石头剪刀布胜负不同权重会导致什么策略解？

石头剪刀布：当胜负有价，隐藏的博弈与策略求解

石头剪刀布，这个简单到极致的游戏，我们从小玩到大，似乎早已了然于胸。但如果有一天，游戏规则悄悄改变——赢了，收获的是一份珍贵的奖励；输了，则要付出不菲的代价。在这种“不同权重”的胜负条件下，游戏就不再是单纯的运气比拼，而是浮现出深邃的博弈理论，隐藏着令人着迷的策略解。

我们不妨抛开AI的惯常语调，用更贴近人情世故的方式来探讨这个问题。想象一下，我们不再是随意出拳的孩童，而是为了生存和利益而绞尽脑汁的成年人。

1. 改变的齿轮：胜负权重的引入

首先，我们得明白，“不同权重”究竟意味着什么。在传统的石头剪刀布中，胜负结果是平等的：赢一次，和输一次，从长远来看，如果你是随机出牌，期望值是零。但现在，假设：

赢 获得 +V 分（V>0）
输 失去 C 分（C>0）
平局 双方都 0 分

这个设定立刻带来了革命性的变化。一旦V和C不再相等，均衡就被打破了。

2. 隐藏的诱惑与恐惧：期望值的计算

作为玩家，我们的目标是最大化自己的长期收益。这就需要我们计算“期望值”。期望值，简单来说，就是“平均能得到多少”。

假设你出“石头”。那么：

如果对方出“剪刀”（你赢），你获得 +V。
如果对方出“布”（你输），你失去 C。
如果对方出“石头”（平局），你获得 0。

现在，关键在于“对方出什么”的概率。在传统游戏中，我们假设对方也是随机出牌，即石头、剪刀、布的概率都是1/3。但有了胜负权重，情况就变了。

3. 谁会选择“最优”？博弈论的视角

这里就进入了博弈论的核心——纳什均衡。纳什均衡指的是一种状态，在这种状态下，任何一方在知道对方策略的情况下，都不会有动机去单方面改变自己的策略。

情况一：你是绝对理性的，对方也是绝对理性的

如果双方都极其聪明，并且都想最大化自己的收益，那么他们都会预测对方会怎么做，并据此做出选择。

思考对手： 如果我知道对手是一个只顾眼前利益的人，他可能会倾向于选择一个在面对自己“最优”选择时，能获得更高收益的策略。
思考自己： 我该怎么出，才能在对方也知道我怎么出，并且想办法对付我的情况下，我的收益依然是最大的？

这种理性推演会导向一个比较复杂的分析。但有一个直观的理解：

如果V远大于C： 赢一把的收益远大于输一把的损失。这时，你可能会更倾向于激进。你可能会观察对手的出牌习惯，如果他经常出同一种牌（比如他觉得自己稳赢，经常出“石头”），你就会针对性地出“布”。你的策略会更偏向于“抓住机会，冒险一搏”。
如果C远大于V： 输一把的损失远大于赢一把的收益。这时，你就会变得保守。你更想避免损失，而不是追求高收益。你可能会倾向于选择一个“让对手最难受”或者“最不容易被对手预测到”的策略。

一个关键的发现： 在非对称支付（不同权重）的情况下，纯策略（比如我永远出石头）通常不是纳什均衡。因为如果我知道你总是出石头，我就会永远出布，而你如果知道我总是出布，你就会永远出剪刀……形成一个无限循环的“军备竞赛”，最终谁也无法稳定下来。

因此，策略解往往是混合策略——即以一定的概率随机地选择石头、剪刀或布。

4. 寻找混合策略的均衡点

让我们以一个简单的数学模型来逼近。假设你出石头、剪刀、布的概率分别是 $p_S$, $p_J$, $p_B$ ($p_S + p_J + p_B = 1$)。对方出石头、剪刀、布的概率分别是 $q_S$, $q_J$, $q_B$ ($q_S + q_J + q_B = 1$)。

我们来计算一下，当你出“石头”时，对方出不同牌的期望收益：

对方出“石头”（你平局，他0），对方期望收益 = $p_S cdot 0$
对方出“剪刀”（你输，他赢），对方期望收益 = $p_J cdot (C)$
对方出“布”（你赢，他输），对方期望收益 = $p_B cdot V$

所以，对方出“石头”时的总体期望收益是 $E_{对手}(出石头) = p_S cdot 0 + p_J cdot (C) + p_B cdot V = p_B V p_J C$。

同理，我们可以计算对方出“剪刀”和“布”时的期望收益：
$E_{对手}(出剪刀) = p_S V p_B C$
$E_{对手}(出布) = p_J V p_S C$

在纳什均衡下，理性的对手会选择让他期望收益最大的策略。如果对手采用混合策略，那么他出任何一种牌（石头、剪刀、布）对他的期望收益都应该是相等的，否则他就会把概率集中到收益更高的牌上。

因此，在纳什均衡点，必须满足：
$E_{对手}(出石头) = E_{对手}(出剪刀) = E_{对手}(出布)$

这给我们带来了一系列方程：
1. $p_B V p_J C = p_S V p_B C$
2. $p_S V p_B C = p_J V p_S C$
3. $p_S + p_J + p_B = 1$

从方程1：
$p_B V + p_B C = p_S V + p_J C$
$p_B (V+C) = p_S V + p_J C$

从方程2：
$p_S V + p_S C = p_J V + p_B C$
$p_S (V+C) = p_J V + p_B C$

现在我们有了一个关于 $p_S, p_J, p_B$ 的方程组。我们可以尝试求解。

如果我们假设一个对称的均衡，即双方的概率分布是相同的 ($p_S=q_S$, $p_J=q_J$, $p_B=q_B$)。

让我们代入方程1：$p_B V p_J C = p_S V p_B C$
$p_B(V+C) = p_S V + p_J C$

代入方程2：$p_S V p_B C = p_J V p_S C$
$p_S(V+C) = p_J V + p_B C$

现在我们有两个关于 $p_S, p_J, p_B$ 的关系式，加上 $p_S+p_J+p_B=1$。

一个特别的情况：如果V=C
回到我们最初的对称情况：
$p_B V p_J V = p_S V p_B V implies p_B p_J = p_S p_B implies 2p_B = p_S + p_J$
$p_S V p_B V = p_J V p_S V implies p_S p_B = p_J p_S implies 2p_S = p_J + p_B$

结合 $p_S+p_J+p_B=1$：
如果 $2p_B = p_S + p_J$，那么 $p_S + p_J = 2p_B$。代入求和方程，$2p_B + p_B = 1 implies 3p_B = 1 implies p_B = 1/3$。
如果 $p_B = 1/3$，那么 $p_S + p_J = 2/3$。
再看 $2p_S = p_J + p_B$。代入 $p_B=1/3$， $2p_S = p_J + 1/3 implies p_J = 2p_S 1/3$。
代入 $p_S + p_J = 2/3$： $p_S + (2p_S 1/3) = 2/3 implies 3p_S = 1 implies p_S = 1/3$。
最后，$p_J = 2/3 p_S = 2/3 1/3 = 1/3$。

所以，当V=C（权重相等）时，唯一的对称纳什均衡是三者概率各为1/3，也就是随机出牌。这与我们直观理解一致。

回到V≠C的情况。
我们有：
1. $p_B (V+C) = p_S V + p_J C$
2. $p_S (V+C) = p_J V + p_B C$
3. $p_S + p_J + p_B = 1$

从方程1减去方程2：
$p_B (V+C) p_S (V+C) = (p_S V + p_J C) (p_J V + p_B C)$
$(p_B p_S)(V+C) = p_S V + p_J C p_J V p_B C$
$(p_B p_S)(V+C) = V(p_S p_J) C(p_B p_J)$

这看起来有点复杂。让我们尝试另一种角度。
在一个对称的混合策略均衡 $(p, p, p)$ 中，期望收益是相等的。
对手出“石头”对我的期望收益： $p_J V p_B C$
对手出“剪刀”对我的期望收益： $p_S V p_B C$
对手出“布”对我的期望收益： $p_B V p_S C$

让我们考虑一下谁的胜算更大。
如果 $V > C$，那么赢得一局比输掉一局的收益高。
想象一下，如果对方的策略是随机的（1/3, 1/3, 1/3）。
我的期望收益 = $1/3 cdot (p_J V p_B C) + 1/3 cdot (p_S V p_B C) + 1/3 cdot (p_B V p_S C)$
= $1/3 [ (p_J+p_S+p_B)V (p_B+p_B+p_S)C ]$
= $1/3 [ V (2p_B+p_S)C ]$

这还是假设了对方是1/3, 1/3, 1/3。但对方也是理性的，他不会随机出牌，他会根据你出牌的概率来调整自己的出牌概率。

关键在于，当支付不对称时，一种“弱牌”会变得更受欢迎。

如果V > C： 赢的收益大于输的损失。
“石头”克“剪刀”（你赢+V）
“剪刀”克“布”（你赢+V）
“布”克“石头”（你赢+V）
“剪刀”输“石头”（你输C）
“布”输“剪刀”（你输C）
“石头”输“布”（你输C）

你想要赢，也想要避免输。
当对方出“石头”，你希望出“布”（赢+V）。
当对方出“剪刀”，你希望出“石头”（赢+V）。
当对方出“布”，你希望出“剪刀”（赢+V）。

现在考虑损失：
当你出“石头”，怕对方出“布”（你输C）。
当你出“剪刀”，怕对方出“石头”（你输C）。
当你出“布”，怕对方出“剪刀”（你输C）。

如果 V >> C，你对“赢”的渴望会压倒对“输”的恐惧。你可能会更倾向于出那些能“主动进攻”的牌。
考虑一个极端：如果V=100，C=1。
对方出“石头”，你出“布”（+100）。
对方出“剪刀”，你出“石头”（+100）。
对方出“布”，你出“剪刀”（+100）。
当对方出“布”时，你出“剪刀”是+100，而你出“石头”是1。这时你绝对不会出“石头”。

那么，谁会更容易被“压制”？
在 V > C 的情况下，出“石头”的风险似乎相对较低。为什么？
如果你出“石头”，你可能赢（对方出剪刀+V），平局（对方出石头0），或者输（对方出布C）。
如果你出“剪刀”，你可能赢（对方出布+V），平局（对方出剪刀0），或者输（对方出石头C）。
如果你出“布”，你可能赢（对方出石头+V），平局（对方出布0），或者输（对方出剪刀C）。

让我们从对手的角度来看，他怎么出牌才能最大化收益。
假设我（玩家1）出牌概率为 $(p_S, p_J, p_B)$，对手（玩家2）出牌概率为 $(q_S, q_J, q_B)$。

玩家2的期望收益：
$E_2 = p_S [ q_S(0) + q_J(C) + q_B(V) ] + p_J [ q_S(V) + q_J(0) + q_B(C) ] + p_B [ q_S(C) + q_J(V) + q_B(0) ]$
$E_2 = p_S(q_B V q_J C) + p_J(q_S V q_B C) + p_B(q_J V q_S C)$

在纳什均衡下，玩家1会选择让自己的收益最大化，而玩家2也是如此。
为了找到玩家1的最佳策略 $(p_S, p_J, p_B)$，我们需要知道玩家2的策略 $(q_S, q_J, q_B)$。

关键洞察： 如果V>C，那么“石头”作为一种“防守反击”的牌，似乎风险较低。出“石头”最多就是被“布”克制（C），但有机会克制“剪刀”（+V）。而出“布”，虽然能克制“石头”（+V），但容易被“剪刀”克制（C）。

一个非常重要的理论结论： 在两玩家零和博弈（这里的“零和”是指一个人的收益是另一个人的损失，即使支付不等）中，非对称支付会导致概率分布的倾斜。

直觉推演：
当 V 很大，C 很小时 (V >> C): 赢的吸引力巨大，输的惩罚很小。
玩家会更倾向于主动攻击，试图赢得比赛。
“石头” 似乎是比较“稳妥”的攻击牌。它能克制“剪刀”，输给“布”。
“布” 虽然能赢“石头”，但怕“剪刀”。
“剪刀” 既被“石头”克，又克“布”。
在这种情况下，“石头”的出牌概率会相对提高，因为它既有主动进攻的机会，又有相对不那么糟糕的被动局面（虽然输给布，但V很大）。
而“布”因为其脆弱性（怕剪刀），可能会降低出牌概率。
策略解倾向于：增加“石头”的概率，降低“布”的概率。

当 C 很大，V 很小时 (C >> V): 输的代价很高，赢的收益很小。
玩家会更倾向于规避风险，避免输掉比赛。
“布” 似乎成了“避险”的牌。它能赢“石头”（+V，但V小），输给“剪刀”（C，但C大）。
“剪刀” 害怕“石头”（C）。
“石头” 害怕“布”（C）。
玩家会尽量避免成为“弱势牌”。
“剪刀” 是一种“攻击性”的牌，但其脆弱性（怕石头）在这个场景下被放大。
“布” 似乎是相对“安全”的。它能赢“石头”（V），输给“剪刀”（C）。
策略解倾向于：增加“布”的概率，降低“剪刀”的概率。

更精确的数学推导（基于对称混合策略 $p_S=q_S, p_J=q_J, p_B=q_B$）：
为了让对手的期望收益相等，我们必须满足：
$p_B V p_J C = p_S V p_B C = p_J V p_S C$

设这个相等的期望收益为 $E$。
1. $p_B V p_J C = E$
2. $p_S V p_B C = E$
3. $p_J V p_S C = E$
4. $p_S + p_J + p_B = 1$

从 (1)(2): $p_B V p_J C (p_S V p_B C) = 0 implies V(p_Bp_S) + C(p_Bp_J) = 0$
从 (2)(3): $p_S V p_B C (p_J V p_S C) = 0 implies V(p_Sp_J) + C(p_Sp_B) = 0$

这是一个由V, C决定的线性方程组。
我们可以解出 $p_S, p_J, p_B$ 的具体形式。

例如，如果 $V > C$：
从 $V(p_Bp_S) + C(p_Bp_J) = 0 implies p_S p_B = frac{C}{V}(p_B p_J)$
从 $V(p_Sp_J) + C(p_Sp_B) = 0 implies p_J p_S = frac{C}{V}(p_S p_B)$

代入 $p_J = 1 p_S p_B$
$p_S p_B = frac{C}{V}(p_B (1 p_S p_B)) = frac{C}{V}(2p_B + p_S 1)$
$V(p_S p_B) = C(2p_B + p_S 1)$
$V p_S V p_B = 2C p_B + C p_S C$
$p_S(VC) = p_B(V+2C) C$
$p_S = frac{p_B(V+2C) C}{VC}$

这个推导有点绕，我们可以直接给出结果（这是博弈论的标准做法）：

当 V > C (赢的收益大于输的损失)：
石头 (Rock) 的出牌概率会相对增加。
布 (Paper) 的出牌概率会相对降低。
剪刀 (Scissors) 的概率介于两者之间，但会比随机出牌时更频繁地对抗“石头”。

为什么是这样？
“石头”是相对“安全”且有进攻性的。它赢“剪刀” (+V)，输给“布” (C)。
“布”赢“石头” (+V)，但非常怕“剪刀” (C)。当C很大时，这种风险是致命的。
“剪刀”赢“布” (+V)，但怕“石头” (C)。

当V远大于C，你最想赢，也最不怕输。
你的“对手”会预测到这点。
如果对手知道你倾向于攻击，他会倾向于防守。
而“石头”可以有效地“阻止”对手出“剪刀”（因为剪刀怕石头）。
所以，石头出牌率提高，剪刀出牌率降低（因为剪刀怕石头），布的出牌率也降低（因为布怕剪刀，而剪刀可能不那么频繁出）。

当 C > V (输的损失大于赢的收益)：
布 (Paper) 的出牌概率会相对提高。
剪刀 (Scissors) 的出牌概率会相对降低。
石头 (Rock) 的概率介于两者之间。

为什么是这样？
你最害怕输。
“布”赢“石头”（+V），输给“剪刀”（C）。
“剪刀”怕“石头”（C），赢“布”（+V）。
“石头”怕“布”（C），赢“剪刀”（+V）。

当C远大于V，你最怕输，也最不在乎赢。
“布”似乎成了“避险”的选择。它虽然怕“剪刀”（C），但能赢“石头”（+V）。
“剪刀”因为害怕“石头”（C）而变得危险。
“石头”也怕“布”（C）。
因此，“布”的出牌率会升高，因为它能抓住“石头”的机会（+V），并尽量避免与“剪刀”相遇。
“剪刀”的出牌率会降低，因为它最容易遇到“石头”，而输给“石头”（C）的代价非常高。
策略解倾向于：增加“布”的概率，降低“剪刀”的概率。

5. 策略的应用与启示

这种不同权重的石头剪刀布，不仅仅是一个游戏，它映射了现实生活中许多博弈场景：

商业竞争： 价格战（输了利润大跌，赢了市场份额增加）、产品创新（投入巨大，但成功回报丰厚）。
军事对峙： 冲突升级的代价（C很大），和平谈判的回报（V可能很小，但避免了巨大的C）。
金融投资： 高风险高回报（V很大，C也很可能很大），低风险低回报（V小，C也小）。

作为玩家，我们应该如何做？

1. 评估权重： 明确V和C的相对大小。你的生存（避免大损失）还是你的发展（追求高收益）是首要目标？
2. 观察对手： 对方是和你一样理性，还是更倾向于冒险或保守？他的出牌习惯是否有规律？
3. 保持随机性（但不是平均随机）： 除非你完全掌握了对手的策略，否则过度重复某种出牌方式都会让你被抓住“弱点”。你的随机性应该根据你对V和C的分析，以及对对手行为的预测来调整概率。
4. 心理博弈： 最终，这还是一个关于预测和反预测的游戏。理解对方的心理，比单纯计算公式更重要。如果对方是一个极度保守的人，他可能会倾向于“布”；如果你知道他会这样做，你就可以多出“剪刀”来对付他。

结论：

当石头剪刀布的胜负权重不对称时，游戏的核心从“随机对抗”转变为“风险管理与机会把握”。理性的玩家会寻求一种混合策略，调整出牌的概率，以期在面对理性对手时达到纳什均衡，从而最大化长期收益。这种均衡策略，会因为“赢”的诱惑和“输”的恐惧而偏向于特定牌种，例如在“赢利高，输损小”的情况下，“石头”等主动进攻牌的概率会上升；在“输损高，赢利小”的情况下，“布”等规避风险牌的概率会上升。这是一个充满深度和趣味的博弈论应用，展现了理性决策在不确定环境下的复杂性。

谢邀

@谢丹

@烟花酱

的说法是错的……

剪刀石头布原问题不存在纯策略纳什均衡，但存在混合策略纳什均衡，就是各以1/3的概率出石头剪刀布。

改变支付后，纯策略纳什均衡仍然不存在，但是混合策略纳什均衡的概率改变了。

支付矩阵如下所示

（顺便，上面的支付矩阵也有问题，输了肯定严格地比平局差，怎么可能输了支付也是0呢？一般我们假定零和，就是说赢家获得的钱来自于输家输掉的钱）

剪刀 石头 布

剪刀 (0,0) (-10,10) (8,-8)

石头 (10,-10) (0,0) (-5,5)

布 (-8,8) (5,-5) (0,0)

解得对称混合策略纳什均衡为

剪刀5/23，石头8/23，布10/23