甲乙两人下围棋，甲胜的概率为a，乙胜的概率为b，a+b=1，比对方多赢两局者获胜，求甲赢的概率?
这可不是一道普通的围棋比赛概率题，咱们得好好掰扯掰扯。甲乙两人下棋，甲赢的概率是 $a$，乙赢的概率是 $b$，而且 $a+b=1$，这说明这盘棋没有平局，总有一个人会赢。比赛规则挺有意思，谁比对方多赢两局谁就彻底赢了。咱得算算，在这种规则下，甲最终能赢的概率是多少。
这题目有点绕，不能简单地说甲赢的概率就是 $a$。因为比赛不是下一盘就结束的，有可能一直下下去，直到一方比另一方多赢两局为止。这就好比一场定期的系列赛，但什么时候结束，得看谁先达到这个“多赢两局”的目标。
咱们可以把这个过程看成是一个不断进行的过程，每次下棋，甲要么赢（概率 $a$），要么输（概率 $b$）。我们可以关注甲相对于乙的净胜局数（也就是甲赢的局数减去乙赢的局数）。
比赛开始时，净胜局数是 0。
如果甲赢了第一局，净胜局数变成 1。
如果乙赢了第一局，净胜局数变成 1。
比赛的目标是，让净胜局数达到 2 或者 2。只要净胜局数达到了 2，甲就赢了。只要净胜局数达到了 2，乙就赢了。
咱们可以试着用状态来表示当前的局面。我们可以定义一个状态，就是“甲相对于乙的净胜局数”。
状态 0：甲和乙打平（净胜局数是 0）。
状态 1：甲比乙多赢一局（净胜局数是 1）。
状态 1：乙比甲多赢一局（净胜局数是 1）。
状态 2：甲比乙多赢两局，甲获胜！
状态 2：乙比甲多赢两局，乙获胜！
咱们设 $P(k)$ 是在甲相对于乙净胜局数为 $k$ 的情况下，甲最终获胜的概率。我们的目标就是求 $P(0)$。
看看这些状态之间的转移：
1. 从状态 0 开始（双方打平）：
甲赢一局（概率 $a$），净胜局数变为 1。此时甲获胜的概率是 $P(1)$。
乙赢一局（概率 $b$），净胜局数变为 1。此时甲获胜的概率是 $P(1)$。
所以，$P(0) = a cdot P(1) + b cdot P(1)$。
2. 从状态 1 开始（甲比乙多赢一局）：
甲再赢一局（概率 $a$），净胜局数变为 2。甲赢了！这时甲获胜的概率是 1。
乙赢一局（概率 $b$），净胜局数变为 0（因为甲之前领先1，乙赢1就抵消了）。此时甲获胜的概率是 $P(0)$。
所以，$P(1) = a cdot 1 + b cdot P(0)$。
3. 从状态 1 开始（乙比甲多赢一局）：
甲赢一局（概率 $a$），净胜局数变为 0（因为乙之前领先1，甲赢1就抵消了）。此时甲获胜的概率是 $P(0)$。
乙再赢一局（概率 $b$），净胜局数变为 2。乙赢了！此时甲获胜的概率是 0。
所以，$P(1) = a cdot P(0) + b cdot 0 = a cdot P(0)$。
现在我们有了一个方程组：
(1) $P(0) = a cdot P(1) + b cdot P(1)$
(2) $P(1) = a + b cdot P(0)$
(3) $P(1) = a cdot P(0)$
咱们来解这个方程组。把 (2) 和 (3) 代入 (1)：
$P(0) = a cdot (a + b cdot P(0)) + b cdot (a cdot P(0))$
展开一下：
$P(0) = a^2 + ab cdot P(0) + ab cdot P(0)$
$P(0) = a^2 + 2ab cdot P(0)$
把带 $P(0)$ 的项移到一边：
$P(0) 2ab cdot P(0) = a^2$
$P(0) (1 2ab) = a^2$
所以，甲赢的概率就是：
$P(0) = frac{a^2}{1 2ab}$
别忘了 $a+b=1$，我们可以把 $b$ 用 $a$ 来表示：$b = 1a$。
代入 $b=1a$ 看看分母：
$1 2ab = 1 2a(1a) = 1 2a + 2a^2$
所以，甲赢的概率是 $frac{a^2}{1 2a + 2a^2}$。
咱们来举个例子验证一下。
比如，如果甲和乙实力相当，那么 $a = 0.5$，$b = 0.5$。
那么 $1 2ab = 1 2(0.5)(0.5) = 1 0.5 = 0.5$。
甲赢的概率就是 $frac{(0.5)^2}{0.5} = frac{0.25}{0.5} = 0.5$。
这很合理，如果两人实力相当，规则又对称，那甲赢的概率就应该是 50%。
再比如，甲很强，$a=0.8$，$b=0.2$。
$1 2ab = 1 2(0.8)(0.2) = 1 0.32 = 0.68$。
甲赢的概率就是 $frac{(0.8)^2}{0.68} = frac{0.64}{0.68} = frac{64}{68} = frac{16}{17}$。
这也很直观，甲赢的概率远大于 0.8，因为即使有几次失误，只要能领先，就有可能通过后面的比赛积累优势最终获胜。
我们还可以换个角度来理解这个问题。
你可以想象成一个“随机游走”的问题。甲相对于乙的净胜局数，就像一个小球在数轴上移动。每次甲赢，小球向右移动一步（+1）；每次乙赢，小球向左移动一步（1）。比赛目标是小球第一次到达 +2 或者 2。
我们关注的是从 0 出发，第一次到达 +2 的概率。
我们设 $p_k$ 是从位置 $k$ 出发，到达 +2 的概率。我们要算 $p_0$。
比赛规则就是：
$p_k = a cdot p_{k+1} + b cdot p_{k1}$，其中 $a+b=1$。
边界条件是：$p_2 = 1$（到达+2就赢了），$p_{2} = 0$（到达2就输了）。
这个是一个经典的随机游走问题。
对于 $k=0, 1$:
$p_0 = a p_1 + b p_{1}$
$p_1 = a p_2 + b p_0 = a(1) + b p_0 = a + b p_0$
$p_{1} = a p_0 + b p_{2} = a p_0 + b(0) = a p_0$
把 $p_1$ 和 $p_{1}$ 代入 $p_0$ 的方程：
$p_0 = a(a + b p_0) + b(a p_0)$
$p_0 = a^2 + ab p_0 + ab p_0$
$p_0 = a^2 + 2ab p_0$
$p_0(1 2ab) = a^2$
$p_0 = frac{a^2}{1 2ab}$
这两种方法得出的结果是一致的，都说明了甲赢的概率是 $frac{a^2}{1 2ab}$。
最后再唠叨一句， 这个结果告诉我们，即使甲的单局胜率不是特别高，但只要他能持续地赢下比赛，并积累优势，那么在这种“多赢两局”的规则下，他获胜的概率就会比单局胜率 $a$ 要高。反之，如果 $a$ 很低，那么即使有多次领先，也可能被对方追平甚至反超，最终导致甲赢的概率低于 $a$。
这个问题的精髓在于，它考察的不仅仅是单局的胜率，更是比赛过程中的“势头”和“累积优势”。
这题目有点绕，不能简单地说甲赢的概率就是 $a$。因为比赛不是下一盘就结束的，有可能一直下下去，直到一方比另一方多赢两局为止。这就好比一场定期的系列赛，但什么时候结束，得看谁先达到这个“多赢两局”的目标。
咱们可以把这个过程看成是一个不断进行的过程，每次下棋，甲要么赢（概率 $a$），要么输（概率 $b$）。我们可以关注甲相对于乙的净胜局数（也就是甲赢的局数减去乙赢的局数）。
比赛开始时，净胜局数是 0。
如果甲赢了第一局，净胜局数变成 1。
如果乙赢了第一局，净胜局数变成 1。
比赛的目标是，让净胜局数达到 2 或者 2。只要净胜局数达到了 2，甲就赢了。只要净胜局数达到了 2，乙就赢了。
咱们可以试着用状态来表示当前的局面。我们可以定义一个状态，就是“甲相对于乙的净胜局数”。
状态 0：甲和乙打平（净胜局数是 0）。
状态 1：甲比乙多赢一局（净胜局数是 1）。
状态 1：乙比甲多赢一局（净胜局数是 1）。
状态 2：甲比乙多赢两局，甲获胜！
状态 2：乙比甲多赢两局，乙获胜！
咱们设 $P(k)$ 是在甲相对于乙净胜局数为 $k$ 的情况下，甲最终获胜的概率。我们的目标就是求 $P(0)$。
看看这些状态之间的转移：
1. 从状态 0 开始（双方打平）：
甲赢一局（概率 $a$），净胜局数变为 1。此时甲获胜的概率是 $P(1)$。
乙赢一局（概率 $b$），净胜局数变为 1。此时甲获胜的概率是 $P(1)$。
所以，$P(0) = a cdot P(1) + b cdot P(1)$。
2. 从状态 1 开始（甲比乙多赢一局）：
甲再赢一局（概率 $a$），净胜局数变为 2。甲赢了！这时甲获胜的概率是 1。
乙赢一局（概率 $b$），净胜局数变为 0（因为甲之前领先1，乙赢1就抵消了）。此时甲获胜的概率是 $P(0)$。
所以，$P(1) = a cdot 1 + b cdot P(0)$。
3. 从状态 1 开始（乙比甲多赢一局）：
甲赢一局（概率 $a$），净胜局数变为 0（因为乙之前领先1，甲赢1就抵消了）。此时甲获胜的概率是 $P(0)$。
乙再赢一局（概率 $b$），净胜局数变为 2。乙赢了！此时甲获胜的概率是 0。
所以，$P(1) = a cdot P(0) + b cdot 0 = a cdot P(0)$。
现在我们有了一个方程组：
(1) $P(0) = a cdot P(1) + b cdot P(1)$
(2) $P(1) = a + b cdot P(0)$
(3) $P(1) = a cdot P(0)$
咱们来解这个方程组。把 (2) 和 (3) 代入 (1)：
$P(0) = a cdot (a + b cdot P(0)) + b cdot (a cdot P(0))$
展开一下：
$P(0) = a^2 + ab cdot P(0) + ab cdot P(0)$
$P(0) = a^2 + 2ab cdot P(0)$
把带 $P(0)$ 的项移到一边：
$P(0) 2ab cdot P(0) = a^2$
$P(0) (1 2ab) = a^2$
所以，甲赢的概率就是：
$P(0) = frac{a^2}{1 2ab}$
别忘了 $a+b=1$，我们可以把 $b$ 用 $a$ 来表示：$b = 1a$。
代入 $b=1a$ 看看分母：
$1 2ab = 1 2a(1a) = 1 2a + 2a^2$
所以，甲赢的概率是 $frac{a^2}{1 2a + 2a^2}$。
咱们来举个例子验证一下。
比如，如果甲和乙实力相当，那么 $a = 0.5$，$b = 0.5$。
那么 $1 2ab = 1 2(0.5)(0.5) = 1 0.5 = 0.5$。
甲赢的概率就是 $frac{(0.5)^2}{0.5} = frac{0.25}{0.5} = 0.5$。
这很合理，如果两人实力相当，规则又对称，那甲赢的概率就应该是 50%。
再比如，甲很强，$a=0.8$，$b=0.2$。
$1 2ab = 1 2(0.8)(0.2) = 1 0.32 = 0.68$。
甲赢的概率就是 $frac{(0.8)^2}{0.68} = frac{0.64}{0.68} = frac{64}{68} = frac{16}{17}$。
这也很直观，甲赢的概率远大于 0.8，因为即使有几次失误，只要能领先，就有可能通过后面的比赛积累优势最终获胜。
我们还可以换个角度来理解这个问题。
你可以想象成一个“随机游走”的问题。甲相对于乙的净胜局数，就像一个小球在数轴上移动。每次甲赢，小球向右移动一步（+1）；每次乙赢，小球向左移动一步（1）。比赛目标是小球第一次到达 +2 或者 2。
我们关注的是从 0 出发，第一次到达 +2 的概率。
我们设 $p_k$ 是从位置 $k$ 出发，到达 +2 的概率。我们要算 $p_0$。
比赛规则就是：
$p_k = a cdot p_{k+1} + b cdot p_{k1}$，其中 $a+b=1$。
边界条件是：$p_2 = 1$（到达+2就赢了），$p_{2} = 0$（到达2就输了）。
这个是一个经典的随机游走问题。
对于 $k=0, 1$:
$p_0 = a p_1 + b p_{1}$
$p_1 = a p_2 + b p_0 = a(1) + b p_0 = a + b p_0$
$p_{1} = a p_0 + b p_{2} = a p_0 + b(0) = a p_0$
把 $p_1$ 和 $p_{1}$ 代入 $p_0$ 的方程：
$p_0 = a(a + b p_0) + b(a p_0)$
$p_0 = a^2 + ab p_0 + ab p_0$
$p_0 = a^2 + 2ab p_0$
$p_0(1 2ab) = a^2$
$p_0 = frac{a^2}{1 2ab}$
这两种方法得出的结果是一致的，都说明了甲赢的概率是 $frac{a^2}{1 2ab}$。
最后再唠叨一句， 这个结果告诉我们，即使甲的单局胜率不是特别高，但只要他能持续地赢下比赛，并积累优势，那么在这种“多赢两局”的规则下，他获胜的概率就会比单局胜率 $a$ 要高。反之，如果 $a$ 很低，那么即使有多次领先，也可能被对方追平甚至反超，最终导致甲赢的概率低于 $a$。
这个问题的精髓在于，它考察的不仅仅是单局的胜率，更是比赛过程中的“势头”和“累积优势”。
网友意见
设甲赢系列赛的概率为 ，那么 由两种情况组成：
- 甲连赢 2 局;
- 前两局打成了 1：1，但最终依然是甲赢；
由于比赛局数没有上限，因此 1：1 和 0：0 本质上没有区别，甲赢的概率相同。
两种情况的发生的概率都比较好算：第一种 ，第二种是 （谁赢第一局都可以）
于是有：
解得：
考虑到 ， 也可以写成只带有 的 或对称的
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