如何解决这类数学题? 第1页

来晚惹……@Lunatic 和 @KuriyamaMirai 都给出了很棒的证明。

那么，就由我来给出“简单”和“更强”的做法吧!

首先，如果你把所有开关都按一遍（由于每次会连带旁边两个，实际上按了三下），那么所有灯的状态都会反转。记作操作A。

然后，如果只按2号（连带13）和5号（连带46），那么除7号之外的灯的状态都会反转。记作操作B。

因此，只要把某盏灯记作7号，再执行操作A和B，就可以只改变该灯状态而不影响其他灯了。对所有“关”的灯来一遍，灯就全“开”了。完毕。

很简单有木有!

好，强结论来了：对于n盏灯，每次切换连续的m盏。(n,m)满足何种条件时，可以经过有限次操作获得所有状态呢？

请思考五秒：

五……

四……

三……

二……

一……

当当当!答案揭晓!

只要n与m互质且m为奇数就可以啦!

这还是一个充要条件哦!

下面开始证明：

首先，我们注意到“能通过有限次操作到达任意状态”等价于“能通过有限次操作改变其中一盏灯的状态而使其他盏灯状态不变”。这个很显然所以用不着证了吧……

——于是m与n就非互质不可了。否则你可以把所有灯按照序号除以r所得余数（r为n与m的大于1的公约数）分为r组，那么无论如何操作，任意两组之间“亮着的灯数的奇偶性”将保持相同或不同，而不会发生相同→不同或不同→相同的改变，自然也就无法做到“只改变一盏灯，不影响其他盏”了。

m也必须是奇数才行，否则“亮着的灯数”的奇偶性也无法改变……

反过来，如果n与m互质且m为奇数，是否必定存在一种方法可以做到“只改变一盏灯”呢？

其实很简单：连续按就行了。比如对于(47,15)，你就第一次按1到15，第二次按16到30，然后是31到45，46到13（绕一圈了!），14到28，29到43……

根据裴蜀定理，n与m互质时，mx+by=1有整数解。用人话说就是：这么按下去，迟早有一次会按成“34到1”。

这意味着你已经按了k圈灯加一个灯。结果分两种：

一：其他灯都被按了偶数次，只有1号被按了奇数次，即整个过程中只有1号状态变了，成立!

二：与上边那个相反，只有1号保持不变，其他都反转了……不过没关系!因为m为奇数，所以只要把全部灯按一遍（由于连带，每盏灯被按了m次），就可以把所有灯都反转了。

至此，本题完结!

啦啦啦……

答主本人目前在被窝里，手机打字，莫名其妙就得出答案了。还是挺高兴滴!

所以，可以请你给我一个赞么？蟹蟹~

受 @Lunatic 启发，给出推广结论：

对于n盏灯，每次切换连续的m盏，且每盏灯具有k个状态。则能通过有限次操作得到所有状态的充要条件是：m与n互质且m与k互质。

必要性：对每盏灯，取状态值（0,1,2,…,k-1）。若(m,k)=r，则状态值的总和被r除所得余数将保持不变。若(m,n)=R，则将灯盏按照被R除所得余数分为R组，不同组的状态值总和被k除所得余数将保持相同或不同。故要使得经过有限次操作能使恰有一盏灯的状态发生改变，必须有r=R=1。

充分性：若m与k互质，则总可以进行“全部按一遍”的操作使得所有灯的状态发生改变，且如此操作(k-1)次，每盏灯都将遍历k个状态。若m与n互质，则可进行“连续按”操作使得只有一盏比其余盏多切换一次。因此可以经过有限次操作使恰有一盏灯的状态发生改变。

《原神》游戏中的“紫立方体”解密基本满足这一套路。如果在游玩过程中发现m与n与k的关系不符合结论，或许你就需要寻找被藏起来的其他方块了。

记开灯为 ,关灯为 ,则可以用一个长度为 的列向量来表示所有灯的状况,并记

那么这构成了一个特征为 的域

则每一次操作都相当于加上了向量组

中的一个向量,所以只要考虑问题:向量组

是否构成线性空间 的一组基?因为一旦它们构成了一组基,那么假设初始状态为 ,最终状态为 ,那么方程组

有解,其中

为这组向量组构成的矩阵

计算可得

所以答案是可以的

下面来编程实现一下

       a=0; for i=1:7     for j=1:3         a(i,mod(i+j-4,7)+1)=1;     end end %生成矩阵 t=inv(a)*3; t=round(t); t=mod(t,2); %计算逆矩阵 b=[1,0,1,1,1,1,0]; result=mod(round(t*b'),2); mod(a*result,2) %测试     

最后输出的结果为

       ans =       1      0      1      1      1      1      0     

也的确是正确的

这里

                t         =         inv         (         a         )         *         3         ;            

是我在事先计算了a的逆之后,为了保证所有的元素都是整数才乘上去的,这样方便取模

此外从这个建模本身可以看出,操作的先后顺序是可以交换的,尽管直观上这很难想象

对于一般的情况,从上面的证明可以看出在给定了规则,初始状态和目标状态后,最后问题就变成了计算一个 上的行列式

更一般的,假设灯有 个状态,那么问题就转化成了计算一个特征为 的域 上的矩阵的行列式,而具体的操作就变成了解一个 上的线性方程组

考虑这个推广是因为我在玩原神的时候遇到了这样的问题:

       A = [1,1,0,1     1,1,1,0     0,1,1,1     1,0,1,1]; end_status = [2;2;2;2]; begin_status = [3;1;1;3]; B = mod(round(inv(A)),4); C = B*(end_status -begin_status); D = mod(C,4);