两个独立事件都发生的概率为什么等于两个事件发生概率的乘积？
“为什么两个独立事件同时发生的概率，等于它们各自发生概率的乘积？” 这是一个非常有意思的问题，涉及到概率论最核心的概念之一。要理解这一点，我们需要从“独立”这个词本身入手，然后一步步地剥开概率计算的内在逻辑。
首先，咱们得明确一下，啥叫“独立事件”。简单来说，就是 一个事件的发生，对另一个事件是否会发生，以及发生的可能性大小，完全没有影响。 它们就像两条平行线，各自走自己的路，互不干扰。
举个例子。咱们抛一枚硬币，再掷一个骰子。
事件A：硬币正面朝上。
事件B：骰子点数是6。
这两件事就是独立的。你无论怎么抛硬币，是正面还是反面，都不会改变你掷骰子时出现6点的几率。反过来也一样，无论你掷出什么点数，也不会影响下一次抛硬币的结果。
好，那我们来算算它们的概率。
抛硬币，正面朝上的概率，我们知道是 1/2。 P(A) = 1/2。
掷骰子，点数是6的概率，也是 1/6。 P(B) = 1/6。
那么，硬币正面朝上，并且骰子点数是6 这两个事件同时发生的概率是多少呢？
答案是： (1/2) (1/6) = 1/12。
这好像是个显而易见的事实，但为什么是乘积呢？咱们得从更根本的角度去理解。
想象一下，我们把所有可能的结果都列出来。
抛硬币有“正”（H）和“反”（T）两种结果。
掷骰子有1、2、3、4、5、6 这六种结果。
因为这两个事件是独立的，所以我们可以把它们的所有可能组合都一一列举出来。这就像是在一个表格里填写所有可能的配对：
| 硬币 | 骰子 |
| : | : |
| 正 (H) | 1 |
| 正 (H) | 2 |
| 正 (H) | 3 |
| 正 (H) | 4 |
| 正 (H) | 5 |
| 正 (H) | 6 |
| 反 (T) | 1 |
| 反 (T) | 2 |
| 反 (T) | 3 |
| 反 (T) | 4 |
| 反 (T) | 5 |
| 反 (T) | 6 |
你看，总共有 2 6 = 12 种可能的结果。而且，因为每次抛硬币和掷骰子本身的结果都是等可能的（假设是公平的），所以这12种结果每一种发生的概率都是相等的。
那么，我们感兴趣的“硬币正面朝上，并且骰子点数是6”这个事件，在上面这个列表里只出现了一次，就是那个加粗了的“正 (H) 6”。
因为总共有12种等可能的结果，而我们关注的结果只有1种，所以这个特定组合发生的概率就是 1/12。
这里就体现了乘积的道理：
P(A) = 1/2 告诉我们，在所有可能的结果中，有 一半 是硬币正面朝上。
P(B) = 1/6 告诉我们，在所有可能的结果中，有 六分之一 是骰子点数是6。
当这两个事件“同时发生”时，我们实际上是在问：在所有这些“硬币正面朝上”的这些结果里，又有多少比例是“骰子点数是6”？
因为事件B（骰子点数是6）的发生，不受事件A（硬币正面朝上）的影响，所以，在这1/2的“硬币正面朝上”的情况中，仍然有1/6的比例是同时满足“骰子点数是6”的。
换句话说，我们是在缩小我们观察的范围。
1. 首先，我们关注所有可能结果的1/2（硬币是正面）。
2. 然后，在这一半的里面，我们再关注其中的1/6（骰子是6）。
这就像是你在一个大饼（所有可能结果）里，先切掉了3/4，只留下1/4（硬币是正面）。然后再在这剩下的1/4里，再切掉5/6，只留下1/6（骰子是6）。你最终剩下的那一小块，就是 (1/4) (1/6) 这么大。
从“集合”的角度来看，可以这样理解：
所有可能结果的集合 S。
事件A（硬币正面）是 S 的一个子集 A。P(A) = |A| / |S|。
事件B（骰子是6）是 S 的一个子集 B。P(B) = |B| / |S|。
对于独立事件，事件“A并且B”（A ∩ B）发生的概率， P(A ∩ B)，就是同时满足A和B的那些结果占总结果的比例。
因为A和B是独立的，它们对总结果集合S的“覆盖”是独立的。你可以想象成，在S这个大区域里，A占了 P(A) 的比例，而B占了 P(B) 的比例。这两个比例的“相交”部分，自然就是 P(A) 乘以 P(B)。
更形象一点的比喻：
想象你有一个大房间，里面站着100个人。
事件A：这个人戴眼镜。假设有50%的人戴眼镜。P(A) = 0.5。
事件B：这个人穿蓝色衣服。假设有20%的人穿蓝色衣服。P(B) = 0.2。
现在，如果“戴眼镜”和“穿蓝色衣服”是独立的（也就是一个人戴不戴眼镜，跟ta穿不穿蓝色衣服没有任何关系），那么：
“戴眼镜”的人有多少？ 100 0.5 = 50人。
“穿蓝色衣服”的人有多少？ 100 0.2 = 20人。
我们要问的是，“又戴眼镜，又穿蓝色衣服”的人有多少？
因为是独立的，所以这50个戴眼镜的人里面，依然有20%的人会穿蓝色衣服。
所以，同时满足这两个条件的人数就是：50 0.2 = 10人。
用概率来表示就是： 0.5 0.2 = 0.1，也就是10%的人。
这个 10% (0.1) 正是 P(A) P(B)。
总结一下，之所以是乘积，根本原因在于“独立性”：
1. 独立性意味着信息互不影响： 一个事件发生与否，不会提供关于另一个事件的任何新信息。
2. 概率是“可能性”的度量： 当我们计算两个独立事件同时发生的概率时，我们是在计算“事件A发生”的那个可能性（P(A)）“里面”有多少比例也满足“事件B发生”（P(B)）。
3. “一部分的比例”就意味着乘法： 就像我们说“100块钱的20%是20块”，这同样是在说“100块钱 0.2 = 20块”。
所以，当两个事件是独立的，它们同时发生的概率，就是将它们各自发生的可能性（概率）“嵌套”计算，也就是将它们的概率值相乘。这是一种对“独立且同时发生”这一情况进行精确度量的方式。
这个乘法规则，是概率论中很多更复杂公式的基础，也是我们理解随机世界运作方式的关键一步。
首先，咱们得明确一下，啥叫“独立事件”。简单来说，就是 一个事件的发生，对另一个事件是否会发生，以及发生的可能性大小，完全没有影响。 它们就像两条平行线，各自走自己的路，互不干扰。
举个例子。咱们抛一枚硬币，再掷一个骰子。
事件A：硬币正面朝上。
事件B：骰子点数是6。
这两件事就是独立的。你无论怎么抛硬币，是正面还是反面，都不会改变你掷骰子时出现6点的几率。反过来也一样，无论你掷出什么点数，也不会影响下一次抛硬币的结果。
好，那我们来算算它们的概率。
抛硬币，正面朝上的概率，我们知道是 1/2。 P(A) = 1/2。
掷骰子，点数是6的概率，也是 1/6。 P(B) = 1/6。
那么，硬币正面朝上，并且骰子点数是6 这两个事件同时发生的概率是多少呢？
答案是： (1/2) (1/6) = 1/12。
这好像是个显而易见的事实，但为什么是乘积呢？咱们得从更根本的角度去理解。
想象一下，我们把所有可能的结果都列出来。
抛硬币有“正”（H）和“反”（T）两种结果。
掷骰子有1、2、3、4、5、6 这六种结果。
因为这两个事件是独立的，所以我们可以把它们的所有可能组合都一一列举出来。这就像是在一个表格里填写所有可能的配对：
| 硬币 | 骰子 |
| : | : |
| 正 (H) | 1 |
| 正 (H) | 2 |
| 正 (H) | 3 |
| 正 (H) | 4 |
| 正 (H) | 5 |
| 正 (H) | 6 |
| 反 (T) | 1 |
| 反 (T) | 2 |
| 反 (T) | 3 |
| 反 (T) | 4 |
| 反 (T) | 5 |
| 反 (T) | 6 |
你看，总共有 2 6 = 12 种可能的结果。而且，因为每次抛硬币和掷骰子本身的结果都是等可能的（假设是公平的），所以这12种结果每一种发生的概率都是相等的。
那么，我们感兴趣的“硬币正面朝上，并且骰子点数是6”这个事件，在上面这个列表里只出现了一次，就是那个加粗了的“正 (H) 6”。
因为总共有12种等可能的结果，而我们关注的结果只有1种，所以这个特定组合发生的概率就是 1/12。
这里就体现了乘积的道理：
P(A) = 1/2 告诉我们，在所有可能的结果中，有 一半 是硬币正面朝上。
P(B) = 1/6 告诉我们，在所有可能的结果中，有 六分之一 是骰子点数是6。
当这两个事件“同时发生”时，我们实际上是在问：在所有这些“硬币正面朝上”的这些结果里，又有多少比例是“骰子点数是6”？
因为事件B（骰子点数是6）的发生，不受事件A（硬币正面朝上）的影响，所以，在这1/2的“硬币正面朝上”的情况中，仍然有1/6的比例是同时满足“骰子点数是6”的。
换句话说，我们是在缩小我们观察的范围。
1. 首先，我们关注所有可能结果的1/2（硬币是正面）。
2. 然后，在这一半的里面，我们再关注其中的1/6（骰子是6）。
这就像是你在一个大饼（所有可能结果）里，先切掉了3/4，只留下1/4（硬币是正面）。然后再在这剩下的1/4里，再切掉5/6，只留下1/6（骰子是6）。你最终剩下的那一小块，就是 (1/4) (1/6) 这么大。
从“集合”的角度来看，可以这样理解：
所有可能结果的集合 S。
事件A（硬币正面）是 S 的一个子集 A。P(A) = |A| / |S|。
事件B（骰子是6）是 S 的一个子集 B。P(B) = |B| / |S|。
对于独立事件，事件“A并且B”（A ∩ B）发生的概率， P(A ∩ B)，就是同时满足A和B的那些结果占总结果的比例。
因为A和B是独立的，它们对总结果集合S的“覆盖”是独立的。你可以想象成，在S这个大区域里，A占了 P(A) 的比例，而B占了 P(B) 的比例。这两个比例的“相交”部分，自然就是 P(A) 乘以 P(B)。
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现在，如果“戴眼镜”和“穿蓝色衣服”是独立的（也就是一个人戴不戴眼镜，跟ta穿不穿蓝色衣服没有任何关系），那么：
“戴眼镜”的人有多少？ 100 0.5 = 50人。
“穿蓝色衣服”的人有多少？ 100 0.2 = 20人。
我们要问的是，“又戴眼镜，又穿蓝色衣服”的人有多少？
因为是独立的，所以这50个戴眼镜的人里面，依然有20%的人会穿蓝色衣服。
所以，同时满足这两个条件的人数就是：50 0.2 = 10人。
用概率来表示就是： 0.5 0.2 = 0.1，也就是10%的人。
这个 10% (0.1) 正是 P(A) P(B)。
总结一下，之所以是乘积，根本原因在于“独立性”：
1. 独立性意味着信息互不影响： 一个事件发生与否，不会提供关于另一个事件的任何新信息。
2. 概率是“可能性”的度量： 当我们计算两个独立事件同时发生的概率时，我们是在计算“事件A发生”的那个可能性（P(A)）“里面”有多少比例也满足“事件B发生”（P(B)）。
3. “一部分的比例”就意味着乘法： 就像我们说“100块钱的20%是20块”，这同样是在说“100块钱 0.2 = 20块”。
所以，当两个事件是独立的，它们同时发生的概率，就是将它们各自发生的可能性（概率）“嵌套”计算，也就是将它们的概率值相乘。这是一种对“独立且同时发生”这一情况进行精确度量的方式。
这个乘法规则，是概率论中很多更复杂公式的基础，也是我们理解随机世界运作方式的关键一步。
网友意见
亲，这是定义啊。
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