积分∫[0, +∞] sin(x²)dx 收敛吗？ 第1页
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myaries10000 网友的相关建议:
既然已有人用留数算了这个积分，那我就来个更“炫技”的推广：
计算积分：
其中
令 ，构造扇形围道：
由于围道内无奇点，所以：
而：
令 ，则 式变为：
即：
所以：
当 时，
便是著名的菲涅尔（Fresnel）积分。
另一种解法参见 @一苇之所如 大佬的文章：
tetradecane 网友的相关建议:
这是菲涅耳（Fresnel）积分。我来个“炫技”的求解，使用留数定理。
记 ，规定路径如下：
这里 与我们待求的积分密切相关。
当半径 时，由约当（Jordan）引理知 .
第三段倾角为 ，积分为
其中泊松（Poisson）积分的推理如下：
（直角坐标化为极坐标）
那么
由留数定理知
故
，顺便得到了 .
inversioner 网友的相关建议:
这个叫Fresnel积分。我看到的书上的做法是一个看似震撼我妈但是其实是有背景（参见予一人大佬的回答）的做法。
首先是常规操作，令 ，则 。
我们知道 。对此做点变量替换得到 。从而有
(至于为什么积分号可以交换。。。懒得写了2333）
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