如何理解自然单位制？
理解自然单位制，首先要明白它为什么会出现，以及它想解决什么问题。简单来说，自然单位制是一种尝试让物理学的数学表达更简洁、更“自然”的系统。它不是一种“错的”单位制，而是另一种视角，一种哲学上的选择。
为什么要有单位制？
我们生活在一个可量化的世界里，从早晨起来喝一杯水的体积，到开车上班的路程，再到思考宇宙的年龄，几乎一切都需要用数字来描述。而数字本身是抽象的，没有一个具体的参照物，我们无法衡量“一”是什么意思。
这就催生了单位制。单位制就是我们约定俗成的标准参照物。比如我们说一杯水有 200 毫升，这里的“毫升”就是单位。它告诉我们，我们测量的体积是水杯里能够容纳多少个“毫升”大小的空间。
我们现在常用的单位制：国际单位制 (SI)
我们最熟悉和广泛使用的就是国际单位制 (SI)。它有七个基本单位：米 (m)、千克 (kg)、秒 (s)、安培 (A)、开尔文 (K)、摩尔 (mol) 和坎德拉 (cd)。其他的单位，比如速度（米/秒）、力（牛顿，kg·m/s²）都是由这七个基本单位组合而成的。
SI 的好处在于它的实用性和历史传承。它是由人类社会在漫长的历史中逐渐发展、标准化而来的。我们 seharihari 的生活、科学研究、工业生产，都离不开它。比如我们测量身高用米，称体重用千克，计时用秒，这些都是与我们的直观感受紧密相连的。
自然单位制的诞生：对“人为”的思考
然而，当我们深入到物理学的最前沿，比如量子力学、相对论或者宇宙学时，我们就会发现，很多基本物理定律的表达式里，都出现了像光速 (c)、普朗克常数 (ħ)、引力常数 (G)、玻尔兹曼常数 (kB) 等等这些基本常数。
这些常数，从物理学的角度来看，它们是宇宙本身的属性，是自然界最基本的“标尺”。比如光速 c，它定义了信息的传递速度上限，是时空结构的关键组成部分；普朗克常数 ħ，它决定了量子世界中能量和动量是否是连续的，是量子力学的基石；引力常数 G，它刻画了引力的强度，是描述大尺度宇宙结构的关键。
但是，如果我们用 SI 单位制来表示这些常数，它们的数值就会显得很庞大或者很渺小，而且这些数值的背后，往往隐藏着我们对基本单位的选择。例如，千克的定义经历了多次修改，一开始是水的密度，后来是铂铱合金圆柱体的质量。这些定义，虽然在实践中很有效，但从根本上说，它们是人类“约定”出来的，而不是宇宙“规定”的。
自然单位制的想法，就是能不能摆脱这些“人为”的单位，直接用宇宙本身的基本常数来定义我们度量的“单位”。这样，物理定律的表达式会变得更加简洁，常数会“消失”或变成 1，直接揭示出物理规律的内在结构。
自然单位制的几种类型：
自然单位制有很多种，因为不同的物理学领域，有不同的“核心”常数。以下是一些常见的例子：
1. 普朗克单位制 (Planck Units): 这是最著名的一种自然单位制，由马克斯·普朗克提出。它使用三个基本常数来定义单位：
普朗克长度 (lₚ): $sqrt{frac{hbar G}{c^3}}$
普朗克质量 (mₚ): $sqrt{frac{hbar c}{G}}$
普朗克时间 (tₚ): $frac{hbar}{m_p c^2} = sqrt{frac{hbar G}{c^5}}$
普朗克单位制试图统一量子力学、引力理论和狭义相对论，是量子引力理论研究中的重要工具。在这个单位制下，许多物理定律的表达式会变得非常简洁，甚至出现“常数消失”的现象。例如，在一个描述引力相互作用的方程中，引力常数 G 可能就变成 1 了。这意味着，在普朗克尺度下，引力的强度是由宇宙的基本结构本身决定的，而不是由一个外部引入的常数来描述的。
2. 原子单位制 (Atomic Units): 这种单位制主要用于量子化学和原子物理学，它以一些原子中的基本粒子（如电子）的性质为基础来定义单位：
基本电荷 (e): 电子的电荷量。
电子质量 (mₑ): 电子的静止质量。
玻尔原子半径 (a₀): 氢原子基态的玻尔半径。
约化普朗克常数 (ħ): 量子力学中的基本常数。
Hartree 能量 (Eₕ): 氢原子基态的能量（与玻尔半径和电子质量相关）。
在原子单位制下，描述电子在原子中运动的薛定谔方程会变得异常简洁，许多与电子特性相关的常数都会变成 1。这使得研究原子和分子的行为变得更加直观。例如，描述电子能量的方程，可能就直接写成 $hat{H}psi = Epsi$，这里的能量 E 就是以 Hartree 能量为单位的。
3. 粒子物理单位制 (Particle Physics Units): 在粒子物理学中，人们常常选择使用自然单位制来简化计算，其中一个常见的方式是设定 $hbar = c = 1$。
光速 (c): 设为 1。
约化普朗克常数 (ħ): 设为 1。
在这种单位制下，能量和质量的单位变得可以相互转换（根据爱因斯坦的 $E=mc^2$），动量和能量的量纲相同（因为 $p = E/c$）。这样做的好处是，许多描述基本粒子相互作用的方程，比如量子场论的某些方程，会大大简化。例如，狄拉克方程、克莱因戈尔登方程中的 c 和 ħ 都会消失。
如何理解自然单位制？
理解自然单位制，可以从以下几个层面入手：
本质的揭示： 自然单位制的目标是剥离掉人类对基本单位选择的“人为性”干扰，直接从物理定律中提炼出最本质的、不依赖于人为约定的关系。当一个物理定律在自然单位制下极其简洁时，它就更直接地展示了该物理现象的内在规律。
单位的统一： 不同的自然单位制尝试用不同的基本常数来构建单位体系。这意味着，在这些单位制下，能量、质量、长度、时间等概念之间的关系会更加紧密地联系在一起，甚至可以互相转换。例如，在 $hbar=c=1$ 的单位制下，质量和能量是同一种量纲的，它们之间仅仅通过一个比例常数（即光速的平方，但在这里被设为 1）联系起来。
尺度的重要性： 自然单位制往往与特定的物理尺度紧密相关。例如，普朗克单位制描述的是量子引力效应显著的微观尺度，而原子单位制描述的是原子和分子的尺度。这暗示着，在不同的尺度下，描述物理现象的关键“常数”可能是不同的，或者说，不同尺度的物理现象由不同的基本常数来“锚定”。
思维方式的转变： 使用自然单位制，要求我们改变对物理量的直观理解。我们习惯了米、千克、秒这些日常可感的单位，而自然单位制下的单位可能非常微小（如普朗克长度）或非常巨大（如普朗克质量）。这需要我们从更抽象、更数学化的角度去理解物理定律。
不是取代，而是补充： 需要强调的是，自然单位制并不是为了取代 SI 单位制。SI 单位制仍然是实用和必要的，因为它连接了我们的日常经验和科学实验。自然单位制更像是一种理论研究的工具，一种帮助我们更深入理解物理世界内在规律的哲学思考方式。
举个例子：
设想一下我们如何描述一个苹果从树上掉下来的运动。在 SI 单位制下，我们说苹果的质量是 0.1 千克，高度是 2 米，重力加速度是 9.8 米/秒²。
如果我们将这个问题置于一个非常小的尺度，比如一个电子在原子核附近的运动，用 SI 单位制来表示它的质量、能量、速度，会涉及很多小到极致的数字，以及许多基本常数。
但如果我们选择原子单位制，那么电子的质量就直接是 1 单位质量，它在原子核吸引下的能量也会用一个简单的数字来表示。这时，我们关注的焦点就从具体的“数值”转移到了“电子相对于原子核的运动规律”本身。
总结：
自然单位制是一种以物理学基本常数来定义基本单位的度量系统。它的核心在于追求物理学表达式的简洁性和内在性，通过消除人为约定的单位，直接揭示物理定律的本质结构。不同的自然单位制侧重于不同的物理领域和尺度，例如普朗克单位制关注量子引力，原子单位制关注原子分子物理。理解自然单位制，就是理解物理定律背后更深层的数学结构，以及不同物理概念之间更本质的联系。它是一种强大的理论工具，也是一种帮助我们思考宇宙规律的独特视角。
为什么要有单位制？
我们生活在一个可量化的世界里，从早晨起来喝一杯水的体积，到开车上班的路程，再到思考宇宙的年龄，几乎一切都需要用数字来描述。而数字本身是抽象的，没有一个具体的参照物，我们无法衡量“一”是什么意思。
这就催生了单位制。单位制就是我们约定俗成的标准参照物。比如我们说一杯水有 200 毫升，这里的“毫升”就是单位。它告诉我们，我们测量的体积是水杯里能够容纳多少个“毫升”大小的空间。
我们现在常用的单位制：国际单位制 (SI)
我们最熟悉和广泛使用的就是国际单位制 (SI)。它有七个基本单位：米 (m)、千克 (kg)、秒 (s)、安培 (A)、开尔文 (K)、摩尔 (mol) 和坎德拉 (cd)。其他的单位，比如速度（米/秒）、力（牛顿，kg·m/s²）都是由这七个基本单位组合而成的。
SI 的好处在于它的实用性和历史传承。它是由人类社会在漫长的历史中逐渐发展、标准化而来的。我们 seharihari 的生活、科学研究、工业生产，都离不开它。比如我们测量身高用米，称体重用千克，计时用秒，这些都是与我们的直观感受紧密相连的。
自然单位制的诞生：对“人为”的思考
然而，当我们深入到物理学的最前沿，比如量子力学、相对论或者宇宙学时，我们就会发现，很多基本物理定律的表达式里，都出现了像光速 (c)、普朗克常数 (ħ)、引力常数 (G)、玻尔兹曼常数 (kB) 等等这些基本常数。
这些常数，从物理学的角度来看，它们是宇宙本身的属性，是自然界最基本的“标尺”。比如光速 c，它定义了信息的传递速度上限，是时空结构的关键组成部分；普朗克常数 ħ，它决定了量子世界中能量和动量是否是连续的，是量子力学的基石；引力常数 G，它刻画了引力的强度，是描述大尺度宇宙结构的关键。
但是，如果我们用 SI 单位制来表示这些常数，它们的数值就会显得很庞大或者很渺小，而且这些数值的背后，往往隐藏着我们对基本单位的选择。例如，千克的定义经历了多次修改，一开始是水的密度，后来是铂铱合金圆柱体的质量。这些定义，虽然在实践中很有效，但从根本上说，它们是人类“约定”出来的，而不是宇宙“规定”的。
自然单位制的想法，就是能不能摆脱这些“人为”的单位，直接用宇宙本身的基本常数来定义我们度量的“单位”。这样，物理定律的表达式会变得更加简洁，常数会“消失”或变成 1，直接揭示出物理规律的内在结构。
自然单位制的几种类型：
自然单位制有很多种，因为不同的物理学领域，有不同的“核心”常数。以下是一些常见的例子：
1. 普朗克单位制 (Planck Units): 这是最著名的一种自然单位制，由马克斯·普朗克提出。它使用三个基本常数来定义单位：
普朗克长度 (lₚ): $sqrt{frac{hbar G}{c^3}}$
普朗克质量 (mₚ): $sqrt{frac{hbar c}{G}}$
普朗克时间 (tₚ): $frac{hbar}{m_p c^2} = sqrt{frac{hbar G}{c^5}}$
普朗克单位制试图统一量子力学、引力理论和狭义相对论，是量子引力理论研究中的重要工具。在这个单位制下，许多物理定律的表达式会变得非常简洁，甚至出现“常数消失”的现象。例如，在一个描述引力相互作用的方程中，引力常数 G 可能就变成 1 了。这意味着，在普朗克尺度下，引力的强度是由宇宙的基本结构本身决定的，而不是由一个外部引入的常数来描述的。
2. 原子单位制 (Atomic Units): 这种单位制主要用于量子化学和原子物理学，它以一些原子中的基本粒子（如电子）的性质为基础来定义单位：
基本电荷 (e): 电子的电荷量。
电子质量 (mₑ): 电子的静止质量。
玻尔原子半径 (a₀): 氢原子基态的玻尔半径。
约化普朗克常数 (ħ): 量子力学中的基本常数。
Hartree 能量 (Eₕ): 氢原子基态的能量（与玻尔半径和电子质量相关）。
在原子单位制下，描述电子在原子中运动的薛定谔方程会变得异常简洁，许多与电子特性相关的常数都会变成 1。这使得研究原子和分子的行为变得更加直观。例如，描述电子能量的方程，可能就直接写成 $hat{H}psi = Epsi$，这里的能量 E 就是以 Hartree 能量为单位的。
3. 粒子物理单位制 (Particle Physics Units): 在粒子物理学中，人们常常选择使用自然单位制来简化计算，其中一个常见的方式是设定 $hbar = c = 1$。
光速 (c): 设为 1。
约化普朗克常数 (ħ): 设为 1。
在这种单位制下，能量和质量的单位变得可以相互转换（根据爱因斯坦的 $E=mc^2$），动量和能量的量纲相同（因为 $p = E/c$）。这样做的好处是，许多描述基本粒子相互作用的方程，比如量子场论的某些方程，会大大简化。例如，狄拉克方程、克莱因戈尔登方程中的 c 和 ħ 都会消失。
如何理解自然单位制？
理解自然单位制，可以从以下几个层面入手：
本质的揭示： 自然单位制的目标是剥离掉人类对基本单位选择的“人为性”干扰，直接从物理定律中提炼出最本质的、不依赖于人为约定的关系。当一个物理定律在自然单位制下极其简洁时，它就更直接地展示了该物理现象的内在规律。
单位的统一： 不同的自然单位制尝试用不同的基本常数来构建单位体系。这意味着，在这些单位制下，能量、质量、长度、时间等概念之间的关系会更加紧密地联系在一起，甚至可以互相转换。例如，在 $hbar=c=1$ 的单位制下，质量和能量是同一种量纲的，它们之间仅仅通过一个比例常数（即光速的平方，但在这里被设为 1）联系起来。
尺度的重要性： 自然单位制往往与特定的物理尺度紧密相关。例如，普朗克单位制描述的是量子引力效应显著的微观尺度，而原子单位制描述的是原子和分子的尺度。这暗示着，在不同的尺度下，描述物理现象的关键“常数”可能是不同的，或者说，不同尺度的物理现象由不同的基本常数来“锚定”。
思维方式的转变： 使用自然单位制，要求我们改变对物理量的直观理解。我们习惯了米、千克、秒这些日常可感的单位，而自然单位制下的单位可能非常微小（如普朗克长度）或非常巨大（如普朗克质量）。这需要我们从更抽象、更数学化的角度去理解物理定律。
不是取代，而是补充： 需要强调的是，自然单位制并不是为了取代 SI 单位制。SI 单位制仍然是实用和必要的，因为它连接了我们的日常经验和科学实验。自然单位制更像是一种理论研究的工具，一种帮助我们更深入理解物理世界内在规律的哲学思考方式。
举个例子：
设想一下我们如何描述一个苹果从树上掉下来的运动。在 SI 单位制下，我们说苹果的质量是 0.1 千克，高度是 2 米，重力加速度是 9.8 米/秒²。
如果我们将这个问题置于一个非常小的尺度，比如一个电子在原子核附近的运动，用 SI 单位制来表示它的质量、能量、速度，会涉及很多小到极致的数字，以及许多基本常数。
但如果我们选择原子单位制，那么电子的质量就直接是 1 单位质量，它在原子核吸引下的能量也会用一个简单的数字来表示。这时，我们关注的焦点就从具体的“数值”转移到了“电子相对于原子核的运动规律”本身。
总结：
自然单位制是一种以物理学基本常数来定义基本单位的度量系统。它的核心在于追求物理学表达式的简洁性和内在性，通过消除人为约定的单位，直接揭示物理定律的本质结构。不同的自然单位制侧重于不同的物理领域和尺度，例如普朗克单位制关注量子引力，原子单位制关注原子分子物理。理解自然单位制，就是理解物理定律背后更深层的数学结构，以及不同物理概念之间更本质的联系。它是一种强大的理论工具，也是一种帮助我们思考宇宙规律的独特视角。
网友意见
我知道你们想看什么, 让我们来谈谈自然单位制吧
虽然懂的人早已习以为常, 但自然单位制在我心中一直是能与重复指标求和约定相媲美的一大创举.
二者的相似之处不仅在于它们都巧妙地钻了系统的空子来极大程度上地简化了版面,
更在于它们都让初学者感到了一定程度的畏惧与不适.
就最近我一朋友找我讨论某个问题时, 我让他把疑惑的地方写出来,
他上手就来了一个:
I was like··· Hey hold on mate, 把这些 c 删掉.
他说:『留着吧, 先留着罢. 』
留乎哉? 不留也!
为啥不敢删? 因为他不放心,
就如同很多初学者一样, 他并没有尝试去了解这个系统, 而是觉得即使不这么做也没啥.
这是不是很像到今天还在用 Win XP 死活不升级总觉得凑合着能用就先用着的那种心态?
爱因斯坦怎么说的?
If you don't believe that it's a great discovery in mathematics,
just try getting along without it.
他们在担心什么?
其实很多人的担忧或许都源于下面这段心路历程:
众所周知粒子物理中的自然单位制就是强制设定了光速与约化普朗克常量为 .
光速是 , 你现在设定它为 , 这, 这真的没问题吗?
这真的不会导致什么 bug 吗? 都这样了还怎么与国际单位制等价呢?
这背后难道有什么令人望而生畏的深刻数学?
其中的 似乎是一个不可逾越的心理障碍,
这绝对是一个错误的等式, 那么在这个新的单位制里该如何规避这种荒唐的结论呢?
然后他可能上网查了一下结果找到一堆量纲分析的文章, 看了几眼心想
『算了罢, 不用也没啥. 』
然而事实上, 自然单位制中设定的是 而不是 .
其实这个做法既简单又天才
问: 在国际单位制中, 一秒是多少米?
很无厘头对吧? 一秒怎么会等于多少米? 但这其实正是国际单位制中的一个可以利用的自由度.
如果我们强行人为设定 会怎样呢?
光速 .
这就是设定光速为 的过程.
那么请问这与以前的系统有任何矛盾吗? 没有, 因为我们以前根本不会讨论一秒是多少米.
这个做法还会导致粒子的速度变成无量纲量且取值将介于 与 之间, 因为不能超光速嘛.
而设定 其实是完全一样的道理.
这么搞一搞, 小盆友们最看不顺眼的 之类的东西就来了.
质量等于多少电子伏特是吧? 怎么会这样?
因为 , 所以质量能量单位就都成能量单位了.
如果说自然单位制不会损失信息, 而是与国际单位制等价, 那我们怎么变回去呢?
简单呀, 这无非就是在问 嘛.
那我就民工流, 一步一步, 推出来给你看看:
考虑到 与 可得:
.
那么 是多少呢?
回到我们联系能量与质量的方程 ,
对比两边的单位可知国际单位中有 , 现在代入设定
可得 .
于是乎 .
那现在就代入 .
得到 .
然后你上网一查, 电子的质量确实就是 .
其实反过来推也很简单嘛:
.
然后 那边也差不多就是一个道理, 大同小异的.
没有任何矛盾吧? 不需要有任何顾虑吧? 只要正常运算就不会出任何差错对吧?
就 事 啊
其实你看完上面那些, 想通了就没啥了, 以后就大大方方地删掉所有的 与 就事了.
你看这下我们的物理世界可就变得太 nm 舒服了:
说真的谁还去记那些 和 的位置啊?
Extra:
这里看不看随便你吧, 反正你已经知道这个做法是精确自洽无矛盾的了.
我们无非就是强行规定了一些很无厘头的单位转换, 仅此而已.
所以呢, 所以本来就没有单位的量是永远不会受影响的.
说的就是你, 精细结构常数 .
而我们前面已经设定了 于是就有 .
上面这个式子说明了啥? 说明我们还有一个空子可以钻, 哈哈.
就是说在保证 的前提下, 我们还可以设定 .
这样就会导致 变成一个无单位量.
同时还会有 .
所有这些强行规定加在一起就叫 Heaviside-Lorentz 单位制[1], 也就是我们粒子人的坠爱.
这么搞一搞, 麦克斯韦方程组便乘什么了呢?
答曰
谁还去记那些 和 的位置啊?
总之呢, 学到的新东西要积极地用起来, 所有人都这么搞自然是有它的道理的.
附赠一个呃, 我偶尔也会忘的东西:
参考
- ^ 除此之外还有很多不同的约定产生了很多不同的单位制, 大同小异, 这里就不一一介绍了.
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