利用无理数压缩数据是否可行？
用“不可思议”的数字给你的数据瘦身？关于无理数压缩的畅想
我们每个人手机里、电脑里都塞满了各种各样的文件：照片、视频、音乐、文档……这些数字信息庞大得惊人，总是让我们在“空间不足”和“删除不舍”之间纠结。于是，我们想方设法地压缩这些数据，让它们更小巧，更易于存储和传输。大家熟悉的ZIP、RAR、JPEG、MP3等等，都是这些压缩技术的成果。
那么，有没有一种更“硬核”、更“反常规”的压缩方法呢？比方说，如果我们能用那些“永远也写不完”的无理数，来表示我们那些“看得见摸得着”的数据，是不是能实现惊人的压缩效果呢？
什么是无理数？为什么它会引起压缩的联想？
在聊压缩之前，得先捋清楚什么是无理数。简单来说，无理数就是那些不能表示为两个整数之比的数。它们的小数部分是无限不循环的。最著名的无理数莫过于圆周率π（大约是3.1415926535……），还有像√2（约等于1.4142135623……）、黄金分割数φ（约等于1.6180339887……）等等。
为什么无理数会让我们联想到数据压缩呢？这主要源于它们“无限不循环”的特性。我们平时处理的数据，比如一张图片，本质上是由一堆数字组成的，这些数字用来描述像素的颜色和亮度。一张 1000x1000 像素的黑白图片，理论上需要 100 万个数字来表示。如果我们能用一个小数位无限延伸的无理数来“编码”这些信息，是不是就可以做到“用一个数表示很多数”呢？
设想一下，如果一个无理数的小数点后无数位，可以巧妙地编码我们所有的数据，那我们的存储空间岂不是可以无限扩充了？这听起来像不像科幻电影里的情节？
理论上的可行性：把“无限”打包进有限的空间
从理论上讲，将一个有限的数据集映射到一个无理数是可能的。数学上，一个无限小数（比如无理数）在概念上包含了无限多的信息。如果我们能设计出一种精妙的映射函数，将我们有限的数据集（比如一个字节的图片信息，或者一段文字）转化为一个无理数的一部分，那么理论上就能实现压缩。
举个例子，假设我们要压缩一段简单的文字，比如“HELLO”。我们可以给每个字母一个唯一的数字编码，然后将这些数字组合起来，再加上一些特殊的分隔符。最后，再将这个长串的数字序列，通过某种复杂的数学函数，转化为一个无理数的小数点后的部分。理论上，这个无理数可以非常短小精悍，却能“承载”整个“HELLO”的信息。
这种压缩方式的优势在于，理论上可以达到极高的压缩比。因为无理数的“无限性”似乎可以容纳任何有限的信息。如果一个无理数的小数点后能无限延伸，那么它就能存储无穷多的信息。
现实中的挑战：从理论到实践的“鸿沟”
然而，虽然理论上听起来很美好，但将这种“无理数压缩”真正落地应用，却面临着极其严峻的挑战，以至于在目前的实际应用中，几乎是不可行的。
1. 编码与解码的复杂性：
如何设计映射函数？ 最核心的问题是，如何设计一个高效、可靠的映射函数，将有限的数据转化为无理数的一部分，并且还能从这个无理数中准确无误地还原出原始数据。这个函数需要非常巧妙，既要压缩信息，又要保证信息不丢失（无损压缩），或者在可接受范围内丢失信息（有损压缩）。
计算复杂度爆炸： 即使我们能设计出这样一个函数，生成和解析这个无理数的过程很可能极其耗时且计算量巨大。想象一下，要找到一个特定的无理数序列来代表一段文字，这可能需要进行天文数字级别的计算。我们日常使用的压缩算法，如ZIP，其编码和解码速度是我们能接受的。而基于无理数的压缩，很可能需要超级计算机运行数百年才能完成一次压缩或解压。
2. 精度与存储的矛盾：
无理数的“无限”不等于“存储无限”： 尽管无理数在概念上小数点后无限延伸，但我们在计算机中存储它时，总是需要截断到一定的精度。比如，我们存储π时，最多存到小数点后几百位、几千位，而不是真的存储无限位。这意味着，如果我们想用一个无理数来表示数据，我们需要一种方式来精确地指明它的哪一部分代表了原始数据，并且要保证这个指明不占用过多的空间。
精度损失的风险： 如果我们用一个有限精度的数值来“近似”一个需要包含大量信息的无理数，那么在解码时，很可能因为精度不足而丢失原始数据的信息。就像用一个粗糙的网去捕鱼，很多小鱼会漏网。
3. 通用性与效率：
“一刀切”的压缩方式很难奏效： 不同的数据类型（图片、文字、音频、视频）具有不同的统计特性。成熟的压缩算法往往会根据数据类型进行针对性的优化。一种试图用统一的无理数表示所有数据的压缩方法，很可能在效率上不如针对性优化的算法。
数据变化的问题： 如果我们用一个无理数的一小段来代表一段数据，那么即使原始数据发生微小的变化，映射到无理数上的那个“点”也可能发生巨大的变化，这使得对数据的修改和检索变得异常困难。
现有压缩技术的“无理数”影子？
虽然我们无法直接用π来压缩文件，但某些现代压缩技术在概念上间接地利用了与无理数“无限不循环”特性相似的数学原理。
熵编码（Entropy Encoding）： 像哈夫曼编码（Huffman Coding）和算术编码（Arithmetic Coding）这样的熵编码技术，它们的目标是为数据中出现频率不同的符号分配不同长度的码字。出现频率越高的符号，分配的码字越短，从而达到压缩的目的。
算术编码尤其值得一提。它将整个数据流编码成一个范围非常小的实数（一个区间上的一个数），这个实数可以是一个无理数。算术编码通过不断细分概率区间来实现高效压缩。虽然它生成的这个实数在理论上可以无限精细，但在实际操作中，我们会将其表示为一个具有足够精度的浮点数。
“伪随机数”的生成： 很多压缩算法会利用“伪随机数生成器”来创造看似随机但可重现的序列，以达到某些编码目的。这些伪随机数的生成，其底层数学原理可能也与一些复杂的序列和概率分布有关。
这些技术虽然没有直接用π或√2来编码，但它们利用了信息论的原理，将数据的“信息量”转化为更紧凑的表示形式。从某种意义上说，它们是在数据中寻找“不可预测性”或“随机性”的规律，并将其高效编码。
结论：一个迷人的理论，但现实中的障碍难以逾越
总而言之，利用无理数来压缩数据，理论上是存在可行性的，它抓住了无理数“无限不循环”的特性，试图将其转化为强大的压缩能力。然而，在实际操作层面，由于编码解码的复杂性、计算效率的瓶颈、精度存储的矛盾以及通用性问题，这种方法目前还远远无法实用。我们现有的压缩技术，如熵编码，已经在数学和算法层面做到了非常精妙的优化，它们是更实际、更有效率的解决方案。
或许在未来，随着计算能力的飞跃和对信息编码理论更深入的理解，我们会有新的思路来“驯服”那些不可思议的无理数，让它们真正成为我们数字生活的压缩利器。但至少在今天，它们更像是一个充满想象力的科学猜想，而非触手可及的压缩技术。
我们每个人手机里、电脑里都塞满了各种各样的文件：照片、视频、音乐、文档……这些数字信息庞大得惊人，总是让我们在“空间不足”和“删除不舍”之间纠结。于是，我们想方设法地压缩这些数据，让它们更小巧，更易于存储和传输。大家熟悉的ZIP、RAR、JPEG、MP3等等，都是这些压缩技术的成果。
那么，有没有一种更“硬核”、更“反常规”的压缩方法呢？比方说，如果我们能用那些“永远也写不完”的无理数，来表示我们那些“看得见摸得着”的数据，是不是能实现惊人的压缩效果呢？
什么是无理数？为什么它会引起压缩的联想？
在聊压缩之前，得先捋清楚什么是无理数。简单来说，无理数就是那些不能表示为两个整数之比的数。它们的小数部分是无限不循环的。最著名的无理数莫过于圆周率π（大约是3.1415926535……），还有像√2（约等于1.4142135623……）、黄金分割数φ（约等于1.6180339887……）等等。
为什么无理数会让我们联想到数据压缩呢？这主要源于它们“无限不循环”的特性。我们平时处理的数据，比如一张图片，本质上是由一堆数字组成的，这些数字用来描述像素的颜色和亮度。一张 1000x1000 像素的黑白图片，理论上需要 100 万个数字来表示。如果我们能用一个小数位无限延伸的无理数来“编码”这些信息，是不是就可以做到“用一个数表示很多数”呢？
设想一下，如果一个无理数的小数点后无数位，可以巧妙地编码我们所有的数据，那我们的存储空间岂不是可以无限扩充了？这听起来像不像科幻电影里的情节？
理论上的可行性：把“无限”打包进有限的空间
从理论上讲，将一个有限的数据集映射到一个无理数是可能的。数学上，一个无限小数（比如无理数）在概念上包含了无限多的信息。如果我们能设计出一种精妙的映射函数，将我们有限的数据集（比如一个字节的图片信息，或者一段文字）转化为一个无理数的一部分，那么理论上就能实现压缩。
举个例子，假设我们要压缩一段简单的文字，比如“HELLO”。我们可以给每个字母一个唯一的数字编码，然后将这些数字组合起来，再加上一些特殊的分隔符。最后，再将这个长串的数字序列，通过某种复杂的数学函数，转化为一个无理数的小数点后的部分。理论上，这个无理数可以非常短小精悍，却能“承载”整个“HELLO”的信息。
这种压缩方式的优势在于，理论上可以达到极高的压缩比。因为无理数的“无限性”似乎可以容纳任何有限的信息。如果一个无理数的小数点后能无限延伸，那么它就能存储无穷多的信息。
现实中的挑战：从理论到实践的“鸿沟”
然而，虽然理论上听起来很美好，但将这种“无理数压缩”真正落地应用，却面临着极其严峻的挑战，以至于在目前的实际应用中，几乎是不可行的。
1. 编码与解码的复杂性：
如何设计映射函数？ 最核心的问题是，如何设计一个高效、可靠的映射函数，将有限的数据转化为无理数的一部分，并且还能从这个无理数中准确无误地还原出原始数据。这个函数需要非常巧妙，既要压缩信息，又要保证信息不丢失（无损压缩），或者在可接受范围内丢失信息（有损压缩）。
计算复杂度爆炸： 即使我们能设计出这样一个函数，生成和解析这个无理数的过程很可能极其耗时且计算量巨大。想象一下，要找到一个特定的无理数序列来代表一段文字，这可能需要进行天文数字级别的计算。我们日常使用的压缩算法，如ZIP，其编码和解码速度是我们能接受的。而基于无理数的压缩，很可能需要超级计算机运行数百年才能完成一次压缩或解压。
2. 精度与存储的矛盾：
无理数的“无限”不等于“存储无限”： 尽管无理数在概念上小数点后无限延伸，但我们在计算机中存储它时，总是需要截断到一定的精度。比如，我们存储π时，最多存到小数点后几百位、几千位，而不是真的存储无限位。这意味着，如果我们想用一个无理数来表示数据，我们需要一种方式来精确地指明它的哪一部分代表了原始数据，并且要保证这个指明不占用过多的空间。
精度损失的风险： 如果我们用一个有限精度的数值来“近似”一个需要包含大量信息的无理数，那么在解码时，很可能因为精度不足而丢失原始数据的信息。就像用一个粗糙的网去捕鱼，很多小鱼会漏网。
3. 通用性与效率：
“一刀切”的压缩方式很难奏效： 不同的数据类型（图片、文字、音频、视频）具有不同的统计特性。成熟的压缩算法往往会根据数据类型进行针对性的优化。一种试图用统一的无理数表示所有数据的压缩方法，很可能在效率上不如针对性优化的算法。
数据变化的问题： 如果我们用一个无理数的一小段来代表一段数据，那么即使原始数据发生微小的变化，映射到无理数上的那个“点”也可能发生巨大的变化，这使得对数据的修改和检索变得异常困难。
现有压缩技术的“无理数”影子？
虽然我们无法直接用π来压缩文件，但某些现代压缩技术在概念上间接地利用了与无理数“无限不循环”特性相似的数学原理。
熵编码（Entropy Encoding）： 像哈夫曼编码（Huffman Coding）和算术编码（Arithmetic Coding）这样的熵编码技术，它们的目标是为数据中出现频率不同的符号分配不同长度的码字。出现频率越高的符号，分配的码字越短，从而达到压缩的目的。
算术编码尤其值得一提。它将整个数据流编码成一个范围非常小的实数（一个区间上的一个数），这个实数可以是一个无理数。算术编码通过不断细分概率区间来实现高效压缩。虽然它生成的这个实数在理论上可以无限精细，但在实际操作中，我们会将其表示为一个具有足够精度的浮点数。
“伪随机数”的生成： 很多压缩算法会利用“伪随机数生成器”来创造看似随机但可重现的序列，以达到某些编码目的。这些伪随机数的生成，其底层数学原理可能也与一些复杂的序列和概率分布有关。
这些技术虽然没有直接用π或√2来编码，但它们利用了信息论的原理，将数据的“信息量”转化为更紧凑的表示形式。从某种意义上说，它们是在数据中寻找“不可预测性”或“随机性”的规律，并将其高效编码。
结论：一个迷人的理论，但现实中的障碍难以逾越
总而言之，利用无理数来压缩数据，理论上是存在可行性的，它抓住了无理数“无限不循环”的特性，试图将其转化为强大的压缩能力。然而，在实际操作层面，由于编码解码的复杂性、计算效率的瓶颈、精度存储的矛盾以及通用性问题，这种方法目前还远远无法实用。我们现有的压缩技术，如熵编码，已经在数学和算法层面做到了非常精妙的优化，它们是更实际、更有效率的解决方案。
或许在未来，随着计算能力的飞跃和对信息编码理论更深入的理解，我们会有新的思路来“驯服”那些不可思议的无理数，让它们真正成为我们数字生活的压缩利器。但至少在今天，它们更像是一个充满想象力的科学猜想，而非触手可及的压缩技术。
网友意见
不可行。
无法造出某种压缩方式，使得可以压缩所有数据。
现有的各种压缩方式，都是由于数据有特殊性质，因此可以压缩。
例如，AAAAABBBBB，我们可以写成“5A5B”，这是因为“AAAAABBBBB”是很有规则的。但是我们压缩成的“5A5B”，却非常无序。
这是类似于熵的东西。我们以无序来换有序，借此节约空间，实现“压缩”。如果题主实现过哈夫曼编码，应该对这件事有切身的体会。
现在来证明为什么通用压缩是不可能的：
假设我们有某种手段，对于任意输入的二进制串，都压缩成一个更小的二进制串输出，且通过输出文件能还原出输入文件。
那么我们给定A，把它压缩成B，然后把B压缩成C……由于B比A小，C比B小，这样操作下去，我们最终可以得到一个长度为1的二进制串（不是0就是1）。
最终得到的二进制串只有两种，但输入的情况有无穷多种，无法一一对应，违反了我们的假设。
最后，无论是哪个学科都不存在天上掉馅饼的事情。一切都在于交换，你得到了什么东西，就必须为此付出代价——例如把有序变得无序。
通用压缩和永动机是一样的想法。关于永动机的研究，可以去百度贴吧民科吧一睹风采。
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题目描述里的做法，现在已经有一个实现，在 http://www.angio.net/pi/piquery 。这个网站很有意思，它会从pi的前两亿位里面寻找你给定的字符串。
例如，“19260817”最先出现在pi的小数点后69943588位。（为了方便讨论，在下面的分析中，我们把“从第 位开始匹配”简称为“在第 位匹配”。）
不过上面这个例子，“69943588”已经和“19260817”一样长了。现在我们来分析一下用无理数来压缩数据是否可行。为了直观一些，下面的讨论都在十进制下进行。
我不知道pi是不是正规数，但是我知道 是正规数。因此，的任何一位，出现0~9的概率是均等的。
假设我们要匹配长度为 的串。那么，对于任意一个 ，在第 位匹配的概率是 。因此，在 位内都 不匹配 的概率是 。
换言之，在 位内可以匹配的概率是 。
假设我们要编码一个长度为100的串，那么根据上面的式子，即使，在 位以内匹配成功的概率也极为渺茫。也就是说，我们为了编码100位数字，要付出远大于100000000位的代价来存下它出现的位置。
因此这个问题的答案就很明确了：得不偿失。
额，你会发现，后期你用来保存存位置的“索引”(比如你那个100)才是数据源。
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