既然已有人用留数算了这个积分,那我就来个更“炫技”的推广:
计算积分:
其中
令 ,构造扇形围道:
由于围道内无奇点,所以:
而:
令 ,则 式变为:
即:
所以:
当 时,
便是著名的菲涅尔(Fresnel)积分。
另一种解法参见 @一苇之所如 大佬的文章:
这是菲涅耳(Fresnel)积分。我来个“炫技”的求解,使用留数定理。
记 ,规定路径如下:
这里 与我们待求的积分密切相关。
当半径 时,由约当(Jordan)引理知 .
第三段倾角为 ,积分为
其中泊松(Poisson)积分的推理如下:
(直角坐标化为极坐标)
那么
由留数定理知
故
,顺便得到了 .
这个叫Fresnel积分。我看到的书上的做法是一个看似震撼我妈但是其实是有背景(参见予一人大佬的回答)的做法。
首先是常规操作,令 ,则 。
我们知道 。对此做点变量替换得到 。从而有
(至于为什么积分号可以交换。。。懒得写了2333)