高等代数中线性变换的核的基怎么求？
好的，我们来聊聊高等代数里线性变换的核，以及怎么求它的基。这部分内容其实很有意思，它触及了线性代数的核心概念。
咱们先从“核”是什么说起。
什么是线性变换的核？
想象一下，你有一个函数，它接受向量作为输入，然后输出另一个向量。在高等代数里，我们称这种函数为“线性变换”。线性变换有个很重要的性质，就是它能保持向量加法和标量乘法不变。
现在，我们关注的焦点是：哪些向量，经过这个线性变换后，会被“压扁”成零向量？
这些向量的集合，就构成了这个线性变换的“核”，英文叫做 "kernel" 或者 "null space"。用数学符号表示，如果 $T: V o W$ 是一个线性变换，那么它的核就是：
$$ ext{Ker}(T) = { mathbf{v} in V mid T(mathbf{v}) = mathbf{0}_W } $$
这里的 $mathbf{v}$ 是从向量空间 $V$ 中取出的向量，$T(mathbf{v})$ 是 $T$ 作用在 $mathbf{v}$ 上的结果，而 $mathbf{0}_W$ 是向量空间 $W$ 中的零向量。
为什么核很重要？
核不仅仅是一个概念，它揭示了线性变换的“塌陷”程度。
维度关系： 核的维度（也就是它所张成的空间的维数，我们称之为“零化度”或 "nullity"）与线性变换的“像”的维度（我们称之为“秩”或 "rank"）之间有一个重要的关系，叫做“秩零化度定理”：
$$ ext{rank}(T) + ext{nullity}(T) = dim(V) $$
这个定理告诉我们，一个向量空间经过线性变换“伸展”的部分（像）和“压缩”成零的部分（核）的总和，就是原始空间的维度。
方程组的解： 很多线性代数问题都可以转化为求解线性方程组。如果你有一个齐次线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{0}$，那么所有满足这个方程的向量 $mathbf{x}$ 就构成了矩阵 $A$（作为线性变换的表示）的核。求核的基，就是找到这个齐次线性方程组的基础解系。
怎么求核的基？
求线性变换的核的基，核心思想就是解齐次线性方程组。具体步骤如下：
第一步：确定线性变换的矩阵表示
通常，线性变换是在有限维向量空间之间进行的，比如从 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}^m$。在这种情况下，每个线性变换都可以用一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 来表示。如果你给定的不是矩阵，而是线性变换的定义，比如 $T(x_1, x_2) = (2x_1 + x_2, x_1 3x_2)$（从 $mathbb{R}^2$ 到 $mathbb{R}^2$），你需要先找到它对应的矩阵。
方法： 找一组基（通常是标准基）在变换下的像，然后将这些像向量写成列向量，组合起来就是矩阵的列。
例如，对于 $T(x_1, x_2) = (2x_1 + x_2, x_1 3x_2)$:
$T(1, 0) = (2, 1)$
$T(0, 1) = (1, 3)$
矩阵 $A$ 就是将这两个列向量组合起来：
$$ A = egin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 end{pmatrix} $$
第二步：写出齐次线性方程组
一旦有了矩阵 $A$，我们就要找到所有满足 $T(mathbf{v}) = mathbf{0}_W$ 的向量 $mathbf{v}$。如果 $mathbf{v}$ 的分量是 $x_1, x_2, dots, x_n$，那么这个问题就变成了求解矩阵方程：
$$ A mathbf{x} = mathbf{0} $$
其中 $mathbf{x} = egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end{pmatrix}$ 是未知向量。
第三步：将矩阵化为行阶梯形（或简化行阶梯形）
这是解线性方程组的关键步骤。我们需要对矩阵 $A$ 进行初等行变换（交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的常数倍），将其化为行阶梯形或简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）。
为什么化为行阶梯形？ 行阶梯形矩阵能清晰地告诉我们哪些变量是“基本变量”（对应于主元列），哪些变量是“自由变量”（对应于非主元列）。
第四步：识别基本变量和自由变量，并写出通解
将化简后的矩阵对应的方程组写出来。
基本变量： 出现在主元（pivot，即每行第一个非零元素）所在列的变量，它们的值可以由自由变量表示。
自由变量： 不对应主元的变量，它们可以取任意值，并且可以作为参数来表示核中的所有向量。
假设通过行化简，我们得到了方程组的解的形式是这样的：
$x_1 = c_1 x_k + c_2 x_l + dots$
$x_2 = d_1 x_k + d_2 x_l + dots$
…
其中 $x_k, x_l, dots$ 是自由变量。
我们将自由变量写成向量形式：
$$ mathbf{x} = egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end{pmatrix} = egin{pmatrix} c_1 x_k + c_2 x_l + dots \ d_1 x_k + d_2 x_l + dots \ vdots \ x_k \ x_l \ vdots end{pmatrix} $$
然后，将这个向量分解成自由变量的倍数：
$$ mathbf{x} = x_k egin{pmatrix} c_1 \ d_1 \ vdots \ 1 \ 0 \ vdots end{pmatrix} + x_l egin{pmatrix} c_2 \ d_2 \ vdots \ 0 \ 1 \ vdots end{pmatrix} + dots $$
第五步：提取基向量
上面分解得到的那些向量，就是核（即齐次方程组的解空间）的一组基。每个基向量都对应一个自由变量。
一个具体的例子
我们来求线性变换 $T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2$ 的核的基，其矩阵表示为：
$$ A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 end{pmatrix} $$
我们要解方程组 $Amathbf{x} = mathbf{0}$:
$$ egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 end{pmatrix} egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix} $$
步骤 3：化简矩阵
对矩阵 $A$ 进行初等行变换。
用第二行减去第一行的 2 倍 ($R_2 leftarrow R_2 2R_1$):
$$ egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} $$
这个矩阵已经是行阶梯形了（甚至更简化）。
步骤 4：识别变量和写通解
化简后的方程组是：
$1x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$
$0 = 0$ (这行没有提供信息)
我们看主元。第一行有一个主元在第一列，$x_1$ 是基本变量。
第二列和第三列没有主元，$x_2$ 和 $x_3$ 是自由变量。
从第一个方程，我们可以用自由变量表示基本变量：
$x_1 = 2x_2 3x_3$
现在写出向量 $mathbf{x}$ 的通解：
$$ egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2x_2 3x_3 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} $$
将它分解成自由变量的倍数：
$$ egin{pmatrix} 2x_2 3x_3 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2x_2 \ x_2 \ 0 end{pmatrix} + egin{pmatrix} 3x_3 \ 0 \ x_3 end{pmatrix} = x_2 egin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 end{pmatrix} + x_3 egin{pmatrix} 3 \ 0 \ 1 end{pmatrix} $$
步骤 5：提取基向量
核的基就是上面向量中的系数向量：
$$ mathbf{v}_1 = egin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 end{pmatrix}, quad mathbf{v}_2 = egin{pmatrix} 3 \ 0 \ 1 end{pmatrix} $$
所以，线性变换 $T$ 的核是由这两个向量张成的子空间，而这两个向量就是它的一个基。
总结一下要点：
1. 找矩阵： 如果给的是变换定义，先求出其矩阵表示。
2. 列方程： 将问题转化为求解齐次线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{0}$。
3. 行化简： 将矩阵 $A$ 通过初等行变换化为行阶梯形或简化行阶梯形。
4. 定自由变量： 识别出自由变量（对应非主元列）。
5. 写通解： 用自由变量表示基本变量，写出向量 $mathbf{x}$ 的通解。
6. 分离基向量： 将通解向量分解，每个与自由变量相乘的向量就是核的一条基。
这个过程是线代中一个非常基础且重要的技能，熟练掌握它能帮助你理解很多更深层次的概念。希望这些说明够详细，并且能够帮助你理解求核的基的过程。
咱们先从“核”是什么说起。
什么是线性变换的核？
想象一下，你有一个函数，它接受向量作为输入，然后输出另一个向量。在高等代数里，我们称这种函数为“线性变换”。线性变换有个很重要的性质，就是它能保持向量加法和标量乘法不变。
现在，我们关注的焦点是：哪些向量，经过这个线性变换后，会被“压扁”成零向量？
这些向量的集合，就构成了这个线性变换的“核”，英文叫做 "kernel" 或者 "null space"。用数学符号表示，如果 $T: V o W$ 是一个线性变换，那么它的核就是：
$$ ext{Ker}(T) = { mathbf{v} in V mid T(mathbf{v}) = mathbf{0}_W } $$
这里的 $mathbf{v}$ 是从向量空间 $V$ 中取出的向量，$T(mathbf{v})$ 是 $T$ 作用在 $mathbf{v}$ 上的结果，而 $mathbf{0}_W$ 是向量空间 $W$ 中的零向量。
为什么核很重要？
核不仅仅是一个概念，它揭示了线性变换的“塌陷”程度。
维度关系： 核的维度（也就是它所张成的空间的维数，我们称之为“零化度”或 "nullity"）与线性变换的“像”的维度（我们称之为“秩”或 "rank"）之间有一个重要的关系，叫做“秩零化度定理”：
$$ ext{rank}(T) + ext{nullity}(T) = dim(V) $$
这个定理告诉我们，一个向量空间经过线性变换“伸展”的部分（像）和“压缩”成零的部分（核）的总和，就是原始空间的维度。
方程组的解： 很多线性代数问题都可以转化为求解线性方程组。如果你有一个齐次线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{0}$，那么所有满足这个方程的向量 $mathbf{x}$ 就构成了矩阵 $A$（作为线性变换的表示）的核。求核的基，就是找到这个齐次线性方程组的基础解系。
怎么求核的基？
求线性变换的核的基，核心思想就是解齐次线性方程组。具体步骤如下：
第一步：确定线性变换的矩阵表示
通常，线性变换是在有限维向量空间之间进行的，比如从 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}^m$。在这种情况下，每个线性变换都可以用一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 来表示。如果你给定的不是矩阵，而是线性变换的定义，比如 $T(x_1, x_2) = (2x_1 + x_2, x_1 3x_2)$（从 $mathbb{R}^2$ 到 $mathbb{R}^2$），你需要先找到它对应的矩阵。
方法： 找一组基（通常是标准基）在变换下的像，然后将这些像向量写成列向量，组合起来就是矩阵的列。
例如，对于 $T(x_1, x_2) = (2x_1 + x_2, x_1 3x_2)$:
$T(1, 0) = (2, 1)$
$T(0, 1) = (1, 3)$
矩阵 $A$ 就是将这两个列向量组合起来：
$$ A = egin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 end{pmatrix} $$
第二步：写出齐次线性方程组
一旦有了矩阵 $A$，我们就要找到所有满足 $T(mathbf{v}) = mathbf{0}_W$ 的向量 $mathbf{v}$。如果 $mathbf{v}$ 的分量是 $x_1, x_2, dots, x_n$，那么这个问题就变成了求解矩阵方程：
$$ A mathbf{x} = mathbf{0} $$
其中 $mathbf{x} = egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end{pmatrix}$ 是未知向量。
第三步：将矩阵化为行阶梯形（或简化行阶梯形）
这是解线性方程组的关键步骤。我们需要对矩阵 $A$ 进行初等行变换（交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的常数倍），将其化为行阶梯形或简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）。
为什么化为行阶梯形？ 行阶梯形矩阵能清晰地告诉我们哪些变量是“基本变量”（对应于主元列），哪些变量是“自由变量”（对应于非主元列）。
第四步：识别基本变量和自由变量，并写出通解
将化简后的矩阵对应的方程组写出来。
基本变量： 出现在主元（pivot，即每行第一个非零元素）所在列的变量，它们的值可以由自由变量表示。
自由变量： 不对应主元的变量，它们可以取任意值，并且可以作为参数来表示核中的所有向量。
假设通过行化简，我们得到了方程组的解的形式是这样的：
$x_1 = c_1 x_k + c_2 x_l + dots$
$x_2 = d_1 x_k + d_2 x_l + dots$
…
其中 $x_k, x_l, dots$ 是自由变量。
我们将自由变量写成向量形式：
$$ mathbf{x} = egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end{pmatrix} = egin{pmatrix} c_1 x_k + c_2 x_l + dots \ d_1 x_k + d_2 x_l + dots \ vdots \ x_k \ x_l \ vdots end{pmatrix} $$
然后，将这个向量分解成自由变量的倍数：
$$ mathbf{x} = x_k egin{pmatrix} c_1 \ d_1 \ vdots \ 1 \ 0 \ vdots end{pmatrix} + x_l egin{pmatrix} c_2 \ d_2 \ vdots \ 0 \ 1 \ vdots end{pmatrix} + dots $$
第五步：提取基向量
上面分解得到的那些向量，就是核（即齐次方程组的解空间）的一组基。每个基向量都对应一个自由变量。
一个具体的例子
我们来求线性变换 $T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2$ 的核的基，其矩阵表示为：
$$ A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 end{pmatrix} $$
我们要解方程组 $Amathbf{x} = mathbf{0}$:
$$ egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 end{pmatrix} egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix} $$
步骤 3：化简矩阵
对矩阵 $A$ 进行初等行变换。
用第二行减去第一行的 2 倍 ($R_2 leftarrow R_2 2R_1$):
$$ egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} $$
这个矩阵已经是行阶梯形了（甚至更简化）。
步骤 4：识别变量和写通解
化简后的方程组是：
$1x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$
$0 = 0$ (这行没有提供信息)
我们看主元。第一行有一个主元在第一列，$x_1$ 是基本变量。
第二列和第三列没有主元，$x_2$ 和 $x_3$ 是自由变量。
从第一个方程，我们可以用自由变量表示基本变量：
$x_1 = 2x_2 3x_3$
现在写出向量 $mathbf{x}$ 的通解：
$$ egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2x_2 3x_3 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} $$
将它分解成自由变量的倍数：
$$ egin{pmatrix} 2x_2 3x_3 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2x_2 \ x_2 \ 0 end{pmatrix} + egin{pmatrix} 3x_3 \ 0 \ x_3 end{pmatrix} = x_2 egin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 end{pmatrix} + x_3 egin{pmatrix} 3 \ 0 \ 1 end{pmatrix} $$
步骤 5：提取基向量
核的基就是上面向量中的系数向量：
$$ mathbf{v}_1 = egin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 end{pmatrix}, quad mathbf{v}_2 = egin{pmatrix} 3 \ 0 \ 1 end{pmatrix} $$
所以，线性变换 $T$ 的核是由这两个向量张成的子空间，而这两个向量就是它的一个基。
总结一下要点：
1. 找矩阵： 如果给的是变换定义，先求出其矩阵表示。
2. 列方程： 将问题转化为求解齐次线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{0}$。
3. 行化简： 将矩阵 $A$ 通过初等行变换化为行阶梯形或简化行阶梯形。
4. 定自由变量： 识别出自由变量（对应非主元列）。
5. 写通解： 用自由变量表示基本变量，写出向量 $mathbf{x}$ 的通解。
6. 分离基向量： 将通解向量分解，每个与自由变量相乘的向量就是核的一条基。
这个过程是线代中一个非常基础且重要的技能，熟练掌握它能帮助你理解很多更深层次的概念。希望这些说明够详细，并且能够帮助你理解求核的基的过程。
网友意见
线性变换中的核，直观理解有点像高等数学中，使得函数值等于0的那些自变量组成的集合：
即 N(f) = {x| f(x)=0}
对应于线性变换就是
N(T) = { x|Tx=O}
因为线性变换T等价于一个矩阵A，所以在基给定的情况下，N(T)等价于 N(A)={x|Ax=O}所以和基础解系联系一起
可以看看清华学堂在线的MOOC课--《工程应用数学基础》
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