高次多项式不等式中「奇穿偶不穿」的原理是什么？求讲解，推导，数学证明。？
高次多项式不等式中的“奇穿偶不穿”：深入解析与数学证明
在解决高次多项式不等式时，我们经常会遇到一个非常有用的经验法则，那就是“奇穿偶不穿”。这个法则简洁地概括了多项式函数在与x轴交点（即多项式的根）附近的取值行为。理解这个法则的原理，不仅能帮助我们更高效地求解不等式，更能加深我们对多项式函数性质的认识。
那么，“奇穿偶不穿”究竟是如何来的？它背后又隐藏着怎样的数学原理？今天，我们就来一次深入的探索，从概念、推导到严谨的数学证明，彻底解开这个谜团。
1. 什么是“奇穿偶不穿”？
首先，让我们明确一下这个法则的具体含义。
假设我们有一个高次多项式 $P(x)$，我们想解不等式 $P(x) > 0$ (或者 $P(x) < 0$)。我们将 $P(x)$ 的所有实根按照从小到大的顺序排列，记为 $r_1, r_2, ..., r_n$。这些实根将数轴分成若干个区间。
“奇穿偶不穿”法则指的是：
奇次根（Single Root）： 当我们跨越一个单根（即在多项式分解中，这个根的指数为1，或者说它在某个因式中只出现一次）时，多项式函数 $P(x)$ 的符号会发生改变。换句话说，如果 $P(x)$ 在根的左侧为正，那么在根的右侧就会变为负，反之亦然。就像“穿过”x轴一样。
偶次根（Double Root）： 当我们跨越一个重根（即在多项式分解中，这个根的指数大于等于2，或者说它在某个因式中出现多次）时，多项式函数 $P(x)$ 的符号不会发生改变。它在根的两侧都保持相同的符号。就像“不穿过”x轴，而是“触碰”后又弹回一样。
2. 直观理解与示例
为了更好地理解，我们先来看几个直观的例子。
例1：$P(x) = (x1)$
这是一个最简单的一次多项式，根是 $x=1$。这是一个单根（指数为1）。
当 $x < 1$ 时，$x1 < 0$，$P(x)$ 为负。
当 $x > 1$ 时，$x1 > 0$，$P(x)$ 为正。
符号从负变为正，发生了“穿过”。
例2：$P(x) = (x1)^2$
这是一个二次多项式，根是 $x=1$。这是一个重根（指数为2）。
当 $x < 1$ 时，$x1 < 0$，$(x1)^2 > 0$，$P(x)$ 为正。
当 $x > 1$ 时，$x1 > 0$，$(x1)^2 > 0$，$P(x)$ 为正。
符号在根两侧都是正，没有发生“穿过”。
例3：$P(x) = (x1)(x2)^2$
这个多项式的根是 $x=1$（单根）和 $x=2$（重根）。
我们来分析各个区间：
$x < 1$：
$(x1)$ 是负的。
$(x2)^2$ 是正的（因为是平方）。
$P(x) = ( ext{负}) imes ( ext{正}) = ext{负}$。
$1 < x < 2$：
$(x1)$ 是正的。
$(x2)^2$ 是正的。
$P(x) = ( ext{正}) imes ( ext{正}) = ext{正}$。
$x > 2$：
$(x1)$ 是正的。
$(x2)^2$ 是正的。
$P(x) = ( ext{正}) imes ( ext{正}) = ext{正}$。
我们可以看到：
在单根 $x=1$ 处，符号从负变为正，发生了“穿过”。
在重根 $x=2$ 处，符号在 $1 < x < 2$ 和 $x > 2$ 之间都是正，没有发生“穿过”。
这就是“奇穿偶不穿”法则的直观体现。
3. 原理推导：从因式分解入手
“奇穿偶不穿”的原理，本质上是由多项式的因式分解及其根的重数决定的。
任何一个实系数多项式 $P(x)$ 都可以被分解为一系列一次因式 $(xr_i)^{k_i}$ 和不可约二次因式（这些不可约二次因式对于实数根的讨论不产生影响，因为它们在实数域内没有根，始终保持同号），其中 $r_i$ 是多项式的实根，$k_i$ 是该根的重数。
我们可以将 $P(x)$ 写成如下形式：
$P(x) = c cdot (xr_1)^{k_1} (xr_2)^{k_2} cdots (xr_m)^{k_m} cdot Q(x)$
其中：
$c$ 是一个常数。
$r_1, r_2, ..., r_m$ 是 $P(x)$ 的所有不同实根。
$k_1, k_2, ..., k_m$ 是对应实根的重数（正整数）。
$Q(x)$ 是不含实根的因子，在实数域上始终保持同号（比如 $(x^2+1)$ 这样的因子）。
当我们考虑 $P(x)$ 在某个根 $r_j$ 附近的行为时，我们主要关注 $(xr_j)^{k_j}$ 这一项，因为其他因式在 $r_j$ 附近的值是相对稳定的（只要它们不等于零）。
我们分析 $(xr_j)^{k_j}$ 在 $x$ 略大于 $r_j$ 和 $x$ 略小于 $r_j$ 时的符号变化。
3.1. 奇次根 ($k_j$ 是奇数)
当 $k_j$ 是奇数时，我们考虑 $(xr_j)^{k_j}$。
当 $x$ 略大于 $r_j$ 时（即 $x o r_j^+$）：
$x r_j > 0$。
由于 $k_j$ 是奇数，$(xr_j)^{k_j} > 0$。
当 $x$ 略小于 $r_j$ 时（即 $x o r_j^$）：
$x r_j < 0$。
由于 $k_j$ 是奇数，$( ext{负数})^{ ext{奇数}} < 0$。
因此，当跨越一个奇次根 $r_j$ 时， $(xr_j)^{k_j}$ 的符号会从负变为正（或者从正变为负，取决于 $r_j$ 左侧的符号）。
至于 $P(x)$ 的整体符号，我们可以写成：
$P(x) = c cdot (cdots) cdot (xr_j)^{k_j} cdot (cdots)$
在 $r_j$ 附近，其他因子 $(xr_i)^{k_i}$ (当 $i eq j$) 以及 $Q(x)$ 的符号是保持不变的（它们在 $r_j$ 处不为零）。所以， $P(x)$ 的符号变化主要由 $(xr_j)^{k_j}$ 决定。
当 $(xr_j)^{k_j}$ 的符号改变时， $P(x)$ 的符号也随之改变。这就是“奇穿”。
3.2. 偶次根 ($k_j$ 是偶数)
当 $k_j$ 是偶数时，我们考虑 $(xr_j)^{k_j}$。
当 $x$ 略大于 $r_j$ 时（即 $x o r_j^+$）：
$x r_j > 0$。
由于 $k_j$ 是偶数，$(xr_j)^{k_j} > 0$。
当 $x$ 略小于 $r_j$ 时（即 $x o r_j^$）：
$x r_j < 0$。
由于 $k_j$ 是偶数，$( ext{负数})^{ ext{偶数}} > 0$。
因此，当跨越一个偶次根 $r_j$ 时， $(xr_j)^{k_j}$ 的符号不会改变，它始终为正（假设 $r_j$ 是实根， $(xr_j)^{k_j}$ 在 $x eq r_j$ 时总是正的）。
同样，考虑 $P(x)$ 的整体符号：
$P(x) = c cdot (cdots) cdot (xr_j)^{k_j} cdot (cdots)$
在 $r_j$ 附近，其他因子 $(xr_i)^{k_i}$ (当 $i eq j$) 以及 $Q(x)$ 的符号是保持不变的。而 $(xr_j)^{k_j}$ 的符号也不改变。因此， $P(x)$ 的整体符号在跨越 $r_j$ 时也不会改变。这就是“偶不穿”。
4. 数学证明：利用导数（更严谨的角度）
虽然上述因式分解的解释已经足够清晰，但我们可以通过导数来更严谨地证明这一点。
考虑一个多项式 $P(x)$，设 $r$ 是它的一个实根，其重数为 $k$。这意味着 $P(x)$ 可以写成 $P(x) = (xr)^k Q(x)$，其中 $Q(r) eq 0$。
我们来看 $P(x)$ 在 $r$ 处的导数：
$P'(x) = k(xr)^{k1} Q(x) + (xr)^k Q'(x)$
将 $x=r$ 代入：
$P'(r) = k(rr)^{k1} Q(r) + (rr)^k Q'(r)$
$P'(r) = k cdot 0^{k1} cdot Q(r) + 0^k cdot Q'(r)$
现在我们需要区分 $k$ 的奇偶性：
4.1. $k$ 为奇数（$k ge 1$）
当 $k$ 是奇数时，$k ge 1$。
如果 $k=1$ (单根)：
$P'(r) = 1 cdot (rr)^0 cdot Q(r) + (rr)^1 cdot Q'(r) = 1 cdot 1 cdot Q(r) + 0 cdot Q'(r) = Q(r)$。
由于 $Q(r) eq 0$，所以 $P'(r) eq 0$。
这意味着在 $x=r$ 处，函数 $P(x)$ 是单调的（不是水平的），因此它会穿过 x 轴。
如果 $k$ 是大于1的奇数（例如 $k=3, 5, dots$）：
$k1$ 是偶数且 $k1 ge 2$。
$P'(r) = k cdot (rr)^{k1} cdot Q(r) + (rr)^k cdot Q'(r)$
$P'(r) = k cdot 0^{k1} cdot Q(r) + 0^k cdot Q'(r)$
由于 $k1 ge 2$ 是偶数， $0^{k1} = 0$。
$P'(r) = k cdot 0 cdot Q(r) + 0 cdot Q'(r) = 0$。
这表明，在 $x=r$ 处，$P'(r) = 0$。这意味着在 $r$ 处，函数的切线是水平的。注意： $P'(r)=0$ 并不直接说明“穿”还是“不穿”。它只说明在 $r$ 点函数“平坦”。我们需要看 $P''(r)$ 等高阶导数来判断。
我们回到 $P(x) = (xr)^k Q(x)$。
在 $r$ 附近，$Q(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
当 $x o r^+$ 时，$xr > 0$，$(xr)^k > 0$ (因为 $k$ 是奇数)。所以 $P(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
当 $x o r^$ 时，$xr < 0$，$(xr)^k < 0$ (因为 $k$ 是奇数)。所以 $P(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同，即与 $Q(r)$ 的符号相反。
因此，当 $k$ 是奇数时，无论 $k=1$ 还是 $k>1$ 的奇数， $P(x)$ 在 $r$ 点的两侧符号总是相反的，即发生了“穿过”。
4.2. $k$ 为偶数（$k ge 2$）
当 $k$ 是偶数时，$k ge 2$。
$k1$ 是奇数且 $k1 ge 1$。
$P'(r) = k(rr)^{k1} Q(r) + (rr)^k Q'(r)$
$P'(r) = k cdot 0^{k1} cdot Q(r) + 0^k cdot Q'(r)$
由于 $k1 ge 1$ 是奇数， $0^{k1} = 0$。
$P'(r) = k cdot 0 cdot Q(r) + 0 cdot Q'(r) = 0$。
同样，我们得到 $P'(r) = 0$，切线是水平的。
我们再来看 $P(x) = (xr)^k Q(x)$。
在 $r$ 附近，$Q(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
当 $x o r^+$ 时，$xr > 0$，$(xr)^k > 0$ (因为 $k$ 是偶数)。所以 $P(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
当 $x o r^$ 时，$xr < 0$，$(xr)^k > 0$ (因为 $k$ 是偶数)。所以 $P(x)$ 的符号也与 $Q(r)$ 相同。
因此，当 $k$ 是偶数时， $P(x)$ 在 $r$ 点的两侧符号总是相同，即没有发生“穿过”。
更进一步：
当 $k$ 是偶数时，$P(x) = (xr)^k Q(x)$。
如果 $Q(r) > 0$，那么在 $r$ 点附近，$P(x)$ 的值是大于0的，并且在 $r$ 处达到极小值（至少是局部极小值，如果 $Q(r)$ 足够大且 $Q(x)$ 在 $r$ 处是正的）。函数图像会“触碰”x轴后反弹。
如果 $Q(r) < 0$，那么在 $r$ 点附近，$P(x)$ 的值是小于0的，并且在 $r$ 处达到局部极大值（如果 $Q(r)$ 足够小且 $Q(x)$ 在 $r$ 处是负的）。函数图像同样会“触碰”x轴后反弹。
关于 $P'(r)=0$ 的情况：
当 $k>1$ 是偶数时，我们发现 $P'(r)=0$。这表示在 $r$ 点，函数具有水平切线。
我们知道 $P(x)=(xr)^k Q(x)$。
如果 $k$ 是偶数，那么 $(xr)^k ge 0$ 对于所有 $x$ 成立。
那么 $P(x)$ 的符号就完全取决于 $Q(x)$ 的符号，以及 $Q(r)$ 的符号。
在 $r$ 点附近，$Q(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
所以，如果 $Q(r) > 0$，那么在 $r$ 点附近，$P(x) ge 0$。
如果 $Q(r) < 0$，那么在 $r$ 点附近，$P(x) le 0$。
无论哪种情况， $P(x)$ 在 $r$ 点两侧的符号都与 $Q(r)$ 的符号相同，即符号不改变。
5. 综合应用与解题策略
“奇穿偶不穿”是解决高次多项式不等式的核心工具。在实际解题中，通常按照以下步骤：
1. 将多项式因式分解： 找到多项式的所有实根，并确定它们的重数。将多项式表示为 $P(x) = c cdot (xr_1)^{k_1} (xr_2)^{k_2} cdots (xr_m)^{k_m} cdot Q(x)$ 的形式。
2. 在数轴上标记根： 将所有不同的实根 $r_1, r_2, ..., r_m$ 按照从小到大的顺序标记在数轴上。这些根将数轴分成 $m+1$ 个区间（包括最左侧和最右侧的无限区间）。
3. 确定最右侧区间的符号：
如果 $P(x)$ 的最高次项系数（所有 $x$ 的幂的系数之和，或者看 $c cdot x^{k_1+k_2+dots+k_m} cdot dots$ 的系数）是正的，那么最右侧的无限区间（大于最大根的区间）内的 $P(x)$ 值为正。
如果最高次项系数是负的，则最右侧区间内的 $P(x)$ 值为负。
4. 利用“奇穿偶不穿”填充符号： 从最右侧的区间开始，根据遇到的根的重数，交替填写符号：
如果遇到一个奇次根，则符号改变。
如果遇到一个偶次根，则符号不变。
5. 根据不等式选择区间： 最后，根据原不等式是 $P(x) > 0$、$P(x) < 0$、$P(x) ge 0$ 还是 $P(x) le 0$，选择符合条件的区间（开区间或闭区间）。
例子：解不等式 $(x2)^3 (x+1)^2 (x5) > 0$
1. 根与重数：
$x=2$，重数为 3 (奇数)
$x=1$，重数为 2 (偶数)
$x=5$，重数为 1 (奇数)
2. 标记根： 在数轴上标记 1, 2, 5。
3. 最右侧区间符号： 最高次项是 $(x)^3 cdot (x)^2 cdot (x) = x^6$ (前面还有一个隐藏的正数常数1，因为没有其他系数)。所以最高次项系数是正的。
最右侧区间 ($x > 5$) 的符号是 +。
4. 填充符号：
区间 $(5, +infty)$： +
跨过根 $x=5$ (奇次根，重数1)：符号改变为 (区间 $(2, 5)$)
跨过根 $x=2$ (奇次根，重数3)：符号改变为 + (区间 $(1, 2)$)
跨过根 $x=1$ (偶次根，重数2)：符号不变，仍为 + (区间 $(infty, 1)$)
所以，符号分布是： + ($x > 5$)， ($2 < x < 5$)， + ($1 < x < 2$)， + ($x < 1$)。
5. 选择区间： 我们需要 $P(x) > 0$。
所以，符合条件的区间是 $x > 5$ 或者 $1 < x < 2$。
最终解集是 $(infty, 1) cup (1, 2) cup (5, +infty)$。
等等，我刚才在标记符号的时候，从最右侧是+，然后遇到5（奇数）变，遇到2（奇数）变+，遇到1（偶数）符号不变。
让我们重新梳理一下符号填充：
$(5, +infty)$: +
$(2, 5)$: 遇到了 $x=5$ (奇次根)，符号由 + 变为 。
$(1, 2)$: 遇到了 $x=2$ (奇次根)，符号由 变为 +。
$(infty, 1)$: 遇到了 $x=1$ (偶次根)，符号由 + 保持不变，还是 +。
所以，符号分布应该是： + ($x>5$), ($2
修正： 出现了一个小错误，在填充符号的时候，从最右侧开始，遇到每个根的重数进行判断。
让我们仔细重做一遍：
多项式是 $P(x) = (x2)^3 (x+1)^2 (x5)$。
根：1 (重2), 2 (重3), 5 (重1)。
排序：1, 2, 5。
区间 $(5, +infty)$： 最高次项是 $x^6$，系数为正。所以符号为 +。
区间 $(2, 5)$： 跨越根 $x=5$ (重数1，奇数)。符号由 + 变为 。
区间 $(1, 2)$： 跨越根 $x=2$ (重数3，奇数)。符号由 变为 +。
区间 $(infty, 1)$： 跨越根 $x=1$ (重数2，偶数)。符号由 + 保持不变，还是 +。
所以，符号分布是：
$(infty, 1)$: +
$(1, 2)$: +
$(2, 5)$:
$(5, +infty)$: +
不等式是 $P(x) > 0$。
符合条件的区间是 $(infty, 1)$, $(1, 2)$, $(5, +infty)$。
注意： 当不等式是 $P(x) ge 0$ 或 $P(x) le 0$ 时，我们还需要考虑根本身是否包含在解集中。对于重数为偶数的根，如果不等式允许等于零，那么这个根也包含在解集中。但在这里，不等式是严格大于零。
最终解集是 $(infty, 1) cup (1, 2) cup (5, +infty)$。
6. 总结
“奇穿偶不穿”不仅仅是一个记忆口诀，它深刻地反映了多项式函数在实根附近的局部行为。其根本原因在于多项式因式的幂次（即根的重数）。奇次幂的 $(xr)$ 在跨越 $r$ 时会改变符号，从而导致函数整体符号的改变；而偶次幂的 $(xr)$ 无论在 $r$ 的哪一侧，值都为非负（或者非正，取决于系数），因此不会导致函数符号的改变。
掌握了这个法则，我们就可以更系统、更准确地解决各种高次多项式不等式问题，从而更深入地理解多项式的性质。
在解决高次多项式不等式时，我们经常会遇到一个非常有用的经验法则，那就是“奇穿偶不穿”。这个法则简洁地概括了多项式函数在与x轴交点（即多项式的根）附近的取值行为。理解这个法则的原理，不仅能帮助我们更高效地求解不等式，更能加深我们对多项式函数性质的认识。
那么，“奇穿偶不穿”究竟是如何来的？它背后又隐藏着怎样的数学原理？今天，我们就来一次深入的探索，从概念、推导到严谨的数学证明，彻底解开这个谜团。
1. 什么是“奇穿偶不穿”？
首先，让我们明确一下这个法则的具体含义。
假设我们有一个高次多项式 $P(x)$，我们想解不等式 $P(x) > 0$ (或者 $P(x) < 0$)。我们将 $P(x)$ 的所有实根按照从小到大的顺序排列，记为 $r_1, r_2, ..., r_n$。这些实根将数轴分成若干个区间。
“奇穿偶不穿”法则指的是：
奇次根（Single Root）： 当我们跨越一个单根（即在多项式分解中，这个根的指数为1，或者说它在某个因式中只出现一次）时，多项式函数 $P(x)$ 的符号会发生改变。换句话说，如果 $P(x)$ 在根的左侧为正，那么在根的右侧就会变为负，反之亦然。就像“穿过”x轴一样。
偶次根（Double Root）： 当我们跨越一个重根（即在多项式分解中，这个根的指数大于等于2，或者说它在某个因式中出现多次）时，多项式函数 $P(x)$ 的符号不会发生改变。它在根的两侧都保持相同的符号。就像“不穿过”x轴，而是“触碰”后又弹回一样。
2. 直观理解与示例
为了更好地理解，我们先来看几个直观的例子。
例1：$P(x) = (x1)$
这是一个最简单的一次多项式，根是 $x=1$。这是一个单根（指数为1）。
当 $x < 1$ 时，$x1 < 0$，$P(x)$ 为负。
当 $x > 1$ 时，$x1 > 0$，$P(x)$ 为正。
符号从负变为正，发生了“穿过”。
例2：$P(x) = (x1)^2$
这是一个二次多项式，根是 $x=1$。这是一个重根（指数为2）。
当 $x < 1$ 时，$x1 < 0$，$(x1)^2 > 0$，$P(x)$ 为正。
当 $x > 1$ 时，$x1 > 0$，$(x1)^2 > 0$，$P(x)$ 为正。
符号在根两侧都是正，没有发生“穿过”。
例3：$P(x) = (x1)(x2)^2$
这个多项式的根是 $x=1$（单根）和 $x=2$（重根）。
我们来分析各个区间：
$x < 1$：
$(x1)$ 是负的。
$(x2)^2$ 是正的（因为是平方）。
$P(x) = ( ext{负}) imes ( ext{正}) = ext{负}$。
$1 < x < 2$：
$(x1)$ 是正的。
$(x2)^2$ 是正的。
$P(x) = ( ext{正}) imes ( ext{正}) = ext{正}$。
$x > 2$：
$(x1)$ 是正的。
$(x2)^2$ 是正的。
$P(x) = ( ext{正}) imes ( ext{正}) = ext{正}$。
我们可以看到：
在单根 $x=1$ 处，符号从负变为正，发生了“穿过”。
在重根 $x=2$ 处，符号在 $1 < x < 2$ 和 $x > 2$ 之间都是正，没有发生“穿过”。
这就是“奇穿偶不穿”法则的直观体现。
3. 原理推导：从因式分解入手
“奇穿偶不穿”的原理，本质上是由多项式的因式分解及其根的重数决定的。
任何一个实系数多项式 $P(x)$ 都可以被分解为一系列一次因式 $(xr_i)^{k_i}$ 和不可约二次因式（这些不可约二次因式对于实数根的讨论不产生影响，因为它们在实数域内没有根，始终保持同号），其中 $r_i$ 是多项式的实根，$k_i$ 是该根的重数。
我们可以将 $P(x)$ 写成如下形式：
$P(x) = c cdot (xr_1)^{k_1} (xr_2)^{k_2} cdots (xr_m)^{k_m} cdot Q(x)$
其中：
$c$ 是一个常数。
$r_1, r_2, ..., r_m$ 是 $P(x)$ 的所有不同实根。
$k_1, k_2, ..., k_m$ 是对应实根的重数（正整数）。
$Q(x)$ 是不含实根的因子，在实数域上始终保持同号（比如 $(x^2+1)$ 这样的因子）。
当我们考虑 $P(x)$ 在某个根 $r_j$ 附近的行为时，我们主要关注 $(xr_j)^{k_j}$ 这一项，因为其他因式在 $r_j$ 附近的值是相对稳定的（只要它们不等于零）。
我们分析 $(xr_j)^{k_j}$ 在 $x$ 略大于 $r_j$ 和 $x$ 略小于 $r_j$ 时的符号变化。
3.1. 奇次根 ($k_j$ 是奇数)
当 $k_j$ 是奇数时，我们考虑 $(xr_j)^{k_j}$。
当 $x$ 略大于 $r_j$ 时（即 $x o r_j^+$）：
$x r_j > 0$。
由于 $k_j$ 是奇数，$(xr_j)^{k_j} > 0$。
当 $x$ 略小于 $r_j$ 时（即 $x o r_j^$）：
$x r_j < 0$。
由于 $k_j$ 是奇数，$( ext{负数})^{ ext{奇数}} < 0$。
因此，当跨越一个奇次根 $r_j$ 时， $(xr_j)^{k_j}$ 的符号会从负变为正（或者从正变为负，取决于 $r_j$ 左侧的符号）。
至于 $P(x)$ 的整体符号，我们可以写成：
$P(x) = c cdot (cdots) cdot (xr_j)^{k_j} cdot (cdots)$
在 $r_j$ 附近，其他因子 $(xr_i)^{k_i}$ (当 $i eq j$) 以及 $Q(x)$ 的符号是保持不变的（它们在 $r_j$ 处不为零）。所以， $P(x)$ 的符号变化主要由 $(xr_j)^{k_j}$ 决定。
当 $(xr_j)^{k_j}$ 的符号改变时， $P(x)$ 的符号也随之改变。这就是“奇穿”。
3.2. 偶次根 ($k_j$ 是偶数)
当 $k_j$ 是偶数时，我们考虑 $(xr_j)^{k_j}$。
当 $x$ 略大于 $r_j$ 时（即 $x o r_j^+$）：
$x r_j > 0$。
由于 $k_j$ 是偶数，$(xr_j)^{k_j} > 0$。
当 $x$ 略小于 $r_j$ 时（即 $x o r_j^$）：
$x r_j < 0$。
由于 $k_j$ 是偶数，$( ext{负数})^{ ext{偶数}} > 0$。
因此，当跨越一个偶次根 $r_j$ 时， $(xr_j)^{k_j}$ 的符号不会改变，它始终为正（假设 $r_j$ 是实根， $(xr_j)^{k_j}$ 在 $x eq r_j$ 时总是正的）。
同样，考虑 $P(x)$ 的整体符号：
$P(x) = c cdot (cdots) cdot (xr_j)^{k_j} cdot (cdots)$
在 $r_j$ 附近，其他因子 $(xr_i)^{k_i}$ (当 $i eq j$) 以及 $Q(x)$ 的符号是保持不变的。而 $(xr_j)^{k_j}$ 的符号也不改变。因此， $P(x)$ 的整体符号在跨越 $r_j$ 时也不会改变。这就是“偶不穿”。
4. 数学证明：利用导数（更严谨的角度）
虽然上述因式分解的解释已经足够清晰，但我们可以通过导数来更严谨地证明这一点。
考虑一个多项式 $P(x)$，设 $r$ 是它的一个实根，其重数为 $k$。这意味着 $P(x)$ 可以写成 $P(x) = (xr)^k Q(x)$，其中 $Q(r) eq 0$。
我们来看 $P(x)$ 在 $r$ 处的导数：
$P'(x) = k(xr)^{k1} Q(x) + (xr)^k Q'(x)$
将 $x=r$ 代入：
$P'(r) = k(rr)^{k1} Q(r) + (rr)^k Q'(r)$
$P'(r) = k cdot 0^{k1} cdot Q(r) + 0^k cdot Q'(r)$
现在我们需要区分 $k$ 的奇偶性：
4.1. $k$ 为奇数（$k ge 1$）
当 $k$ 是奇数时，$k ge 1$。
如果 $k=1$ (单根)：
$P'(r) = 1 cdot (rr)^0 cdot Q(r) + (rr)^1 cdot Q'(r) = 1 cdot 1 cdot Q(r) + 0 cdot Q'(r) = Q(r)$。
由于 $Q(r) eq 0$，所以 $P'(r) eq 0$。
这意味着在 $x=r$ 处，函数 $P(x)$ 是单调的（不是水平的），因此它会穿过 x 轴。
如果 $k$ 是大于1的奇数（例如 $k=3, 5, dots$）：
$k1$ 是偶数且 $k1 ge 2$。
$P'(r) = k cdot (rr)^{k1} cdot Q(r) + (rr)^k cdot Q'(r)$
$P'(r) = k cdot 0^{k1} cdot Q(r) + 0^k cdot Q'(r)$
由于 $k1 ge 2$ 是偶数， $0^{k1} = 0$。
$P'(r) = k cdot 0 cdot Q(r) + 0 cdot Q'(r) = 0$。
这表明，在 $x=r$ 处，$P'(r) = 0$。这意味着在 $r$ 处，函数的切线是水平的。注意： $P'(r)=0$ 并不直接说明“穿”还是“不穿”。它只说明在 $r$ 点函数“平坦”。我们需要看 $P''(r)$ 等高阶导数来判断。
我们回到 $P(x) = (xr)^k Q(x)$。
在 $r$ 附近，$Q(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
当 $x o r^+$ 时，$xr > 0$，$(xr)^k > 0$ (因为 $k$ 是奇数)。所以 $P(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
当 $x o r^$ 时，$xr < 0$，$(xr)^k < 0$ (因为 $k$ 是奇数)。所以 $P(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同，即与 $Q(r)$ 的符号相反。
因此，当 $k$ 是奇数时，无论 $k=1$ 还是 $k>1$ 的奇数， $P(x)$ 在 $r$ 点的两侧符号总是相反的，即发生了“穿过”。
4.2. $k$ 为偶数（$k ge 2$）
当 $k$ 是偶数时，$k ge 2$。
$k1$ 是奇数且 $k1 ge 1$。
$P'(r) = k(rr)^{k1} Q(r) + (rr)^k Q'(r)$
$P'(r) = k cdot 0^{k1} cdot Q(r) + 0^k cdot Q'(r)$
由于 $k1 ge 1$ 是奇数， $0^{k1} = 0$。
$P'(r) = k cdot 0 cdot Q(r) + 0 cdot Q'(r) = 0$。
同样，我们得到 $P'(r) = 0$，切线是水平的。
我们再来看 $P(x) = (xr)^k Q(x)$。
在 $r$ 附近，$Q(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
当 $x o r^+$ 时，$xr > 0$，$(xr)^k > 0$ (因为 $k$ 是偶数)。所以 $P(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
当 $x o r^$ 时，$xr < 0$，$(xr)^k > 0$ (因为 $k$ 是偶数)。所以 $P(x)$ 的符号也与 $Q(r)$ 相同。
因此，当 $k$ 是偶数时， $P(x)$ 在 $r$ 点的两侧符号总是相同，即没有发生“穿过”。
更进一步：
当 $k$ 是偶数时，$P(x) = (xr)^k Q(x)$。
如果 $Q(r) > 0$，那么在 $r$ 点附近，$P(x)$ 的值是大于0的，并且在 $r$ 处达到极小值（至少是局部极小值，如果 $Q(r)$ 足够大且 $Q(x)$ 在 $r$ 处是正的）。函数图像会“触碰”x轴后反弹。
如果 $Q(r) < 0$，那么在 $r$ 点附近，$P(x)$ 的值是小于0的，并且在 $r$ 处达到局部极大值（如果 $Q(r)$ 足够小且 $Q(x)$ 在 $r$ 处是负的）。函数图像同样会“触碰”x轴后反弹。
关于 $P'(r)=0$ 的情况：
当 $k>1$ 是偶数时，我们发现 $P'(r)=0$。这表示在 $r$ 点，函数具有水平切线。
我们知道 $P(x)=(xr)^k Q(x)$。
如果 $k$ 是偶数，那么 $(xr)^k ge 0$ 对于所有 $x$ 成立。
那么 $P(x)$ 的符号就完全取决于 $Q(x)$ 的符号，以及 $Q(r)$ 的符号。
在 $r$ 点附近，$Q(x)$ 的符号与 $Q(r)$ 相同。
所以，如果 $Q(r) > 0$，那么在 $r$ 点附近，$P(x) ge 0$。
如果 $Q(r) < 0$，那么在 $r$ 点附近，$P(x) le 0$。
无论哪种情况， $P(x)$ 在 $r$ 点两侧的符号都与 $Q(r)$ 的符号相同，即符号不改变。
5. 综合应用与解题策略
“奇穿偶不穿”是解决高次多项式不等式的核心工具。在实际解题中，通常按照以下步骤：
1. 将多项式因式分解： 找到多项式的所有实根，并确定它们的重数。将多项式表示为 $P(x) = c cdot (xr_1)^{k_1} (xr_2)^{k_2} cdots (xr_m)^{k_m} cdot Q(x)$ 的形式。
2. 在数轴上标记根： 将所有不同的实根 $r_1, r_2, ..., r_m$ 按照从小到大的顺序标记在数轴上。这些根将数轴分成 $m+1$ 个区间（包括最左侧和最右侧的无限区间）。
3. 确定最右侧区间的符号：
如果 $P(x)$ 的最高次项系数（所有 $x$ 的幂的系数之和，或者看 $c cdot x^{k_1+k_2+dots+k_m} cdot dots$ 的系数）是正的，那么最右侧的无限区间（大于最大根的区间）内的 $P(x)$ 值为正。
如果最高次项系数是负的，则最右侧区间内的 $P(x)$ 值为负。
4. 利用“奇穿偶不穿”填充符号： 从最右侧的区间开始，根据遇到的根的重数，交替填写符号：
如果遇到一个奇次根，则符号改变。
如果遇到一个偶次根，则符号不变。
5. 根据不等式选择区间： 最后，根据原不等式是 $P(x) > 0$、$P(x) < 0$、$P(x) ge 0$ 还是 $P(x) le 0$，选择符合条件的区间（开区间或闭区间）。
例子：解不等式 $(x2)^3 (x+1)^2 (x5) > 0$
1. 根与重数：
$x=2$，重数为 3 (奇数)
$x=1$，重数为 2 (偶数)
$x=5$，重数为 1 (奇数)
2. 标记根： 在数轴上标记 1, 2, 5。
3. 最右侧区间符号： 最高次项是 $(x)^3 cdot (x)^2 cdot (x) = x^6$ (前面还有一个隐藏的正数常数1，因为没有其他系数)。所以最高次项系数是正的。
最右侧区间 ($x > 5$) 的符号是 +。
4. 填充符号：
区间 $(5, +infty)$： +
跨过根 $x=5$ (奇次根，重数1)：符号改变为 (区间 $(2, 5)$)
跨过根 $x=2$ (奇次根，重数3)：符号改变为 + (区间 $(1, 2)$)
跨过根 $x=1$ (偶次根，重数2)：符号不变，仍为 + (区间 $(infty, 1)$)
所以，符号分布是： + ($x > 5$)， ($2 < x < 5$)， + ($1 < x < 2$)， + ($x < 1$)。
5. 选择区间： 我们需要 $P(x) > 0$。
所以，符合条件的区间是 $x > 5$ 或者 $1 < x < 2$。
最终解集是 $(infty, 1) cup (1, 2) cup (5, +infty)$。
等等，我刚才在标记符号的时候，从最右侧是+，然后遇到5（奇数）变，遇到2（奇数）变+，遇到1（偶数）符号不变。
让我们重新梳理一下符号填充：
$(5, +infty)$: +
$(2, 5)$: 遇到了 $x=5$ (奇次根)，符号由 + 变为 。
$(1, 2)$: 遇到了 $x=2$ (奇次根)，符号由 变为 +。
$(infty, 1)$: 遇到了 $x=1$ (偶次根)，符号由 + 保持不变，还是 +。
所以，符号分布应该是： + ($x>5$), ($2
修正： 出现了一个小错误，在填充符号的时候，从最右侧开始，遇到每个根的重数进行判断。
让我们仔细重做一遍：
多项式是 $P(x) = (x2)^3 (x+1)^2 (x5)$。
根：1 (重2), 2 (重3), 5 (重1)。
排序：1, 2, 5。
区间 $(5, +infty)$： 最高次项是 $x^6$，系数为正。所以符号为 +。
区间 $(2, 5)$： 跨越根 $x=5$ (重数1，奇数)。符号由 + 变为 。
区间 $(1, 2)$： 跨越根 $x=2$ (重数3，奇数)。符号由 变为 +。
区间 $(infty, 1)$： 跨越根 $x=1$ (重数2，偶数)。符号由 + 保持不变，还是 +。
所以，符号分布是：
$(infty, 1)$: +
$(1, 2)$: +
$(2, 5)$:
$(5, +infty)$: +
不等式是 $P(x) > 0$。
符合条件的区间是 $(infty, 1)$, $(1, 2)$, $(5, +infty)$。
注意： 当不等式是 $P(x) ge 0$ 或 $P(x) le 0$ 时，我们还需要考虑根本身是否包含在解集中。对于重数为偶数的根，如果不等式允许等于零，那么这个根也包含在解集中。但在这里，不等式是严格大于零。
最终解集是 $(infty, 1) cup (1, 2) cup (5, +infty)$。
6. 总结
“奇穿偶不穿”不仅仅是一个记忆口诀，它深刻地反映了多项式函数在实根附近的局部行为。其根本原因在于多项式因式的幂次（即根的重数）。奇次幂的 $(xr)$ 在跨越 $r$ 时会改变符号，从而导致函数整体符号的改变；而偶次幂的 $(xr)$ 无论在 $r$ 的哪一侧，值都为非负（或者非正，取决于系数），因此不会导致函数符号的改变。
掌握了这个法则，我们就可以更系统、更准确地解决各种高次多项式不等式问题，从而更深入地理解多项式的性质。
网友意见
设 是多项式函数，假如它有分解：
其中 与 互素. 我们研究一下 在 附近函数的性态.
首先 在 附近（某邻域）不会发生变号（因为 ），所以 的符号只取决于 的符号，这就是所谓“奇穿”.
若 ，那么 和 在 附近都不会发生变号，这就是所谓“偶不穿”.
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