡尔积

取

再构造一个 上的binary relation 为：

当且仅当 。

可证该二元关系为equivalence relation。

故我们可以以此关系构建quotient set ，然后命名其为

4.3. Limits and continuity

函数 在 处连续的定义是：

任意的 , 存在 ,当 ,有

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设连续函数 ，满足对任意实数 ，均有

不难看出 、 、 、

、

第一组解： ，

此时该函数恒为0

第二组解：

在第二组解的前提下，该函数的其中一个解为

第三组解：

下面证明在第一组解不成立且该函数连续时，该函数有一个解为幂函数

先考虑函数值全为正数的情况

将 两边取自然对数得

因为 ，所以

做代换 得

因为 ，所以

令 ，则

引理：

设连续函数 ，满足对任意实数 ，均有

令 ， ，得

令 ， ，得 为奇函数

代入 ，

令 ， ，

得当自变量为正时若函数值即为正时， 单调递增；为负则单调递减

令 为正整数， .........

令有理数 ,取 , 得到 ，再类比整数，

得到 即：

则 在有理数域上为正比例函数（后面加上一个常数就是一次函数）

设 , 取一列有理数 逼近 ，即 .

所以

即 ，所以

因为 ，所以

两边同时取自然指数得

， 的值决定了该函数的奇偶性（1或-1）

于是乎自变量为负数时同样成立，该函数有一个解为幂函数

显然，

于是令 ，分别取 为

有 ，即

证毕！

本来这个回答没多大意义，我实践一下费曼学习法，你们看个热闹，前几天有位目前在留言区求助，所以我把链接放在这

水滴链接https://www.shuidichou.com/cf/contribute/75b18f5b-c6c7-4eeb-9fc9-7d6564908398?channel=wx_charity_hy&source=fsHhjMdCkSY6jT4x2WA1641893537942&forwardFrom=4&sharedv=0&userSourceId=b3MfCDicywsme98ZIGeFxg&shareId=8iS4ZxwNRY5tr8sZfSf1644493065686&shareIdV2=PG3rzFzYjbtAtRAZ4S61644493065188，谢谢，万分感谢！

居然被自己关注的大佬赞了，受宠若惊

tip：知乎貌似会把热评自动加推荐（且不会通知），因此精选评论不代表答主立场。如果看到离谱的可能会手动撤一下。

以下是原回答

避免被推送给关注者，开个匿名

打开题主的提问：

唏嘘不已，不知道题主现在考到哪里了。

学习是每个人的天性，但是做题、考试真的不是。

为防被当作答非所问，还是答一下。按照初中的解法（群域环什么的真的不会）：

又因为

所以

所以

update 1：将乘法分配率直接展开成加法，更容易理解。

看了看题主的动态。一些迷茫，一些急躁，一些逆袭的渴望，还有一点性。三两笔勾画出一个普通中学生在时代洪流下的不知所措。一群求助者、一群焦虑贩子、一群看客。考试终了的锤子落下，又是新一年的循环。好一似食尽鸟投林，落了片白茫茫大地真干净。

有些问题还真不好解释，比如为什么1+1=2，为什么负负得正。按照哥德尔不完备性定理，只包含初等数论的形式系统是无法同时做到“逻辑自洽”和“无需设定”的（定理的原话是“既不能证实也不能证伪的命题”，我思前想后，那不就是“设定”了嘛）。

我对数学的理解是，人们为了描述客观存在的事物，而发明了一套符号系统，以脱离原有具体的客观事物，来描述抽象的关系。结果这套符号系统乘风起飞、开枝散叶，就出现了各种反常识的东西。如果有些东西不好自圆其说了，就引入新的公理或者“设定”来bugfix。

有些符号运算过程，源于客观事物，终结于客观事物，但是中间过程却是些不存在的东西。比如微积分“无限细分”、“无限累加”过程，舍去了无数个高阶无穷小，却能算出正确的东西来。直觉上这肯定离谱的要命，但它就是管用，管用就是可以为所欲为。

相对来说根号运算还是比较好理解的。一个等腰直角三角形，它的斜边总得有个数字来描述吧？所以根号就可以作为原有符号系统的补充。但是人们马上开始加戏，既然有1/2次幂，为什么不可以有1/3、1/4次幂？进一步的，可不可以有e次幂？虚数次幂？可不可以用无穷级数、无穷大作为幂次？在这些情况下怎样让这套符号系统自洽？在这些情况下，数学系统早就脱离那个等腰三角形，飞向九重云霄了。

然而妙就妙在，在未来的某个时刻，可能有另一个场景把这些idea给接住了。比如机器学习最经典的梯度下降法，利用梯度快速收敛一个多元函数的极值，进而用来做分类、做AI。放在发明多元函数微积分的年代，这恐怕是条“未曾设想的道路”吧？

所以有些问题看起来没啥意义，但实际上拥有相当的可发散性。例如有其他答主通过戴德金分隔给出了更严格的论证，虽然几乎不切合题主的需求，但也切实地解决了问题。我认为这就是问答社区的内核：集思广益——既要有打降龙十八掌的大佬，也有我等耍王八拳的萌新。

答主在校生，有逻辑与事实纰漏请轻喷。

有那么多人关注黑丝，我是想不到的......

我的个天. 其他答主写的回答我看都看不懂. 太难了, 我像在看天书一般.

我看很多答主用到了什么移项, 什么取对数, 什么二次函数, 什么什么极值点. 我这个知乎小学渣完全看不懂啊, 数学果然太难了, 太难了.

不过我觉得, 做数学题, 最重要的是心不能乱.

所以要验证两个数相不相等, 你算出来相等不就相等了?

注意力集中, 什么玩具追剧零食的东西先放一放. 我们要开始计算了.

利用Python搭建神经网络计算24

要证明

只需证

严格证明这个等式需要用到戴德金分割

令 ， ，则构成一个分割 ；令 ， ，则构成一个分割 .

令 ， ，显然 都不是空集，下证 满足分割定义的两个条件：

（1） 任一有理数都属于 与 之一，而且只属于其中之一；

（2）集 内的任一有理数 必小于集 内任一有理数 ；

任取有理数 ，满足 且 . 取 ， ，这样就有 ， .所以 . 同理，任取有理数 ，满足 或 ，则 . 故 满足分割的条件（1）. 而分割的条件（2）显然成立. 综上， 是一个分割，分界点为 .　

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看到有知友提到这种做法有卖弄之嫌，属于高射炮打蚊子之类的. 这里统一回复一下，题主给出的是一个很基础的问题，对于基础的问题，最好要用基础的方法，其它的“证明”可能或多或少会用到一些幂函数的性质（例如√(ab)=√a√b），如果允许使用幂函数的性质了，这个问题也就很显然了. 这篇回答介绍的方法“分割”，即“从有理数域出发定义无理数”，虽然看起来比较复杂，但是从逻辑上讲，这才是更基础的做法. 一般数学系大一刚入学时就会讲这个的，这里给对数学感兴趣的朋友推荐一下陈纪修老师的《数学分析》，里面比较系统地介绍了实数理论.

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心累，知乎社区环境真是和以前不一样了. 我刚过来时这题才几百浏览量，而这道题又是数学分析第一章的课后题（参考《吉米多维奇》第13题），我上大一时老师就讲过这道题. 当时我并不知道题主的接受情况，何况题主一开始还给这道题标上了“高等数学”和“数学证明”这样的标签（见问题日志）.

本想着借此机会普及一下实数理论的，为此我还特地写了上面卡片里的那篇文章. 没想到做了这么一点微小的工作都能碰见懂哥和杠精，认真答个题都能被喷，真是活久见.

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见下图：

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因为 √8 = √(4 * 2) = √4 * √2 = 2 * √2

又因为 2 * √2 - √2 = √2

所以 √8 - √2 = √2

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对左侧暴力计算也可以的哦！

√8 - √2

= √((√8 - √2) * (√8 - √2))

= √(√8 * √8 - 2 * √8 * √2 + √2 * √2)

= √(8 - 2 * √16 + 2)

= √(8 - 8 + 2)

= √2

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