为什么矢量可以任意平移?
你看，咱们平时说的“矢量”啊，其实就像一个箭头，它有方向，也有大小。 但你有没有想过，为什么这个箭头可以随便往哪儿挪，只要方向和长短不变，它就还是它自己？ 这背后的道理，说起来其实挺有意思的。
我这么跟你说吧，你想想我们平时怎么描述一个东西的位置。 比如你说“我的手机在桌子上”。 这时候，“桌子”就是一个参照点。 如果我说“我的手机在这个桌子的左边”。 这就更具体了，我们心里会有一个画面，手机相对于桌子的某个位置。
而矢量呢，它就不太管具体的“在哪儿”这个问题，它只关心“朝哪个方向走多远”。 就像你要去一个地方，你说“我往东走五公里”。 你没说从哪儿出发，只是告诉了我们一个方向和一个距离。 就算你从北京出发往东走五公里，还是从上海出发往东走五公里，这个“往东走五公里”本身所代表的运动过程，它们的本质是没有区别的。
所以，矢量本身就不是“绑定”在某个特定位置上的。 它代表的是一个“位移”，一种从一个点到另一个点的相对变化。 就像你从家走到公司，这个过程的矢量就是从你家门口到你公司门口那个箭头。 你要是今天从公司走到超市，那个矢量是另一个箭头，但如果你走的路和之前去公司的路一样长而且方向也一样，那么这两个矢量就是“相等”的。
想想看，我们用坐标系来描述事物的时候，通常会有一个原点（0,0,0），所有东西的位置都是相对于这个原点来的。 但矢量，它更像是在这些坐标系的“上面”或者“之间”发生的事情。 它是描述“改变”的，而不是描述“状态”的。
举个例子，你想想在地图上找路。 地图上的每一条路段，它都有长度和方向。 你知道从 A 点到 B 点要向北走 3 公里，那么无论 A 点是在地图的哪个位置，只要 B 点在你 A 点的北边 3 公里，那个“向北走 3 公里”这个矢量，它所代表的意义都是一样的。
如果你把整个地图向右挪一挪，或者向上挪一挪，路段的长度和方向不变，你从 A 到 B 走的这段路，那个矢量本身是没有变的。 只是整个场景发生了一个整体的平移。
所以，矢量可以任意平移，是因为它本身代表的就是一个相对的、独立的运动或方向和大小。 它不依赖于它在哪个具体的空间位置开始或结束。 你可以想象它就像一个看不见的“力”，这个力可以作用在任何物体上，只要作用的方向和大小一样，对物体产生的影响就是一样的。 那个力本身，你可以把它想象成是“悬空”的，可以在空间中自由移动，但它所代表的性质（方向和大小）不变。
换句话说，矢量关注的是变化本身，而不是变化发生的具体地点。 这种“变化本身”的属性，让它能够被独立地拿出来，不受初始位置的限制，在空间中自由“移动”，或者说“携带”。 这种能力，也就是我们常说的矢量的“平行移动不变性”。 这也是矢量在物理学、工程学等领域如此重要和普遍的原因，因为它能帮助我们抽象出事物的本质规律，而不被具体的场景细节所干扰。
所以下次你看到一个箭头，记住，它代表的是一种运动或方向的力量，而这种力量，是可以自由地在你想让它出现的地方出现的。
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所以下次你看到一个箭头，记住，它代表的是一种运动或方向的力量，而这种力量，是可以自由地在你想让它出现的地方出现的。
网友意见
题主现在学的是几何学上的矢量吧。“矢量可以平移”是容易证明的。
对于矢量相等的定义是：两个矢量相等当且仅当它们长度相等，方向相同。因为平移变换不改变方向和长度，所以向量平移前后是相等的。
如果是抽象的“向量空间”中的向量，这些问题甚至都不存在。
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