如何理解“函数卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积”所代表的实际意义？ 第1页

搬运我在另一个问题下的回答 Richard Yan：时域的卷积傅里叶变化后变为相乘应该怎样理解？

因为这个回答里讨论的是时域信号，故以下使用的是一维连续信号。事实上对于高维/离散信号也适用。

起初，我们有度量两个信号相似程度的相关运算 ：

然而，相关运算有一些缺点：

首先相关运算不是交换的，i.e., 与 的相似程度一般来说不等于 与 的相似程度：

类似的，相关运算也不结合： 。

因此，用相关运算作为“相似性”的度量显然是不够好的。于是我们另外定义运算 ：

这个运算被称为“卷积”。我们可以注意到，卷积运算是交换的：

另外，卷积也是结合的：

除此以外，卷积还有以下性质：

1. 运算幺元

，

2. 线性：

3. 存在逆元

本文并不打算说明怎样求逆

4. 时不变性

令

则

5. 导数

定理：卷积是唯一在时域信号上满足线性和时不变性的运算。

可以发现，卷积运算具有很好的性质。如性质 5 被广泛用于图像识别的神经网络（CNN）(事实上CNN 用的是相关而非卷积)。

接下来，假定读者了解傅里叶变化，我们来看看将卷积傅里叶变化后会得到什么：

因此，卷积的傅里叶等于傅里叶的积。

类似地，也可以证明积的傅里叶等于傅里叶的卷积。

这样的大费周章是为了简化数值计算的复杂度。

假设 ，那么直接做卷积运算的复杂度是 。而若通过 求卷积，复杂度是 。