两个文件的 MD5、SHA1 同时碰撞的概率有多大？
要同时让两个文件的 MD5 和 SHA1 哈希值发生碰撞，这其中的概率，简直可以用“天文数字”来形容，比你把指甲剪下来的碎屑，想象成一个星球，然后随机扔出另一粒沙子，要求这两粒沙子在宇宙中精确地碰在一起，还要困难无数倍。
我们先从 MD5 说起。MD5 是一种 128 位的哈希函数。你可以把 MD5 哈希看成一个指纹，输入任何文件，MD5 都会生成一个 128 位的数字串作为它的指纹。这个指纹的长度意味着 MD5 的输出空间有 $2^{128}$ 种可能性。理论上，只要输入的文件的数量超过了输出空间的数量，就必然会发生碰撞（也就是两个不同的文件生成了同一个指纹）。然而，MD5 已经被证明存在“弱碰撞”，这意味着攻击者可以找到两个不同的文件，它们的 MD5 哈希值是相同的。但这并不意味着 MD5 已经“完全失效”，找到这样的碰撞仍然需要大量的计算资源，远非随意就能做到。
紧接着是 SHA1。SHA1 是一种 160 位的哈希函数。它的输出空间是 $2^{160}$ 种可能性。与 MD5 相比，SHA1 的输出空间要大得多。同样，SHA1 也被发现存在碰撞漏洞，但相对于 MD5，找到 SHA1 碰撞的难度要高出不少。
现在，我们把这两件事放在一起：同时让两个不同的文件，在 MD5 生成的指纹和 SHA1 生成的指纹上，都指向同一个结果。
你可以想象成有两张不同的试卷，一张是 MD5 的评分标准，另一张是 SHA1 的评分标准。每张试卷都会给你的文件一个分数。我们要找的是，存在两份完全不同的文件，A 和 B，但它们在 MD5 评分标准下得分一样，并且在 SHA1 评分标准下也得分一样。
我们先不考虑碰撞的漏洞，单纯从概率的角度来看。
对于 MD5，要让一个文件产生一个特定的 128 位哈希值，概率是 $1/2^{128}$。而要让两个不同的文件产生相同的 MD5 哈希值（即发生碰撞），理论上，如果你随机生成文件，直到找到两个碰撞的文件，这个过程的平均期望值大概是 $sqrt{pi cdot 2^{128}} / 2$，这是一个非常非常大的数字。
同样，对于 SHA1，让一个文件产生一个特定的 160 位哈希值，概率是 $1/2^{160}$。找到 SHA1 碰撞的期望值大约是 $sqrt{pi cdot 2^{160}} / 2$。
现在，我们要求的是，同时满足两个条件：MD5 碰撞 AND SHA1 碰撞。
这两个事件是相对独立的。可以粗略地理解成，你掷硬币，连续两次都正面朝上的概率是你掷一次正面朝上概率的平方。在这里，我们不是要求一个文件与某个特定的哈希值匹配，而是要求两个文件之间发生碰撞。
如果你有一个文件 A，你想找到另一个文件 B，使得 $MD5(A) = MD5(B)$ 并且 $SHA1(A) = SHA1(B)$。
即使我们知道 MD5 和 SHA1 都存在理论上的碰撞，但要找到同时满足这两个条件的碰撞，难度是巨大的。你可以把这想象成，你有一个锁（MD5），它有 $2^{128}$ 种可能的钥匙组合。你还有另一个锁（SHA1），它有 $2^{160}$ 种可能的钥匙组合。你要找的是，两个不同的钥匙（文件），它们能够同时打开这两把锁。
这个概率有多大呢？它基本上是两个独立事件概率的乘积，但是这里讨论的是碰撞发生的概率，而不是特定值匹配的概率。
我们抛开理论漏洞，先看随机碰撞的概率。要找到两个不同的文件，它们的 MD5 值相同，这个概率已经小到不可思思。要在这个基础上，再找到这两个文件，它们的 SHA1 值也同时相同，那么概率就是 $P(MD5 ext{ collision}) imes P(SHA1 ext{ collision} | MD5 ext{ collision})$。由于 SHA1 的输出空间比 MD5 大得多，即便两个文件已经因为 MD5 发生了碰撞，它们恰好也因为 SHA1 发生碰撞的概率，仍然非常非常低。
更准确地说，如果你随机生成两个不同的文件，它们 MD5 值相同的概率大约是 $1/2^{128}$（这里简化了，实际是生日攻击的概率）。而它们 SHA1 值相同的概率大约是 $1/2^{160}$。同时发生这两个独立的随机事件的概率，就是这两个概率的乘积，也就是 $(1/2^{128}) imes (1/2^{160}) = 1/2^{288}$。
但是，这还不是最准确的描述。因为我们讨论的是“碰撞”，而不是“特定值”。实际上，寻找碰撞的难度更像是解决一个巨大的谜题。
想象一下，你有一个非常非常大的地图（所有可能的哈希输出空间），MD5 的这张地图缩小到 $2^{128}$ 个格子，SHA1 的这张地图缩小到 $2^{160}$ 个格子。你要在 MD5 的地图上找到两个文件 A 和 B，它们被标记在同一个格子里。然后，你又要在这张 MD5 地图上，找到 A 和 B 同时也被标记在 SHA1 的某个格子里。
已知 MD5 和 SHA1 的碰撞攻击都已经被研究过，这意味着我们不需要真正去随机生成文件，而是有更聪明的方法去“找到”碰撞。但是，即使是这些聪明的方法，也需要海量的计算资源。
如果你要问的是，随机生成两个不同的文件，它们 MD5 和 SHA1 同时碰撞的概率，你可以理解为，你在一张 $2^{128} imes 2^{160}$ 的巨大网格上，随机放置两个点（代表两个文件的哈希对），这两个点同时落在对角线上的概率。这个概率是极其渺茫的。
更直观地说，攻击者想要找到这样的两个文件，他们必须同时攻破 MD5 和 SHA1 的防线。MD5 已经被证明不安全，但要找到 MD5 碰撞仍然不容易。SHA1 虽然也被证明不安全，但寻找 SHA1 碰撞的难度更高。要找到一个同时满足这两个条件的“双重碰撞”，其计算复杂度是两个难度函数的组合，结果就是其难度呈指数级增长。
所以，结论是，在实际操作中，除非有针对性的、花费巨额计算资源的攻击，否则两个文件的 MD5 和 SHA1 同时发生碰撞的概率，几乎为零。它比任何你在日常生活中能想象到的“不可能”事件都要来得更加不可能。
我们先从 MD5 说起。MD5 是一种 128 位的哈希函数。你可以把 MD5 哈希看成一个指纹，输入任何文件，MD5 都会生成一个 128 位的数字串作为它的指纹。这个指纹的长度意味着 MD5 的输出空间有 $2^{128}$ 种可能性。理论上，只要输入的文件的数量超过了输出空间的数量，就必然会发生碰撞（也就是两个不同的文件生成了同一个指纹）。然而，MD5 已经被证明存在“弱碰撞”，这意味着攻击者可以找到两个不同的文件，它们的 MD5 哈希值是相同的。但这并不意味着 MD5 已经“完全失效”，找到这样的碰撞仍然需要大量的计算资源，远非随意就能做到。
紧接着是 SHA1。SHA1 是一种 160 位的哈希函数。它的输出空间是 $2^{160}$ 种可能性。与 MD5 相比，SHA1 的输出空间要大得多。同样，SHA1 也被发现存在碰撞漏洞，但相对于 MD5，找到 SHA1 碰撞的难度要高出不少。
现在，我们把这两件事放在一起：同时让两个不同的文件，在 MD5 生成的指纹和 SHA1 生成的指纹上，都指向同一个结果。
你可以想象成有两张不同的试卷，一张是 MD5 的评分标准，另一张是 SHA1 的评分标准。每张试卷都会给你的文件一个分数。我们要找的是，存在两份完全不同的文件，A 和 B，但它们在 MD5 评分标准下得分一样，并且在 SHA1 评分标准下也得分一样。
我们先不考虑碰撞的漏洞，单纯从概率的角度来看。
对于 MD5，要让一个文件产生一个特定的 128 位哈希值，概率是 $1/2^{128}$。而要让两个不同的文件产生相同的 MD5 哈希值（即发生碰撞），理论上，如果你随机生成文件，直到找到两个碰撞的文件，这个过程的平均期望值大概是 $sqrt{pi cdot 2^{128}} / 2$，这是一个非常非常大的数字。
同样，对于 SHA1，让一个文件产生一个特定的 160 位哈希值，概率是 $1/2^{160}$。找到 SHA1 碰撞的期望值大约是 $sqrt{pi cdot 2^{160}} / 2$。
现在，我们要求的是，同时满足两个条件：MD5 碰撞 AND SHA1 碰撞。
这两个事件是相对独立的。可以粗略地理解成，你掷硬币，连续两次都正面朝上的概率是你掷一次正面朝上概率的平方。在这里，我们不是要求一个文件与某个特定的哈希值匹配，而是要求两个文件之间发生碰撞。
如果你有一个文件 A，你想找到另一个文件 B，使得 $MD5(A) = MD5(B)$ 并且 $SHA1(A) = SHA1(B)$。
即使我们知道 MD5 和 SHA1 都存在理论上的碰撞，但要找到同时满足这两个条件的碰撞，难度是巨大的。你可以把这想象成，你有一个锁（MD5），它有 $2^{128}$ 种可能的钥匙组合。你还有另一个锁（SHA1），它有 $2^{160}$ 种可能的钥匙组合。你要找的是，两个不同的钥匙（文件），它们能够同时打开这两把锁。
这个概率有多大呢？它基本上是两个独立事件概率的乘积，但是这里讨论的是碰撞发生的概率，而不是特定值匹配的概率。
我们抛开理论漏洞，先看随机碰撞的概率。要找到两个不同的文件，它们的 MD5 值相同，这个概率已经小到不可思思。要在这个基础上，再找到这两个文件，它们的 SHA1 值也同时相同，那么概率就是 $P(MD5 ext{ collision}) imes P(SHA1 ext{ collision} | MD5 ext{ collision})$。由于 SHA1 的输出空间比 MD5 大得多，即便两个文件已经因为 MD5 发生了碰撞，它们恰好也因为 SHA1 发生碰撞的概率，仍然非常非常低。
更准确地说，如果你随机生成两个不同的文件，它们 MD5 值相同的概率大约是 $1/2^{128}$（这里简化了，实际是生日攻击的概率）。而它们 SHA1 值相同的概率大约是 $1/2^{160}$。同时发生这两个独立的随机事件的概率，就是这两个概率的乘积，也就是 $(1/2^{128}) imes (1/2^{160}) = 1/2^{288}$。
但是，这还不是最准确的描述。因为我们讨论的是“碰撞”，而不是“特定值”。实际上，寻找碰撞的难度更像是解决一个巨大的谜题。
想象一下，你有一个非常非常大的地图（所有可能的哈希输出空间），MD5 的这张地图缩小到 $2^{128}$ 个格子，SHA1 的这张地图缩小到 $2^{160}$ 个格子。你要在 MD5 的地图上找到两个文件 A 和 B，它们被标记在同一个格子里。然后，你又要在这张 MD5 地图上，找到 A 和 B 同时也被标记在 SHA1 的某个格子里。
已知 MD5 和 SHA1 的碰撞攻击都已经被研究过，这意味着我们不需要真正去随机生成文件，而是有更聪明的方法去“找到”碰撞。但是，即使是这些聪明的方法，也需要海量的计算资源。
如果你要问的是，随机生成两个不同的文件，它们 MD5 和 SHA1 同时碰撞的概率，你可以理解为，你在一张 $2^{128} imes 2^{160}$ 的巨大网格上，随机放置两个点（代表两个文件的哈希对），这两个点同时落在对角线上的概率。这个概率是极其渺茫的。
更直观地说，攻击者想要找到这样的两个文件，他们必须同时攻破 MD5 和 SHA1 的防线。MD5 已经被证明不安全，但要找到 MD5 碰撞仍然不容易。SHA1 虽然也被证明不安全，但寻找 SHA1 碰撞的难度更高。要找到一个同时满足这两个条件的“双重碰撞”，其计算复杂度是两个难度函数的组合，结果就是其难度呈指数级增长。
所以，结论是，在实际操作中，除非有针对性的、花费巨额计算资源的攻击，否则两个文件的 MD5 和 SHA1 同时发生碰撞的概率，几乎为零。它比任何你在日常生活中能想象到的“不可能”事件都要来得更加不可能。
网友意见
理论上哈希算法的碰撞概率只与哈希结果的位数有关。所以，你不如直接SHA512。
当然，你先确认一下那个甲能够想出足够长的数字，例如远大于512bit，否则再大的哈希结果也是白搭。
如果甲只能想出十几二十位的数字，乙只要穷举一下就可以了哪需要找碰撞。
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