黑洞的 Schwarzschild 半径。
1783年前后,John Mitchell 基于经典物理学预言了黑洞的存在。他的推导过程现在完全可以视作一道高中物理练习题。如果一个质量为 的粒子要从半径为 、质量为 的星球表面逃逸,根据能量守恒原理,粒子的逃逸速度 需满足:
消去质量 ,可以得到星球半径和粒子逃逸速度之间的关系:
现在,设想这是个光子都无法从其表面逃逸的黑洞。把光速 代入,就可以得到黑洞半径:
靠谱吗?当然不靠谱,谁敢写光子的动能是 ,爱因斯坦的棺材板是绝对按不住了。而且,经典力学推导的逃逸速度并不排除如下的情况:如果粒子的初速度比逃逸速度小,但是不断有动力加持,依然有机会逃逸出去。反观黑洞(无视带电性和角动量)的 Schwarzschild 半径是指,只要是在这半径里面的东西,不管你再怎么扑腾,也跑不出来了。
但是这结果错了吗?嗬,上面这式子正是 Schwarzschild 半径的正确表达式。而这个须用广义相对论才能原原本本推导出来的结果,就是可以阴差阳错地用经典物理混出来,一个美妙的巧合。
这种事在量子力学早期很多啊:
从祖师爷普朗克的黑体辐射开始,到卢瑟福的原子核散射,到波尔的氢原子轨道……
(1)
第一反应就是卡诺循环。卡诺循环作为热机的工作原理,无疑是非常成功的。然而它的论证是建立在热质说这个错误理论上的,后人不得不重新论证了一次。
可以参见这个回答
维基上还有另一个例子
one of the greatest apparent confirmations of the caloric theory was Pierre-Simon Laplace's theoretical correction of Sir Isaac Newton’s calculation of the speed of sound. Newton had assumed an isothermal process, while Laplace, a calorist, treated it as adiabatic.[11] This addition not only substantially corrected the theoretical prediction of the speed of sound, but also continued to make even more accurate predictions for almost a century afterward, even as measurements became more precise.
拉普拉斯用热质说这个错误理论成功计算出了正确的声速,随着时间推移证实还是相当准确的。
(2)
另一个经典理论就是波尔半径,虽然波尔半径成功地解释了氢原子光谱,但是这个数值最开始是用向心力公式推出来的。
可以参见这条。
麦克斯韦的电动力学理论
麦克斯韦当年画了很多机械图来解释其理论,并且还用了以太的概念。
比如他规定了图中的绿色珠子只能滚动不能滑动,而且还必须具有一些弹性性质。根据这样复杂的(类)齿轮模型,可以导出麦克斯韦方程,也能说明位移电流这样的概念。
但是麦克斯韦方程是对的,引出的光是电磁波也是对的。
看了一圈似乎没人提卢瑟福α粒子散射。。。?
卢瑟福α粒子散射实验验证了原子中存在很小的原子核(正电荷聚集的部分),而不是之前人们所认为的正电荷均匀弥散在原子内部。这个实验颠覆了人们对原子的认知,引导着科学家们对原子性质如其光谱的进一步研究……比如玻尔用半经典半量子的理论来解释氢原子光谱,这其实是建立在卢瑟福实验的基础之上。而玻尔的理论又是量子力学初步的成功,极大的推动了量子力学的发展。
有趣的事情来了。我们现在知道,电子与原子核的散射应当用量子力学进行计算。但卢瑟福当时用来计算并验证实验结果的理论其实是经典的(当时本来就还没有量子力学),却歪打正着得到了与量子力学相同的结果(虽然是近似,但“低能”下也足够了)。于是也才有了后面对微观世界的认知革命,才有了量子力学。
也就是说,这仿佛就是造物者开的一个小玩笑,你必须先用错误的理论“凑巧”获取一个正确的结果,才能得到一个正确的理论hhh
(有感而发,很多是我个人的感受,如果与事实有出入请指出QAQ)