概率论两个事件独立的定义是P（AB）=P(A)P(B)，可以理解是A B两个事件互相不影响吗？
概率论里，说到两个事件“独立”，最常见的定义就是：P(A ∩ B) = P(A) P(B)。
这公式看着挺简洁的，但它背后代表的意思可不简单，可以说是概率论里一个非常核心的概念。我们来一点点把它嚼碎了说清楚。
P(A ∩ B) 这是什么意思？
这里的“∩”符号，代表的是“与”、“并且”、“同时发生”的意思。所以 P(A ∩ B) 就是事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
P(A) P(B) 这是什么意思？
P(A) 就是事件 A 发生的概率，P(B) 就是事件 B 发生的概率。把它们俩乘起来，就是把 A 发生的可能性和 B 发生的可能性“叠在一起”算。
那么，P(A ∩ B) = P(A) P(B) 这个等式，到底是在说什么呢？
我们可以从“互相不影响”这个角度去理解，但这层理解需要更深入一点。
独立性的核心：一个事件的发生与否，对另一个事件发生的概率没有改变。
我们换个角度来看。如果 A 和 B 是独立的，那么：
知道了 A 发生了，对 B 发生的概率有什么影响？
我们知道 P(B|A) 是指“在事件 A 已经发生的情况下，事件 B 发生的概率”。如果 A 和 B 独立，那么 A 的发生就像是“背景信息”，它并没有改变我们对 B 的原有的判断，所以 P(B|A) 就应该等于 P(B)。
现在我们再回头看那个公式：P(A ∩ B) = P(A) P(B)。
根据条件概率的定义，我们知道 P(A ∩ B) = P(B|A) P(A)。
把 P(A ∩ B) = P(A) P(B) 代入进去，就会得到：
P(A) P(B) = P(B|A) P(A)
如果我们假设 P(A) 不等于 0（否则 A 根本不会发生，谈独立性也没意义了），那么我们就可以两边同时除以 P(A)，得到：
P(B) = P(B|A)
这个结果就很直观了：事件 A 的发生，并没有改变事件 B 发生的概率。 这就是最直接的“互相不影响”。
反过来也一样：知道了 B 发生了，对 A 发生的概率有什么影响？
同理，P(A|B) 是指“在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率”。如果 A 和 B 独立，那么 P(A|B) 也应该等于 P(A)。
从公式 P(A ∩ B) = P(A) P(B) 出发，我们知道 P(A ∩ B) = P(A|B) P(B)。
同样地，代入后得出 P(A) P(B) = P(A|B) P(B)。
如果 P(B) 不等于 0，就能得出：
P(A) = P(A|B)
也就是说，事件 B 的发生，也没有改变事件 A 发生的概率。
所以，“互相不影响”在这里不是一句模糊的说法，而是有明确的数学含义：一个事件的发生，不会改变另一个事件的发生概率。
举个例子来加深理解：
假设我们有两个独立的随机过程：
1. 抛一枚均匀的硬币。
事件 A：第一次抛出正面朝上。 P(A) = 1/2。
事件 B：第二次抛出正面朝上。 P(B) = 1/2。
这两次抛硬币的结果是互相独立的。无论第一次是正面还是反面，第二次抛出正面的概率始终是 1/2。
那么，A 和 B 同时发生的概率是多少？也就是两次都抛出正面。
P(A ∩ B) = P(第一次正面且第二次正面) = (1/2) (1/2) = 1/4。
这符合公式 P(A ∩ B) = P(A) P(B)。
2. 从一副标准的扑克牌（去掉大小王，共 52 张）中有放回地抽取两张牌。
事件 A：第一次抽取到红桃。 P(A) = 13/52 = 1/4。
事件 B：第二次抽取到红桃。 P(B) = 13/52 = 1/4。
因为是“有放回”抽取，所以第一次抽到什么，对第二次抽到什么没有影响。
第一次抽到红桃（A 发生）的概率是 1/4。第二次抽到红桃（B 发生）的概率也是 1/4。
两次都抽到红桃的概率 P(A ∩ B) = (1/4) (1/4) = 1/16。
同样符合 P(A ∩ B) = P(A) P(B)。
什么情况不是独立的？
再举个不是独立的例子：
1. 从一副标准的扑克牌（去掉大小王，共 52 张）中不放回地抽取两张牌。
事件 A：第一次抽取到红桃。 P(A) = 13/52 = 1/4。
事件 B：第二次抽取到红桃。
现在考虑事件 B。
如果 A 发生了（第一次抽到了红桃），那么剩下的牌里红桃就只剩下 12 张了，总共 51 张。所以此时 B 发生的概率 P(B|A) = 12/51。
如果 A 没发生（第一次没抽到红桃），那么剩下的牌里红桃还有 13 张，总共 51 张。所以此时 B 发生的概率 P(B|A') = 13/51。
很明显，P(B|A) = 12/51 和 P(B|A') = 13/51，都不等于我们没有额外信息时计算的 P(B)。那么 P(B) 到底是多少呢？
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')
P(B) = (12/51) (1/4) + (13/51) (3/4)
P(B) = (12 + 39) / (51 4) = 51 / (51 4) = 1/4。
（这里你会发现 P(B) 仍然是 1/4，这好像有点反直觉，但实际上这是因为我们考虑的是第二次抽牌，在不知道第一次抽了什么的情况下，它仍然是 1/4。但关键在于 P(B|A) 不等于 P(B)）
因为 P(B|A) = 12/51 ≠ 1/4 = P(B)，所以事件 A 和事件 B 不是独立的。第一次抽到红桃，确实“影响”了第二次抽到红桃的概率。
那 P(A ∩ B) 是多少呢？P(A ∩ B) = P(B|A) P(A) = (12/51) (1/4) = 3/51 = 1/17。
而 P(A) P(B) = (1/4) (1/4) = 1/16。
显然 1/17 ≠ 1/16，所以 P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B)，进一步证明了它们不是独立的。
总结一下：
“两个事件独立”的定义 P(A ∩ B) = P(A) P(B)，最核心的理解就是：一个事件的发生（或不发生），不会改变另一个事件发生的概率。 换句话说，它们的信息是“分开”的，你知道了一个事件的结果，并不能帮助你更准确地预测另一个事件的结果（相对于你本来就知道的那个事件的概率而言）。
这个定义非常强大，因为它把“同时发生的概率”和“各自发生的概率”联系起来，提供了一种计算复杂联合事件概率的简便方法，前提是你能确认这些事件是相互独立的。在实际应用中，判断事件是否独立是至关重要的一步。
这公式看着挺简洁的，但它背后代表的意思可不简单，可以说是概率论里一个非常核心的概念。我们来一点点把它嚼碎了说清楚。
P(A ∩ B) 这是什么意思？
这里的“∩”符号，代表的是“与”、“并且”、“同时发生”的意思。所以 P(A ∩ B) 就是事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
P(A) P(B) 这是什么意思？
P(A) 就是事件 A 发生的概率，P(B) 就是事件 B 发生的概率。把它们俩乘起来，就是把 A 发生的可能性和 B 发生的可能性“叠在一起”算。
那么，P(A ∩ B) = P(A) P(B) 这个等式，到底是在说什么呢？
我们可以从“互相不影响”这个角度去理解，但这层理解需要更深入一点。
独立性的核心：一个事件的发生与否，对另一个事件发生的概率没有改变。
我们换个角度来看。如果 A 和 B 是独立的，那么：
知道了 A 发生了，对 B 发生的概率有什么影响？
我们知道 P(B|A) 是指“在事件 A 已经发生的情况下，事件 B 发生的概率”。如果 A 和 B 独立，那么 A 的发生就像是“背景信息”，它并没有改变我们对 B 的原有的判断，所以 P(B|A) 就应该等于 P(B)。
现在我们再回头看那个公式：P(A ∩ B) = P(A) P(B)。
根据条件概率的定义，我们知道 P(A ∩ B) = P(B|A) P(A)。
把 P(A ∩ B) = P(A) P(B) 代入进去，就会得到：
P(A) P(B) = P(B|A) P(A)
如果我们假设 P(A) 不等于 0（否则 A 根本不会发生，谈独立性也没意义了），那么我们就可以两边同时除以 P(A)，得到：
P(B) = P(B|A)
这个结果就很直观了：事件 A 的发生，并没有改变事件 B 发生的概率。 这就是最直接的“互相不影响”。
反过来也一样：知道了 B 发生了，对 A 发生的概率有什么影响？
同理，P(A|B) 是指“在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率”。如果 A 和 B 独立，那么 P(A|B) 也应该等于 P(A)。
从公式 P(A ∩ B) = P(A) P(B) 出发，我们知道 P(A ∩ B) = P(A|B) P(B)。
同样地，代入后得出 P(A) P(B) = P(A|B) P(B)。
如果 P(B) 不等于 0，就能得出：
P(A) = P(A|B)
也就是说，事件 B 的发生，也没有改变事件 A 发生的概率。
所以，“互相不影响”在这里不是一句模糊的说法，而是有明确的数学含义：一个事件的发生，不会改变另一个事件的发生概率。
举个例子来加深理解：
假设我们有两个独立的随机过程：
1. 抛一枚均匀的硬币。
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事件 B：第二次抛出正面朝上。 P(B) = 1/2。
这两次抛硬币的结果是互相独立的。无论第一次是正面还是反面，第二次抛出正面的概率始终是 1/2。
那么，A 和 B 同时发生的概率是多少？也就是两次都抛出正面。
P(A ∩ B) = P(第一次正面且第二次正面) = (1/2) (1/2) = 1/4。
这符合公式 P(A ∩ B) = P(A) P(B)。
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事件 B：第二次抽取到红桃。 P(B) = 13/52 = 1/4。
因为是“有放回”抽取，所以第一次抽到什么，对第二次抽到什么没有影响。
第一次抽到红桃（A 发生）的概率是 1/4。第二次抽到红桃（B 发生）的概率也是 1/4。
两次都抽到红桃的概率 P(A ∩ B) = (1/4) (1/4) = 1/16。
同样符合 P(A ∩ B) = P(A) P(B)。
什么情况不是独立的？
再举个不是独立的例子：
1. 从一副标准的扑克牌（去掉大小王，共 52 张）中不放回地抽取两张牌。
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现在考虑事件 B。
如果 A 发生了（第一次抽到了红桃），那么剩下的牌里红桃就只剩下 12 张了，总共 51 张。所以此时 B 发生的概率 P(B|A) = 12/51。
如果 A 没发生（第一次没抽到红桃），那么剩下的牌里红桃还有 13 张，总共 51 张。所以此时 B 发生的概率 P(B|A') = 13/51。
很明显，P(B|A) = 12/51 和 P(B|A') = 13/51，都不等于我们没有额外信息时计算的 P(B)。那么 P(B) 到底是多少呢？
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')
P(B) = (12/51) (1/4) + (13/51) (3/4)
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（这里你会发现 P(B) 仍然是 1/4，这好像有点反直觉，但实际上这是因为我们考虑的是第二次抽牌，在不知道第一次抽了什么的情况下，它仍然是 1/4。但关键在于 P(B|A) 不等于 P(B)）
因为 P(B|A) = 12/51 ≠ 1/4 = P(B)，所以事件 A 和事件 B 不是独立的。第一次抽到红桃，确实“影响”了第二次抽到红桃的概率。
那 P(A ∩ B) 是多少呢？P(A ∩ B) = P(B|A) P(A) = (12/51) (1/4) = 3/51 = 1/17。
而 P(A) P(B) = (1/4) (1/4) = 1/16。
显然 1/17 ≠ 1/16，所以 P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B)，进一步证明了它们不是独立的。
总结一下：
“两个事件独立”的定义 P(A ∩ B) = P(A) P(B)，最核心的理解就是：一个事件的发生（或不发生），不会改变另一个事件发生的概率。 换句话说，它们的信息是“分开”的，你知道了一个事件的结果，并不能帮助你更准确地预测另一个事件的结果（相对于你本来就知道的那个事件的概率而言）。
这个定义非常强大，因为它把“同时发生的概率”和“各自发生的概率”联系起来，提供了一种计算复杂联合事件概率的简便方法，前提是你能确认这些事件是相互独立的。在实际应用中，判断事件是否独立是至关重要的一步。
网友意见
互相不影响这个词在数学中是无法良好定义的。
虽然许多时候在生活中确实如此，但也就是一个直观的理解而已，不能什么时候都拿来用。因为有时候直觉甚至不能提供任何意见，连错误的意见也提供不了。我们对此没有直觉，只能用数据说话。
我举一个例子，是我的概率论书上的一个例题。
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