证明如果幂级数在收敛圆上一点收敛，那么从圆内沿任意不与圆周相切的方向逼近时有极限？ 第1页
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travorlzh 网友的相关建议:
下面给出一个推广：
定理1（Abel）：设幂级数 的收敛半径为1，且级数 收敛于f(1)，则对于所有的 均有 其中区域 如下图[1]所示：
证明：根据柯西收敛原理，可知对于任意 均存在N使得当 时有 ，于是对于所有的M>N均有：
其中由于 ，不妨设 其中 ，则根据 有：
于是
并且根据 ，存在 使得当 时均有 。而同时，我们还有：
现在代入常用不等式 得：
因此结合上面的工作，我们就得到了：
由于不等式右侧与z无关，所以我们得知当 时级数f(z)一致收敛，所以便有 。Q.E.D.
摘自：
参考
- ^ Tenenbaum, G. (1995). Tauberian theorems. In INTRODUCTION TO ANALYTIC AND PROBABILISTIC NUMBER THEORY (pp. 217-247). Cambridge, Cambridge University Press
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