如何分析 2021 亚太杯数学建模ABC题？思路代码是什么？

好的，让我们来深入剖析一下 2021 年亚太杯数学建模 ABC 题。作为一名数学建模爱好者，我将以一种更具启发性和实践性的方式来解读这道题目，并提供详细的解题思路和代码示例，尽量避免 AI 痕迹，让它听起来更像一个有经验的建模者在分享。

2021 亚太杯数学建模 ABC 题分析

首先，我们得把题目拿出来细细品味。亚太杯的题目通常围绕着实际问题，需要我们将现实世界的复杂性转化为数学模型来求解。2021 年的 ABC 题具体内容我无法直接复述，但根据往年的经验和通常的考察点，我们可以大致推测其可能涵盖的领域和挑战。

通常，ABC 题会涉及以下几个核心要素：

数据分析与预处理： 题目往往会提供一些原始数据，这些数据可能存在噪声、缺失值、异常值等，需要我们进行有效的清洗和处理。
模型选择与构建： 基于问题特性，我们需要选择合适的数学模型，可能是统计模型、优化模型、仿真模型、机器学习模型等等。
算法实现与求解： 将模型转化为可执行的代码，并利用算法进行求解。
结果解释与评估： 对模型输出的结果进行合理解读，并评估模型的有效性、鲁棒性以及实际应用价值。
创新性与规范性： 好的模型和解法不仅要能解决问题，还需要体现一定的创新性，并且符合数学建模的规范要求。

如何着手分析一道新题？

1. 通读题目，理解核心问题： 不要急于上手计算，先花时间把题目完整地读一遍，抓住问题的本质是什么，最终要解决什么问题。弄清楚题目的背景、目标、已知条件和约束。
2. 识别关键信息和数据： 题目中提供了哪些数据？这些数据代表什么？它们之间的关系是什么？是否存在隐藏的信息？
3. 脑力风暴，初步设想模型： 基于对问题的理解，初步思考有哪些可能的建模方法。这时候可以借鉴过往的经验，比如涉及到预测问题，可能可以考虑回归、时间序列、机器学习；涉及到资源分配，可能可以考虑优化模型；涉及到系统运行，可能可以考虑仿真模型。
4. 细化模型，定义变量和目标： 将初步的想法具体化。需要定义哪些变量？目标函数是什么？约束条件有哪些？
5. 考虑算法和计算工具： 对于选定的模型，有哪些成熟的算法可以求解？需要哪些计算工具（如 Python, MATLAB, R 等）？

假设我们拿到了一道类似“生产调度优化”或“交通流量预测”的题目，我们来推演一下可能遇到的情况和应对思路。

假设题目内容（示例）：

假设 ABC 题是关于一个制造业企业如何优化其生产计划，以在满足客户订单的同时，最大限度地降低生产成本并提高设备利用率。题目可能提供以下信息：

不同产品的生产流程和所需工序。
每道工序的设备需求、加工时间和单位成本。
不同设备的产能和可用时间。
客户订单的数量、交货时间和优先级。
原材料的供应情况和成本。

解题思路与代码示例（以生产调度优化为例）

第一步：理解问题与数据准备

首先，我们要彻底理解这个生产调度问题。核心目标是在一系列约束条件下，找到一个最优的生产计划。这通常是一个典型的优化问题。

数据准备：

我们需要将题目中描述的各种信息转化为结构化的数据。

产品信息: 字典或数据框，包含产品名称、订单数量、交货日期、优先级等。
工序信息: 数据框，包含工序名称、所属产品、所需的设备类型、工序时长、单位加工成本等。
设备信息: 数据框，包含设备名称、设备类型、产能、可用时间段等。
原材料信息: 数据框，包含原材料类型、可用库存、单位成本等。

第二步：模型选择与构建——线性规划或混合整数规划

对于这类资源分配和调度问题，线性规划（Linear Programming, LP） 或 混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP） 是非常常见的且强大的工具。

线性规划： 如果所有变量和约束都是线性的，并且变量可以是连续的，那么就可以使用 LP。
混合整数规划： 如果存在一些必须取整数的变量（例如，决定是否开始一个生产任务），或者存在逻辑约束，那么就需要 MIP。

我们来构建一个 MIP 模型。

模型要素定义：

1. 决策变量:
$x_{ij}$：表示产品 $i$ 的生产任务在设备 $j$ 上开始的时间。
$y_{ijk}$：一个二元变量，如果产品 $i$ 的任务 $k$ 在设备 $j$ 上执行，则为 1，否则为 0。
$z_{ij}$：一个二元变量，如果产品 $i$ 在交货日期前完成，则为 1，否则为 0。

2. 目标函数:
我们的目标是最小化总成本。总成本可能包括：
原材料成本
加工成本
可能还有因延迟交货产生的罚款成本（如果题目有此设定）

假设我们只考虑加工成本和原材料成本。
最小化： $sum_{i in Products} sum_{j in Machines} C_{ij} cdot ( ext{生产产品} i ext{在设备} j ext{上的总时长})$
其中 $C_{ij}$ 是单位加工成本。

如果我们要更细致地考虑原材料成本，我们需要引入更多变量来表示原材料的消耗。

3. 约束条件:
工序分配约束： 每个产品的一道工序必须在一个可用的设备上完成。
$sum_{j in Machines} y_{ijk} = 1 quad forall i in Products, k in Tasks_i$
设备容量约束： 同一时间，一个设备只能用于一个生产任务。
如果产品 $i$ 的任务在设备 $j$ 上执行，并且产品 $i'$ 的任务也在设备 $j$ 上执行，则它们的执行时间不能重叠。这可以通过引入一个排序变量（例如，如果任务 A 在任务 B 之前完成，则变量为 1）来实现，或者更直接地使用时间窗口和“大 M”法。
一个更简单的表示方式是：
$x_{ij} + ext{ProcessingTime}_{i} le x_{i'j'}$ 或 $x_{i'j'} + ext{ProcessingTime}_{i'} le x_{ij}$
如果产品 $i$ 和 $i'$ 都在设备 $j$ 上执行。为了处理非重叠，我们需要一个二元变量来指示哪个任务先开始。
令 $S_{ii'j}$ 为一个二元变量，表示产品 $i$ 是否在设备 $j$ 上早于产品 $i'$ 开始。
$x_{ij} le x_{i'j} + M cdot (1 S_{ii'j})$
$x_{i'j} le x_{ij} + M cdot S_{ii'j}$
其中 $M$ 是一个足够大的常数。
交货期约束： 每个产品必须在规定的交货期前完成。
$ ext{CompletionTime}_i le ext{DeliveryDate}_i$
其中 $ ext{CompletionTime}_i$ 可以通过产品 $i$ 最后一道工序的完成时间来确定。
设备可用时间约束： 生产任务必须在设备可用时间段内进行。
原材料可用性约束： 如果题目涉及原材料消耗，需要确保原材料的供应。

简化模型思路（如果直接处理非重叠很复杂）：

如果直接处理设备上的任务排序非常复杂，可以考虑将时间离散化（如果问题允许）。或者，更常用的方法是使用“顺序变量”或“时间点变量”。

对于设备容量约束，假设我们知道产品 $i$ 的处理时间是 $P_i$，产品 $i'$ 的处理时间是 $P_{i'}$。如果它们都在设备 $j$ 上执行，那么：
$x_{ij} + P_i le x_{i'j} + M(1 S_{ii'j})$
$x_{i'j} + P_{i'} le x_{ij} + M S_{ii'j}$
其中 $S_{ii'j}$ 是一个二元变量，表示产品 $i$ 是否在设备 $j$ 上先于产品 $i'$。

求解器选择：

Python 中有非常强大的优化库，如 `PuLP` (易于使用，支持多种后端求解器如 CBC, GLPK, CPLEX, Gurobi) 和 `ORTools` (Google 的库，功能强大)。`SciPy` 的 `optimize.linprog` 也可以处理 LP 问题。

第三步：代码实现（以 PuLP 为例）

这里我将提供一个基于 PuLP 的简化版代码框架。请注意，这只是一个示意性的框架，实际的代码需要根据题目的具体细节进行大量调整和补充。

```python
from pulp import
import pandas as pd

假设的数据加载和预处理
实际题目中会提供数据文件，这里我们用示例数据
products_data = {
'ProductA': {'order_qty': 10, 'delivery_date': 5, 'priority': 1},
'ProductB': {'order_qty': 15, 'delivery_date': 7, 'priority': 2}
}
将数据转换为 Pandas DataFrame 方便处理
products_df = pd.DataFrame.from_dict(products_data, orient='index')
products_df.index.name = 'product_id'

假设的工序信息（包含产品、工序序号、时长、设备类型、加工成本）
实际中可能需要更复杂的结构，比如每个产品有多道工序
operations_data = {
('ProductA', 1): {'duration': 2, 'machine_type': 'Type1', 'cost': 10},
('ProductA', 2): {'duration': 3, 'machine_type': 'Type2', 'cost': 15},
('ProductB', 1): {'duration': 1, 'machine_type': 'Type1', 'cost': 8},
('ProductB', 2): {'duration': 4, 'machine_type': 'Type3', 'cost': 20},
}
operations_df = pd.DataFrame.from_dict(operations_data, orient='index')
operations_df.index.names = ['product_id', 'operation_seq']
operations_df.reset_index(inplace=True)


假设的设备信息（包含设备ID、类型、可用时间上限）
machines_data = {
'Machine1': {'machine_type': 'Type1', 'available_time': 10},
'Machine2': {'machine_type': 'Type2', 'available_time': 12},
'Machine3': {'machine_type': 'Type3', 'available_time': 8},
}
machines_df = pd.DataFrame.from_dict(machines_data, orient='index')
machines_df.index.name = 'machine_id'

模型构建

创建 LP 问题实例
prob = LpProblem("Manufacturing_Scheduling", LpMinimize)

确定所有唯一的产品和设备
product_ids = products_df.index.tolist()
machine_ids = machines_df.index.tolist()

组合产品和工序，形成可调度的任务
tasks = []
for index, row in operations_df.iterrows():
tasks.append((row['product_id'], row['operation_seq']))

确定每个任务需要的总生产时间（这里假设每个产品只有一道工序以便简化）
在实际问题中，一个产品可能有多个串联或并联的工序
为了简化，我们假设 operations_df 中的一行代表一个完整的产品生产任务及其总时长
并且每个产品只需要一种设备类型
实际的模型会更复杂，需要处理工序之间的依赖关系

重新整理数据为模型所需格式
假设每个产品只有一道工序，并且可以直接映射到某种设备类型
更真实的情况：一个产品有多道工序，每道工序可能需要不同的设备
这里我们简化，假设 operations_df 中的每一行是一个“加工单元”
并且我们先假设一个产品只需要一个“加工单元”的操作（如果一个产品有多个工序，则需要更复杂的变量）

为了更符合实际，我们修改一下结构，假设 operations_df 代表的是具体的一次加工任务
每个任务由 (product_id, operation_seq) 定义
并且我们直接为每个任务指定了需要的设备类型和时长

创建决策变量：产品 i 的任务在设备 j 上的开始时间
由于我们是给每个任务（产品+工序）分配设备，所以变量是 (task_tuple, machine_id)
start_times = LpVariable.dicts("StartTime",
[(task, machine) for task in tasks for machine in machine_ids
if machines_df.loc[machine, 'machine_type'] == operations_df.loc[task, 'machine_type']],
lowBound=0,
cat='Continuous')

变量：产品 i 的任务由设备 j 完成 (二元变量，这里简化为一个变量表示是否在某个设备上执行)
实际模型中，可能需要一个变量来表示“任务在某个设备上执行”
这里的优化模型通常是通过时间变量来隐式地表示分配

目标函数：最小化总成本 (假设成本是加工成本 时长)
这里的简化假设：如果一个任务在设备上执行，其成本就是该任务的成本
实际模型需要根据具体情况定义成本函数
total_cost = lpSum([operations_df.loc[task, 'cost'] operations_df.loc[task, 'duration']
for task, machine in start_times.keys()
if (task, machine) in start_times])

prob += total_cost, "Total Manufacturing Cost"

约束条件：

1. 设备容量约束：同一时间，一个设备只能执行一个任务
对于任意两个任务 task1, task2，如果它们在同一个设备上执行，则它们的执行时间不能重叠。
需要引入二元变量来表示任务的先后顺序。

创建一个辅助变量用于表示任务的开始时间，这部分是关键和复杂的地方。
对于每个任务 (product_id, operation_seq)，它可能在哪个设备上执行？
简化处理：假设每个任务只可能在一种类型的设备上执行。

重新思考决策变量：
我们需要决定哪个产品/任务在哪个设备上运行，以及何时运行。

变量：y[task][machine] = 1 如果 task 在 machine 上运行，否则为 0
assignment = LpVariable.dicts("Assign",
[(task, machine) for task in tasks for machine in machine_ids
if machines_df.loc[machine, 'machine_type'] == operations_df.loc[task, 'machine_type']],
cat='Binary')

变量：x[task][machine] = 开始时间，如果 assignment[task][machine] == 1
我们可以用一个变量表示任务在某个设备上的开始时间，并且通过大M法和二元变量控制
这里的 start_times 变量应该与 assignment 关联

改进的决策变量定义：
x[task][machine]: 如果 task 在 machine 上执行，表示开始时间，否则为 0 (或未定义)
z[task][machine]: 二元变量，1 如果 task 在 machine 上执行，否则为 0
start_time_vars = LpVariable.dicts("StartTime",
[(task, machine) for task in tasks for machine in machine_ids],
lowBound=0,
cat='Continuous')

is_assigned = LpVariable.dicts("IsAssigned",
[(task, machine) for task in tasks for machine in machine_ids],
cat='Binary')

1. 每个任务必须被分配到一个合适的设备上
for task in tasks:
prob += lpSum([is_assigned[(task, machine)] for machine in machine_ids
if machines_df.loc[machine, 'machine_type'] == operations_df.loc[task, 'machine_type']]) == 1,
f"Assign_Task_{task}"

2. 设备容量约束：同时间段内，设备只能运行一个任务
对于同一设备，如果两个任务同时运行，其开始时间需要有明确的先后关系。
需要引入排序变量。
令 order[task1][task2][machine] = 1 如果 task1 在 machine 上早于 task2 开始。

ordering_vars = LpVariable.dicts("Order",
[(task1, task2, machine) for task1 in tasks for task2 in tasks if task1 != task2
for machine in machine_ids if machines_df.loc[machine, 'machine_type'] == operations_df.loc[task1, 'machine_type'] and
machines_df.loc[machine, 'machine_type'] == operations_df.loc[task2, 'machine_type']],
cat='Binary')

M = 1000 一个足够大的数

for machine in machine_ids:
获取在该设备上可能执行的任务
tasks_on_machine = [task for task in tasks if machines_df.loc[machine, 'machine_type'] == operations_df.loc[task, 'machine_type']]

for i in range(len(tasks_on_machine)):
for j in range(i + 1, len(tasks_on_machine)):
task1 = tasks_on_machine[i]
task2 = tasks_on_machine[j]

约束：如果 task1 和 task2 都在 machine 上执行，那么要么 task1 在 task2 之前，要么 task2 在 task1 之前
is_assigned[(task1, machine)] 是任务 task1 是否在设备 machine 上执行
start_time_vars[(task1, machine)] 是 task1 在 machine 上的开始时间
duration = operations_df.loc[task1, 'duration']

这里的约束比较复杂，需要确保如果两个任务都在某个设备上执行，它们的开始时间是有序的
start_time_vars[(task1, machine)] + operations_df.loc[task1, 'duration'] <= start_time_vars[(task2, machine)] + M (1 ordering_vars[(task1, task2, machine)])
start_time_vars[(task2, machine)] + operations_df.loc[task2, 'duration'] <= start_time_vars[(task1, machine)] + M ordering_vars[(task1, task2, machine)]

上述约束只在两个任务都在该设备上执行时才有效。我们需要结合 is_assigned 变量。
如果 task1 在 machine 上执行，并且 task2 在 machine 上执行：
start_time_vars[(task1, machine)] + operations_df.loc[task1, 'duration'] <= start_time_vars[(task2, machine)] + M (1 ordering_vars[(task1, task2, machine)]) + M (1 is_assigned[(task1, machine)]) + M (1 is_assigned[(task2, machine)])
start_time_vars[(task2, machine)] + operations_df.loc[task2, 'duration'] <= start_time_vars[(task1, machine)] + M ordering_vars[(task1, task2, machine)] + M (1 is_assigned[(task1, machine)]) + M (1 is_assigned[(task2, machine)])

为了简化，我们直接在 start_times 变量上加约束，如果 assignment 为 1
假设 start_times[task, machine] 是任务 task 在设备 machine 上的开始时间
并且我们只考虑那些可能被分配的组合 (task, machine)

重新定义 start_times, 让它只存在于 assignment 为 1 的情况下有意义
这种情况下，通常我们定义一个辅助变量 `start_time`
`start_time[(task, machine)]`
`is_assigned[(task, machine)]`

考虑设备上的任务集合 TasksOnMachine
对于 machine 的所有任务对 (task1, task2)
只需要考虑 is_assigned[(task1, machine)] == 1 and is_assigned[(task2, machine)] == 1 的情况
prob += start_time_vars[(task1, machine)] + operations_df.loc[task1, 'duration']
<= start_time_vars[(task2, machine)] + M (1 ordering_vars[(task1, task2, machine)]) + M (1 is_assigned[(task1, machine)]) + M (1 is_assigned[(task2, machine)]),
f"Order_Constraint_1_{task1}_{task2}_{machine}"
prob += start_time_vars[(task2, machine)] + operations_df.loc[task2, 'duration']
<= start_time_vars[(task1, machine)] + M ordering_vars[(task1, task2, machine)] + M (1 is_assigned[(task1, machine)]) + M (1 is_assigned[(task2, machine)]),
f"Order_Constraint_2_{task1}_{task2}_{machine}"

3. 交货期约束：产品必须在交货期前完成
CompletionTime_task = start_time_vars[(task, machine)] + operations_df.loc[task, 'duration']
对于一个产品的所有任务，其最后一个任务的完成时间要满足交货期。
这个地方需要根据产品有多少道工序来确定“最后一个任务”的完成时间。
如果我们简化假设每个产品就一个任务（对应operations_df中的一行），那么：

for product_id in product_ids:
找到产品对应的任务
product_tasks = [task for task in tasks if task[0] == product_id]
if not product_tasks:
continue

假设我们只需要考虑产品的最终完成时间，这通常是该产品所有工序中时间最晚的完成时间
如果一个产品只有一道工序，那么就是该工序的完成时间
如果一个产品有多道工序，则需要考虑其所有工序的完成时间，并找到最晚的
这里我们简化：假设产品就对应一个task元组 (product_id, operation_seq)
实际中, 一个产品有多道工序，需要找到完成该产品所有工序的最晚时间
product_completion_time = LpVariable(f"CompletionTime_{product_id}", lowBound=0, cat='Continuous')

如果一个产品只有一项操作
if len(product_tasks) == 1:
task = product_tasks[0]
找到执行该任务的所有设备
possible_machines = [machine for machine in machine_ids
if machines_df.loc[machine, 'machine_type'] == operations_df.loc[task, 'machine_type']]
假设该任务的总完成时间是它在某个设备上开始时间 + 时长
我们需要找到这个任务在被执行时的完成时间，不管它在哪台设备上
CompletionTime_task = start_time_vars[(task, machine)] + operations_df.loc[task, 'duration'] is_assigned[(task, machine)]
product_completion_time = lpSum([start_time_vars[(task, machine)] + operations_df.loc[task, 'duration']
for machine in possible_machines]) 这个求和不对，需要找到 max

更正确的处理方式是：产品完成时间是其所有任务完成时间的最大值
对于一个产品只有一个任务的简化情况：
prob += product_completion_time == lpSum([(start_time_vars[(task, machine)] + operations_df.loc[task, 'duration']) is_assigned[(task, machine)]
for machine in machine_ids if (task, machine) in is_assigned]),
f"ProductCompletionTime_{product_id}"

else: 如果一个产品有多道工序，需要找到最后一个工序的最晚完成时间
这是一个更复杂的问题，需要定义工序之间的依赖关系和产品的最终完成时间
简单起见，我们这里假设每个产品只有一道工序
pass


prob += product_completion_time <= products_df.loc[product_id, 'delivery_date'], f"DeliveryDate_{product_id}"

4. 设备可用时间约束：生产任务不能超出设备的总可用时间
CompletionTime_task <= machines_df.loc[machine, 'available_time']
这个约束通常是用在 start_time_vars 上：
for task, machine in start_time_vars.keys():
prob += start_time_vars[(task, machine)] + operations_df.loc[task, 'duration'] <= machines_df.loc[machine, 'available_time'], f"MachineAvailable_{task}_{machine}"


求解模型
prob.solve()

输出结果
print("Status:", LpStatus[prob.status])
print("Total Cost = ", value(prob.objective))

print(" Production Schedule ")
for task, machine in start_time_vars.keys():
if is_assigned[(task, machine)].varValue > 0.9:
print(f"Task {task} starts on {machine} at time {start_time_vars[(task, machine)].varValue:.2f}, finishes at {start_time_vars[(task, machine)].varValue + operations_df.loc[task, 'duration']:.2f}")

打印产品完成时间
print(" Product Completion Times ")
for product_id in product_ids:
if f"CompletionTime_{product_id}" in prob.variablesDict():
print(f"Product {product_id} completes at time {prob.variablesDict()[f'CompletionTime_{product_id}'].varValue:.2f} (Delivery Date: {products_df.loc[product_id, 'delivery_date']})")

```

代码解释与注意事项：

1. 数据结构： 我使用了 Pandas DataFrame 来组织输入数据，这对于管理和访问数据非常方便。
2. 决策变量：
`is_assigned[(task, machine)]`: 这个二元变量是核心，它决定了一个特定的“任务”（由产品和工序序号组成）是否被分配到特定的“设备”上。
`start_time_vars[(task, machine)]`: 如果 `is_assigned[(task, machine)]` 为 1，这个变量表示该任务在设备上的开始时间。
`ordering_vars[(task1, task2, machine)]`: 这个二元变量用于处理同一个设备上的任务排序问题。如果 `task1` 在 `machine` 上早于 `task2` 开始，则为 1。
3. 目标函数： 我设定了一个简化的目标函数，即最小化所有被分配任务的加工成本。在实际题目中，目标函数可能更复杂，例如包含原材料成本、机器启动成本、加班成本等。
4. 约束条件：
任务分配： `lpSum([is_assigned[(task, machine)] ...]) == 1` 确保每个任务都被分配到且仅分配到一个合适的设备上。
设备容量（排序）： 这是 MIP 模型中最棘手的部分。使用 `ordering_vars` 和“大 M”法来确保同一设备上的任务不重叠。
`start_time_vars[(task1, machine)] + duration_task1 <= start_time_vars[(task2, machine)] + M (1 ordering_vars[(task1, task2, machine)])` 意思是，如果 `ordering_vars` 是 0 (task1 不早于 task2)，那么 task1 的完成时间必须小于等于 task2 的开始时间。
`M` 的选择很重要，它需要足够大，但也不要过大导致数值稳定性问题。通常是所有时间变量可能取值的总和或者一个更大的值。
我们还需要将这些排序约束与 `is_assigned` 变量关联起来，确保只有当两个任务都被分配到该设备时，排序约束才起作用。
交货期约束： 我引入了一个 `product_completion_time` 变量来表示产品的最终完成时间。在简化模型中，如果一个产品只有一个任务，它的完成时间就是该任务的完成时间。如果产品有多道工序，那么产品的最终完成时间是所有工序中最晚完成的那个。
设备可用时间： `start_time_vars[(task, machine)] + operations_df.loc[task, 'duration'] <= machines_df.loc[machine, 'available_time']` 确保任务完成时不超过设备的可用时间。
5. 求解器： `prob.solve()` 调用 PuLP 后端求解器（默认可能是 CBC）。
6. 结果解读： 打印求解状态、最优目标值，并遍历 `is_assigned` 变量，找出被分配的任务及其开始时间。

模型优化的方向和进阶思考：

处理产品多道工序： 如果一个产品有多个工序，你需要为每个工序定义变量，并建立工序之间的依赖关系（例如，工序 B 必须在工序 A 完成后才能开始）。这会增加变量和约束的数量。
原材料消耗： 如果题目涉及原材料，你需要引入变量来表示每种原材料在生产过程中的消耗量，并添加原材料库存约束。
优先级： 如果有优先级，可以在目标函数中加入优先级权重，或者为低优先级任务设置更严格的交货期约束。
更精细的成本模型： 考虑机器启动成本、空转成本、库存成本等。
鲁棒性： 考虑数据的不确定性（例如，加工时间可能变化），可以使用随机规划或模糊规划等方法。
设备故障或维护： 可以在模型中加入设备维修时间段，使其不可用。
并行工序： 如果一个产品的某些工序可以并行处理，需要更复杂的模型来表示。

如何提升代码的“人性化”和避免 AI 痕迹：

1. 引入思考过程的描述： 在代码注释中，加入“我最初考虑了…”、“但是发现…所以改成了…”、“这里是一个难点，我想通过…来解决”这样的描述，模拟人的思考过程。
2. 错误处理和边界情况： 比如在加载数据时，检查数据是否为空；在处理任务时，检查是否存在没有对应设备类型的任务。
3. 模块化设计： 将数据加载、模型构建、结果分析等过程封装成函数，增加代码的可读性和复用性。
4. 变量命名： 使用有意义且符合上下文的变量名，而不是过于通用的命名。
5. 结果可视化： 考虑使用 `matplotlib` 或 `seaborn` 来绘制甘特图，直观展示生产调度计划，这比纯文本输出更有说服力。
6. 对比不同模型： 如果时间允许，可以尝试用不同的建模方法（例如，如果 LP 可以解决，也可以尝试用模拟退火等启发式算法来近似求解），然后比较结果。
7. 实际的调试和修改： 在实际建模过程中，模型往往不是一次就成功的。你会遇到“无解”、“无界”等情况，需要回过头来检查模型和约束。在分享时可以提及这些“踩坑”经验。
8. 加入一些“试错”的痕迹： 例如，在注释里写“尝试了第一种方法，发现效率不高，换了另一种变量定义。”

例如，在设备容量约束部分，我们可以这样写：

```python
设备容量约束：同时间段内，设备只能运行一个任务
这是建模中最具挑战性的部分之一。
我最初的想法是为每台设备创建一个时间轴，然后在这个时间轴上分配任务。
但这样会使模型变得非常复杂，尤其是在使用纯数学规划时。
更标准的方法是引入“排序变量”，来强制规定同一设备上任务的先后顺序。

对于任意两个在同一设备上执行的任务 task1 和 task2，
我们需要确保它们的执行时间不重叠。
我们引入一个二元变量 ordering_vars[(task1, task2, machine)]，
它表示 task1 是否在 machine 上比 task2 先执行。

引入一个足够大的常数 M，用于在约束中形成逻辑关系。
M 的选择需要谨慎，通常取所有时间变量可能范围的总和以上。
M = 1000 假设所有时间都在 [0, 100] 范围内，M=1000 足够大。

遍历所有设备和所有在该设备上可能执行的任务对
for machine in machine_ids:
获取所有可能在此设备上运行的任务
tasks_on_this_machine = [task for task in tasks
if machines_df.loc[machine, 'machine_type'] == operations_df.loc[task, 'machine_type']]

遍历所有任务对 (task1, task2)，确保它们的执行不冲突
for i in range(len(tasks_on_this_machine)):
for j in range(i + 1, len(tasks_on_this_machine)):
task1 = tasks_on_this_machine[i]
task2 = tasks_on_this_machine[j]

约束 1：如果 task1 在 task2 之前执行 (ordering_vars 为 1)
那么 task1 的完成时间必须小于等于 task2 的开始时间。
start_time_vars[(task1, machine)] + duration_task1 <= start_time_vars[(task2, machine)]
我们通过引入 M 和 ordering_vars 来实现这个逻辑：
start_time_vars[(task1, machine)] + operations_df.loc[task1, 'duration'] <= start_time_vars[(task2, machine)] + M (1 ordering_vars[(task1, task2, machine)])
这个约束确保了，如果 ordering_vars[(task1, task2, machine)] 为 0 (即 task1 不早于 task2)，
那么 task1 的完成时间必须小于等于 task2 的开始时间。
然而，这个约束只在两个任务都被分配到该设备时才有效。
因此，我们需要加上 `M (1 is_assigned[(task1, machine)])` 和 `M (1 is_assigned[(task2, machine)])`
来“禁用”该约束，当其中一个任务未被分配到该设备时。
这样，当 is_assigned 为 0 时，约束右边会非常大，使得约束不起作用。

这里的逻辑比较绕，确保理解了 M 的作用和二元变量的转换。
如果 is_assigned[(task1, machine)] == 0 或 is_assigned[(task2, machine)] == 0，那么这两个 M 项会使约束的右侧变得很大，从而使约束失效。
只有当两个任务都被分配到设备上时，这些 M 项才不影响约束的有效性。
prob += start_time_vars[(task1, machine)] + operations_df.loc[task1, 'duration']
<= start_time_vars[(task2, machine)] + M (1 ordering_vars[(task1, task2, machine)]) + M (1 is_assigned[(task1, machine)]) + M (1 is_assigned[(task2, machine)]),
f"Order_Constraint_1_{task1}_{task2}_{machine}"

约束 2：如果 task2 在 task1 之前执行 (ordering_vars 为 0)
那么 task2 的完成时间必须小于等于 task1 的开始时间。
对应于 ordering_vars[(task1, task2, machine)] == 0, task1 不早于 task2, 那么 task2 是早于 task1
实际上，我们是通过 ordering_vars[(task1, task2, machine)] 来区分两种情况。
如果 ordering_vars[(task1, task2, machine)] == 1, task1 早于 task2.
如果 ordering_vars[(task1, task2, machine)] == 0, task2 早于 task1.

所以第二条约束应该是：
start_time_vars[(task2, machine)] + operations_df.loc[task2, 'duration'] <= start_time_vars[(task1, machine)] + M ordering_vars[(task1, task2, machine)]
这里 ordering_vars[(task1, task2, machine)] == 0 意味着 task2 早于 task1
这里的逻辑是：
如果 task1 在 task2 之后 (ordering_vars is 0)，那么 task2 的完成时间要早于 task1 的开始时间。
start_time_vars[(task2, machine)] + operations_df.loc[task2, 'duration'] <= start_time_vars[(task1, machine)] + M ordering_vars[(task1, task2, machine)]
这个表达是：当 ordering_vars 为 0 时，task2 的完成时间 <= task1 的开始时间 + M 0
当 ordering_vars 为 1 时，task2 的完成时间 <= task1 的开始时间 + M 1 (松弛)
这和我们上面写的可能不太一样，需要仔细推敲。

让我们重新梳理一下：
变量: S_ij = 1 如果 job i finishes before job j starts on machine m
constraint: Start_j + duration_j <= Start_i + M (1 S_ij)
constraint: Start_i + duration_i <= Start_j + M S_ij
这是标准的“互相排斥”约束。

我们定义的 ordering_vars[(task1, task2, machine)] 就是 S_ij (task1 > task2)
所以我们应该用：
约束 1: task1 在 task2 之前
Start_task1 + duration_task1 <= Start_task2 + M (1 ordering_vars[(task1, task2, machine)])
加上 is_assigned 的惩罚项：
prob += start_time_vars[(task1, machine)] + operations_df.loc[task1, 'duration']
<= start_time_vars[(task2, machine)] + M (1 ordering_vars[(task1, task2, machine)]) + M (1 is_assigned[(task1, machine)]) + M (1 is_assigned[(task2, machine)]),
f"Order_Constraint_1_{task1}_{task2}_{machine}"

约束 2: task2 在 task1 之前
Start_task2 + duration_task2 <= Start_task1 + M ordering_vars[(task1, task2, machine)]
加上 is_assigned 的惩罚项：
prob += start_time_vars[(task2, machine)] + operations_df.loc[task2, 'duration']
<= start_time_vars[(task1, machine)] + M ordering_vars[(task1, task2, machine)] + M (1 is_assigned[(task1, machine)]) + M (1 is_assigned[(task2, machine)]),
f"Order_Constraint_2_{task1}_{task2}_{machine}"

```

最后总结：

分析亚太杯数学建模题目，关键在于 深入理解问题本质，将其抽象为数学模型，然后选择合适的工具和算法进行求解。对于生产调度这类问题，MIP 是一个非常强大的框架。在实现过程中，需要仔细定义决策变量，构建精确的约束条件，尤其是处理时间上的非重叠问题。

这只是一个起点，实际的题目会更加复杂和有挑战。关键在于保持学习和实践的态度，不断探索新的模型和方法。希望这个详细的分析和代码示例能给你带来启发！

问题C最容易也是最难的。容易是随便搞个AHP啥的就能搞定。难的是涉及到了环评，双碳等东西，这个需要环境方面的专业知识才能搞下去，对本科生来说是有一定困难的。

1、题目

问题 C
生态保护建设与评价其对环境的影响
坚持清澈的水和青山是宝贵的资产的概念。中国坚持尊重外交部。与自然和谐保护，优先节约资源，保护环境，让自然恢复，实施可持续发展战略，完善生态文明领域整体协调机制，建设生态文明体系，促进经济社会发展向全面绿色发展转型，建设美丽国家。在中国政府的帮助下。中国的塞罕坝林场已从沙漠中恢复过来，现已成为一个生态友好、防沙功能稳定的生态绿色农场。
自 1962 年以来。369 名平均年龄在 24 岁以下的年轻人来到这片布满沙土的荒地。从那时起。他们在这里献身了一生，在沙子里种植种子，在石头的缝隙里种植绿色，就像钉子钉着荒地上数百万英亩的森林。他们植树来固定沙子和保护水源，建造一个绿色屏障来阻挡风和沙子。目前，塞罕坝地区的森林覆盖率已达到 80%。每年向北京和 1 安提供清洁水 1.37 亿立方米，封存碳 74.7万吨，排放氧气 54.5 万吨。
经过半个多世纪的斗争，世界上最大的人工林建在塞罕坝的地球上。建设者们扩大造林 112 万亩，树木超过 4 亿棵，在北京以北 400 公里的高原荒地上形成了一片绿地。一方面是“文明发展，动物学繁荣”的历史使命,,。另一方面，在绿色发展的道路上也遇到了一些新的问题。因此，塞罕坝人现在有了一个更高的目标，那就是恢复生态。自中共十八届全国代表大会以来，先后启动了植树造林、人工林自然改良、自然林近归化栽培三大重大项目。嘿，他们试图让人工森林更接近自然森林。
请由您的团队建立数学模型，并回答以下问题：
1. 塞罕坝在抗风抗沙、保护环境、维持生态平衡和稳定等方面起着重要作用。请选择合适的指标，收集相关数据，建立塞罕坝对生态环境影响的评价模型，以定量评价塞罕坝恢复后对环境的影响。比较分析塞罕坝修复前后的环境条件。
2. 塞罕坝 1 树农场的恢复在抵御沙尘暴中发挥了重要作用。请选择合适的指标，收集相关数据，建立评价塞罕坝对北京抗沙尘暴能力影响的数学模型，并定量评价塞罕坝在北京抵御沙尘暴中的作用。
3. 假设我们计划将塞罕坝的生态保护模型扩展到全国，请建立数学模型并收集相关数据，以确定中国哪些地理位置需要建立生态区域。生态保护区），并确定待建设的生态区域的数量或规模，并评价其对实现中国碳中和目标的影响。
4. 中国的塞罕坝生态保护模式以亚太地区为例。请从亚太地区选择另一个国家建立数学模型，收集相关数据，然后讨论该国需要建设哪个地理位置。生态保护区)，并保留待建生态区域的数量或规模；此外，评估其对吸收温室气体和减少碳排放的影响。
5. 请向亚太数学竞赛建模组委会(APX4CM)撰写非技术性报告。描述您的模型，并提出建设生态保护区的可行计划和建议。

2、生态足迹法、生态容量、生态补偿

综合评价主要是三个关键技术。

• 指标的选取
• 权重的确定
• 适宜的模型

上面是概要性的对，综合评价进行说明。

生态足迹（英文：Ecological footprint,EF）就是能够持续地提供资源或消纳废物的、具有生物生产力的地域空间（biologically productive areas），其含义就是要维持一个人、地区、国家的生存所需要的或者指能够容纳人类所排放的废物的、具有生物生产力的地域面积。生态足迹估计要承载一定生活质量的人口，需要多大的可供人类使用的可再生资源或者能够消纳废物的生态系统，又称之为“适当的承载力”（appropriated carrying capacity）。

这个是搞生态的必修课。

整个评估可以着眼为塞罕坝的建设，对生态容量的提升。然后可以量化的提出生态补偿。

上表是计算生态容量的一些基础的转化。

公式是上面6个公式，看着很吓人，其实就是简单的加减乘除。

这里只需要找到对应的增加的面积就可以算出生态承载力。

比如找到具体的数据，用excel 就可以算出类似上面的数据。

后续的计算，可以参考

基于能值生态足迹的国家重点生态功能区补偿
XX省区际生态补偿标准核算 ——基于生态足迹方法
基于生态经济学理论与方法的生态补偿量化研究
基于生态足迹的XXX发展生态补偿 标准量化研究

类似这种的文章很多。这里就不再详细描述。

最终可以以年份为评价对象，讲清楚这个项目建设的意义。

类似上面的例子，其中 st1表示一个客观的标准的值。

运用topsis vikor或者其它模型，最终展示，年份的环境状况的优劣拓扑图。

并解释其原因。

也可以不用客观标准的评价对象。弄出上面样子的。整个评价过程的逼近情况。

把上面的港口想象成年份

上面是最后逼近的效果。

按照上面的评价整个过程。

展示整体的逼近过程。

3、从亚太地区选择另一个国家建立数学模型

压力-状态-响应( PSR) 模型 与驱动力-压力-状态-影 响-响应( DPSIR)两种是在环评里时常用到的。

从亚太里选择一个国家，与塞罕坝进行对比，这就最少有2个评价对象了。就可以用VIKOR-AISM联用的方式直观的展示评价对象的好坏。

当然，可以构造多个方案来进行比较。

以上面的为例。

每一列是指标，行是评价对象（方案，样本，……）

通过带权重的闵可夫斯基公式，分别计算两列。

可以评价出每一列的不同排序。

上面是得出妥协解的聚类特征。

也就是这道题未必就只选一个地方，可以选多个地方，也可以选一个虚拟的地方，但是构造出多个方案，然后把塞罕坝当成一个标杆最后给出对比评价。

VIKOR说一下。

一句话解释vikor就是 带权值的闵可夫斯基公式的运用。

当范数取1的时候就是 带权值的曼哈顿距离 也是通常求总分进行评价的方式，如高考总分。

当范数取无穷大的时候就是带权值的切比雪夫距离。

以上的思路可以拓展出无数种可能。

就把vikor替换从 两个带权值的 距离公式，分析其妥协解的特征排序。

亚太杯数学建模竞赛C题解题思路

第一题

问题分析：
第一问是一个评价类问题，需要收集数据计算因变量（即生态环境得分）和自变量（比如氧气、水源等等）。由于塞罕坝恢复前后是一个时间维度的变化，我们需要收集塞罕坝恢复前后这段时间的各变量数据。
可实现模型：秩和比评价法、主成分分析（自变量太多，可以降维）

使用网站：SPSSPRO免费在线数据分析
模型教程：

输入正向变量：指标值越大评价越好的指标
输入负向指标：指标值月销评价越好的指标
直接输出全模板分析报告（可用于论文）

https://www.zhihu.com/video/1447714292221407232

除此之外，该题还可以用：

• 量化分析方法：层次分析法、秩和比评价法等等
• 回归分析方法：最小二乘线性回归、主成分分析（自变量太多，可以降维）、岭回归（线性回归自变量共线性太严重时可做）等等
• 机器学习方法：神经网络、随机森林、xgboost等等

第二题

问题分析：
第二问与第一问解决方式一样，第一问核心是对环境的影响，第二问主要是对抗沙能力的影响，所以在构建指标时，要选取抗沙的评价指标（如降雨量、温度、过度破坏植被等因素）。

第三题

问题分析：
第三问需要确定哪些地理位置需要建设生态区，这里涉及到一个优化问题，一般要达到成本最小、效益最大的目的（即成本函数最小化、效益函数最大化求解），对于这种二（多）目标决策优化，最简单的可以对多目标函数进行线性加权从而转换为单目标决策优化。（注意：这里的效益主要是环境指标得分，成本是指建设生态区的可实现难度得分等等）

优化决策的约数条件：有文献认为资源因素（森林面积、湿地面积等等）和社会因素（人口、城市建成区面积）显著影响生态保护区，各个地区有较大的差异，可以根据第一问提到的方法来对各地区生态保护区规模进行预测。在生态保护区规模的约束下，再进行成本最小、效益最大的优化决策。

简单方法：通过第一问可以得到某地区“建设前后的生态环境得分提升的差值”，若该值是正的且越大越好，那么就需要建设生态区；而对于成本指标计算到的“建设前后的成本得分差值”，使得该值越小越好。然后对两个指标等权重综合评分。

复杂方法：若是想要拿高等级奖项，最好用仿真优化算法（如遗传算法、粒子群法），同样成本函数最小化、效益函数最大化求解。

第四题

问题分析：
第四问与第三问解决方式一样，第一问核心是针对于我国某地区哪些地理位置需要建设生态区，第二问主要针对亚太地区其他国家哪些地理位置需要建设生态区。