积分∫[0, +∞] sin(x²)dx 收敛吗？ 第1页
1
myaries10000 网友的相关建议:
既然已有人用留数算了这个积分，那我就来个更“炫技”的推广：
计算积分：
其中
令 ，构造扇形围道：
由于围道内无奇点，所以：
而：
令 ，则 式变为：
即：
所以：
当 时，
便是著名的菲涅尔（Fresnel）积分。
另一种解法参见 @一苇之所如 大佬的文章：
tetradecane 网友的相关建议:
这是菲涅耳（Fresnel）积分。我来个“炫技”的求解，使用留数定理。
记 ，规定路径如下：
这里 与我们待求的积分密切相关。
当半径 时，由约当（Jordan）引理知 .
第三段倾角为 ，积分为
其中泊松（Poisson）积分的推理如下：
（直角坐标化为极坐标）
那么
由留数定理知
故
，顺便得到了 .
inversioner 网友的相关建议:
这个叫Fresnel积分。我看到的书上的做法是一个看似震撼我妈但是其实是有背景（参见予一人大佬的回答）的做法。
首先是常规操作，令 ，则 。
我们知道 。对此做点变量替换得到 。从而有
(至于为什么积分号可以交换。。。懒得写了2333）
1
相关话题
为什么这个定理要强调递减呢？仅以x0为极限不行吗？如果非递减不可，海涅定理又为何只要求以x0为极限？高等数学中 ϵ 和 ε 哪种字体更常用于刻画极限？
为什么令x-3/2=根号3/2tanu？
大家都是怎样学习高数（微积分）的?
这道极限题有什么好的解法?
为什么被积函数大于零，积分结果就大于零？
这个极限结果怎么算出来的？
如果把一个完美球放在平面上，接触地面的面积是不是为0？
像这种积分运算有什么规律吗？
积分∫[0, +∞] sin(x²)dx 收敛吗？
前一个讨论
函数求导的逆运算？
相关的话题
这个极限为什么不能先用洛必达法则，再代入1求值呢？请问这个极限式如何证明？似乎很像带 δ 函数的积分？
请问第五题怎么做?
有没有高数大佬解释一下红框框里内个是再来的？
这到极限题怎么做，据说要用到余元公式。能否讲透些？
这道定积分题目如何解？
如何求该积分？
想知道这个定积分怎么算?∫[0-1]（arcsin√x）/√(1-x+x^2)dx？
如何计算这个积分？
y=x^x的原函数是多少，能求出来吗?
泊松换元公式有直接用二重积分换元而不变为曲面积分的方法吗？
这道关于定积分的题该如何解决?
请问这道重积分的题如何做？
这道题的极限怎么求?用到了积分中值定理？
请问下面两个极限问题如何解决？
可以教教我这个题怎么做?
这个极限结果怎么算出来的？
0到1之间所有有理数之和 ，和1到2之间的有理数之和，哪个大？
关于这个极限怎么计算？
家人们，帮我看看这个极限?
这道极限怎么求呢?
这个极限难题如何解决？
积分有没有什么简单的方法求解？
如何证明 1＋1/2^p＋1/3^p＋…＋1/n^p（1＜p＜2，p 为实数）收敛？
用积分中值定理，中值的极限怎么证明？
如何能更好地理解（ε-δ）语言极限的定义？
请问这道极限怎么做？
这个用分部积分法求不出来，应该用什么方法求啊?
负数的正无穷趋于0吗例如（-1/2）的正无穷？
这两个积分应该怎么求？