一个无向图的邻接矩阵也是个实对称矩阵，它能否运用实对称矩阵的某些特有性质实现某些运用呢？
当然可以。无向图的邻接矩阵确实具有实对称性的特点，而实对称矩阵的一些“独门绝技”，在图论和相关应用领域中，能够派上大用场，为我们提供深刻的洞察和解决问题的利器。我们不妨深入挖掘一下这些“实对称”的魅力。
实对称矩阵在无向图邻接矩阵中的体现与运用
首先，让我们来回顾一下实对称矩阵的几个核心特质：
1. 特征值皆为实数： 这是最基础也最重要的一点。
2. 存在一组完备的实数特征向量： 而且这些特征向量可以正交化，构成一个标准正交基。
3. 可对角化： 存在一个正交矩阵 $P$，使得 $P^T A P = D$，其中 $D$ 是一个对角矩阵，对角线上的元素就是 $A$ 的特征值。
无向图的邻接矩阵 $A$，其定义就是 $A_{ij} = 1$ 如果顶点 $i$ 和顶点 $j$ 之间有边，否则为 $0$。由于图是无向的，连接 $i$ 到 $j$ 的边与连接 $j$ 到 $i$ 的边是同一条边，因此 $A_{ij} = A_{ji}$。这就是为什么无向图的邻接矩阵一定是实对称的。
那么，这些实对称矩阵的特质如何转化为对无向图的理解和应用呢？
1. 特征值：揭示图的结构和属性
实对称矩阵的特征值，对于无向图的邻接矩阵来说，拥有非常丰富的图论意义。
最大特征值 (主特征值) 与图的连通性/重要性： 图的最大特征值（通常记为 $lambda_{max}$）与图的“活力”或者说“重要性”息息相关。
连通性： 如果一个图是连通的，那么它的主特征值是正的。更进一步，如果一个图是强连通的（有向图的情况，但无向图连通就够了），并且所有边权重都是正的（这里我们假设是简单的无向图，边权重为1），那么主特征值是大于0的。一些更深入的结果表明，主特征值的大小与图的“紧密度”或“中心性”有关。
PageRank 的基石： 你可能听说过 Google 的 PageRank 算法，它用于衡量网页的重要性。PageRank 的核心思想就是将互联网看作一个巨大的图，网页是顶点，超链接是边。而 PageRank 的计算过程，实际上就是在求解这个图的邻接矩阵（经过一些转化）的主特征向量。这个主特征向量中的分量，就代表了对应网页的重要性。一个网页被其他重要网页链接得越多，其自身的重要性就越高。这是一个非常经典的将线性代数的特征值问题应用于实际问题（网页排名）的例子。
传播和扩散： 在物理学或社会科学中，如果我们将图看作一个网络，顶点代表个体，边代表相互作用。邻接矩阵的特征值就描述了信息、热量或疾病在网络中的传播模式。例如，最大特征值可能与网络中信息传播的速度有关。
特征值谱与图的同构性： 即使两个图结构不同，但如果它们的邻接矩阵具有相同的特征值（即特征值谱相同），我们说它们是“谱同构”的。虽然谱同构不一定意味着图同构（存在不同的图具有相同的特征值谱，称为“奇异图”或“非同构但谱同构”的图），但在很多情况下，特征值谱是判断图结构相似性的有力工具。例如，在化学中，分子的结构可以用图来表示，其谱特征值（有时是拉普拉斯矩阵的特征值）可以用来预测分子的性质。
其他特征值： 其他特征值也包含了图的结构信息，例如最小特征值与图的“剪切”或“分裂”复杂度有关。
2. 特征向量：网络的结构和模式
与特征值相伴随的特征向量，同样意义非凡。
主特征向量与重要节点识别： 对应于最大特征值（主特征值）的特征向量，其分量的大小反映了对应顶点的“重要性”或“影响力”。正如 PageRank 所展示的那样，主特征向量可以帮助我们识别网络中最有影响力的节点。例如，在社交网络中，拥有最大主特征向量分量的用户可能是意见领袖。
傅里叶变换的类比： 在图上，特征向量可以被看作是图的“基函数”或“模式”。类似傅里叶分析将信号分解到不同频率的正弦波基函数上，图的特征向量可以将图上的信号（例如，节点上的数值）分解到不同的“图频率”上。
图信号处理： 这种思想催生了“图信号处理”（Graph Signal Processing, GSP）这一领域。通过将节点上的数据表示为图的向量，然后利用邻接矩阵（或拉普拉斯矩阵）的特征向量进行谱分析，我们可以对图上的数据进行滤波、降噪、压缩等操作。例如，对社交网络中的用户兴趣进行分析，可以将兴趣强度放在节点上，然后通过特征向量分解来理解不同兴趣群体之间的关系。
社区发现： 某些特征向量可以揭示图的社区结构。例如，在一些社区发现算法中，会计算拉普拉斯矩阵的某些特征向量，然后根据这些特征向量的值将顶点聚类，从而识别出不同的社区。
正交性带来的优势： 由于实对称矩阵的特征向量可以正交化，这意味着我们可以找到一组独立的、不相关的“模式”来描述图的结构。这使得分析更加清晰，并且在算法设计时提供了便利。
3. 对角化：简化计算和理解
实对称矩阵可以对角化，即 $A = P D P^T$，其中 $P$ 是由特征向量构成的正交矩阵，$D$ 是对角矩阵，对角线元素是特征值。
矩阵函数计算的便利： 很多图相关的算法或分析需要计算邻接矩阵的函数，例如矩阵指数 $e^A$ 或幂次 $A^k$。如果直接计算这些矩阵函数会非常耗时，尤其对于大型图。但是，利用对角化：
$f(A) = P f(D) P^T$
其中 $f(D)$ 是一个对角矩阵，其对角线元素是 $f(lambda_i)$。这样，计算复杂性大大降低。
图上的随机游走： 邻接矩阵的幂次 $A^k$ 的 $(i, j)$ 元素表示从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 长度为 $k$ 的路径数量。计算 $A^k$ 可以帮助我们分析图上的随机游走过程。通过对角化，可以更有效地计算出在 $k$ 步后到达某个顶点的概率。
图的连通性分析： 考虑 $(I+A)^k$ 矩阵，如果它的某个元素非零，意味着存在一条从对应顶点到另一个顶点的路径（经过一些节点）。通过特征值分析，可以更有效地判断图的连通性。
理解图的动态过程： 在一些模拟系统中，图的演化或状态传播可以由 $x(t+1) = Ax(t)$ 来描述。通过对角化，可以将这种线性动力学解耦到特征向量的独立分量上，从而更容易理解系统的演化规律。
4. 谱嵌入（Spectral Embedding）
利用特征向量的性质，我们可以将高维的图结构“嵌入”到低维空间中，同时保留图的连接信息。这对于可视化和模式识别非常有用。
多维尺度分析 (MDS) 的一种变体： 谱嵌入可以看作是多维尺度分析的一种，它利用图的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量来计算节点之间的距离或相似度，并在低维空间中表示它们的位置。例如，将社交网络中的用户根据他们的连接关系映射到二维平面上，这样就可以直观地看到用户群体和社群结构。
总结一下，无向图的邻接矩阵作为实对称矩阵，其核心特质（实数特征值、完备实数特征向量、可对角化）赋予了我们理解和运用图结构的新视角和强大工具：
特征值： 揭示了图的整体性质，如连通性、重要性，并与信息传播、网络动力学紧密相关。
特征向量： 指出了网络中的关键节点和内在模式，是图信号处理、社区发现等领域的基石。
对角化： 极大地简化了复杂的矩阵运算，使得分析图上的动力学过程（如随机游走）成为可能。
可以说，实对称矩阵的这些“特有性质”，不仅仅是数学上的优美，更是将抽象的图结构转化为可量化、可分析的数值信息，从而在计算机科学、物理学、生物学、社会学等众多领域发挥着不可或缺的作用。理解这些性质，就像是掌握了开启图论奥秘的一把钥匙。
实对称矩阵在无向图邻接矩阵中的体现与运用
首先，让我们来回顾一下实对称矩阵的几个核心特质：
1. 特征值皆为实数： 这是最基础也最重要的一点。
2. 存在一组完备的实数特征向量： 而且这些特征向量可以正交化，构成一个标准正交基。
3. 可对角化： 存在一个正交矩阵 $P$，使得 $P^T A P = D$，其中 $D$ 是一个对角矩阵，对角线上的元素就是 $A$ 的特征值。
无向图的邻接矩阵 $A$，其定义就是 $A_{ij} = 1$ 如果顶点 $i$ 和顶点 $j$ 之间有边，否则为 $0$。由于图是无向的，连接 $i$ 到 $j$ 的边与连接 $j$ 到 $i$ 的边是同一条边，因此 $A_{ij} = A_{ji}$。这就是为什么无向图的邻接矩阵一定是实对称的。
那么，这些实对称矩阵的特质如何转化为对无向图的理解和应用呢？
1. 特征值：揭示图的结构和属性
实对称矩阵的特征值，对于无向图的邻接矩阵来说，拥有非常丰富的图论意义。
最大特征值 (主特征值) 与图的连通性/重要性： 图的最大特征值（通常记为 $lambda_{max}$）与图的“活力”或者说“重要性”息息相关。
连通性： 如果一个图是连通的，那么它的主特征值是正的。更进一步，如果一个图是强连通的（有向图的情况，但无向图连通就够了），并且所有边权重都是正的（这里我们假设是简单的无向图，边权重为1），那么主特征值是大于0的。一些更深入的结果表明，主特征值的大小与图的“紧密度”或“中心性”有关。
PageRank 的基石： 你可能听说过 Google 的 PageRank 算法，它用于衡量网页的重要性。PageRank 的核心思想就是将互联网看作一个巨大的图，网页是顶点，超链接是边。而 PageRank 的计算过程，实际上就是在求解这个图的邻接矩阵（经过一些转化）的主特征向量。这个主特征向量中的分量，就代表了对应网页的重要性。一个网页被其他重要网页链接得越多，其自身的重要性就越高。这是一个非常经典的将线性代数的特征值问题应用于实际问题（网页排名）的例子。
传播和扩散： 在物理学或社会科学中，如果我们将图看作一个网络，顶点代表个体，边代表相互作用。邻接矩阵的特征值就描述了信息、热量或疾病在网络中的传播模式。例如，最大特征值可能与网络中信息传播的速度有关。
特征值谱与图的同构性： 即使两个图结构不同，但如果它们的邻接矩阵具有相同的特征值（即特征值谱相同），我们说它们是“谱同构”的。虽然谱同构不一定意味着图同构（存在不同的图具有相同的特征值谱，称为“奇异图”或“非同构但谱同构”的图），但在很多情况下，特征值谱是判断图结构相似性的有力工具。例如，在化学中，分子的结构可以用图来表示，其谱特征值（有时是拉普拉斯矩阵的特征值）可以用来预测分子的性质。
其他特征值： 其他特征值也包含了图的结构信息，例如最小特征值与图的“剪切”或“分裂”复杂度有关。
2. 特征向量：网络的结构和模式
与特征值相伴随的特征向量，同样意义非凡。
主特征向量与重要节点识别： 对应于最大特征值（主特征值）的特征向量，其分量的大小反映了对应顶点的“重要性”或“影响力”。正如 PageRank 所展示的那样，主特征向量可以帮助我们识别网络中最有影响力的节点。例如，在社交网络中，拥有最大主特征向量分量的用户可能是意见领袖。
傅里叶变换的类比： 在图上，特征向量可以被看作是图的“基函数”或“模式”。类似傅里叶分析将信号分解到不同频率的正弦波基函数上，图的特征向量可以将图上的信号（例如，节点上的数值）分解到不同的“图频率”上。
图信号处理： 这种思想催生了“图信号处理”（Graph Signal Processing, GSP）这一领域。通过将节点上的数据表示为图的向量，然后利用邻接矩阵（或拉普拉斯矩阵）的特征向量进行谱分析，我们可以对图上的数据进行滤波、降噪、压缩等操作。例如，对社交网络中的用户兴趣进行分析，可以将兴趣强度放在节点上，然后通过特征向量分解来理解不同兴趣群体之间的关系。
社区发现： 某些特征向量可以揭示图的社区结构。例如，在一些社区发现算法中，会计算拉普拉斯矩阵的某些特征向量，然后根据这些特征向量的值将顶点聚类，从而识别出不同的社区。
正交性带来的优势： 由于实对称矩阵的特征向量可以正交化，这意味着我们可以找到一组独立的、不相关的“模式”来描述图的结构。这使得分析更加清晰，并且在算法设计时提供了便利。
3. 对角化：简化计算和理解
实对称矩阵可以对角化，即 $A = P D P^T$，其中 $P$ 是由特征向量构成的正交矩阵，$D$ 是对角矩阵，对角线元素是特征值。
矩阵函数计算的便利： 很多图相关的算法或分析需要计算邻接矩阵的函数，例如矩阵指数 $e^A$ 或幂次 $A^k$。如果直接计算这些矩阵函数会非常耗时，尤其对于大型图。但是，利用对角化：
$f(A) = P f(D) P^T$
其中 $f(D)$ 是一个对角矩阵，其对角线元素是 $f(lambda_i)$。这样，计算复杂性大大降低。
图上的随机游走： 邻接矩阵的幂次 $A^k$ 的 $(i, j)$ 元素表示从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 长度为 $k$ 的路径数量。计算 $A^k$ 可以帮助我们分析图上的随机游走过程。通过对角化，可以更有效地计算出在 $k$ 步后到达某个顶点的概率。
图的连通性分析： 考虑 $(I+A)^k$ 矩阵，如果它的某个元素非零，意味着存在一条从对应顶点到另一个顶点的路径（经过一些节点）。通过特征值分析，可以更有效地判断图的连通性。
理解图的动态过程： 在一些模拟系统中，图的演化或状态传播可以由 $x(t+1) = Ax(t)$ 来描述。通过对角化，可以将这种线性动力学解耦到特征向量的独立分量上，从而更容易理解系统的演化规律。
4. 谱嵌入（Spectral Embedding）
利用特征向量的性质，我们可以将高维的图结构“嵌入”到低维空间中，同时保留图的连接信息。这对于可视化和模式识别非常有用。
多维尺度分析 (MDS) 的一种变体： 谱嵌入可以看作是多维尺度分析的一种，它利用图的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量来计算节点之间的距离或相似度，并在低维空间中表示它们的位置。例如，将社交网络中的用户根据他们的连接关系映射到二维平面上，这样就可以直观地看到用户群体和社群结构。
总结一下，无向图的邻接矩阵作为实对称矩阵，其核心特质（实数特征值、完备实数特征向量、可对角化）赋予了我们理解和运用图结构的新视角和强大工具：
特征值： 揭示了图的整体性质，如连通性、重要性，并与信息传播、网络动力学紧密相关。
特征向量： 指出了网络中的关键节点和内在模式，是图信号处理、社区发现等领域的基石。
对角化： 极大地简化了复杂的矩阵运算，使得分析图上的动力学过程（如随机游走）成为可能。
可以说，实对称矩阵的这些“特有性质”，不仅仅是数学上的优美，更是将抽象的图结构转化为可量化、可分析的数值信息，从而在计算机科学、物理学、生物学、社会学等众多领域发挥着不可或缺的作用。理解这些性质，就像是掌握了开启图论奥秘的一把钥匙。
网友意见
要说无向图对应的对称Laplace矩阵特有的性质的话，其实还真一时想不起来，毕竟基础领域里的人都特别热爱推广，无向图上的东西会推广到更一般的有向图上。而无向图也可以看作是特殊的双向连接的有向图。
限定在比较基础的知识上吧，比如最小生成树、谱聚类（无向图上的谱分解）之类的。当然不得不说的是这些都是存在有向图版本的，但在无向图上的应用多很多。
好，来到最小生成树，下面会介绍最小生成树的计数跟一个快速逼近的算法。再次声明最小生成树的计数有有向图版本，但快速逼近算法应该还没有人提。
对于一个无向图而言，其所谓的最小生成树就是一个连通了所有顶点的子图，而且是棵树。要得到一课最小生成树，那么可以考虑
- Kruskal Algorithm
- Prim Algorithm
最小生成树计数
但今天的问题不是这个，而是计算最小生成树总数。比如这个图：
一共有4种最小生成树，
这种简单还好枚举，更复杂的就需要点代数方法了。
还是以上面的图为例，构造邻接矩阵：
再构造度矩阵：
然后就得到了Laplace矩阵
观察得L是个半正定对称矩阵。然后就比较魔术了，选取任意的第行第列，比如，删除它们，得到子矩阵：
本来半正定的式子变成正定了，然后计算其行列式值
刚好是其最小生成树的总数。 这个就是 Kirchhoff’s Matrix Tree Theorem，对任意大的无向图，都有子矩阵行列式值跟最小生成树总数相等，更准确的表述请参考链接1。总之，一个组合计数问题转换成了一个线性代数问题。一个看起来比较麻烦的问题变成了一个可以简单硬算的问题。
快速算法
对于某些超大型的图，也被称作复杂网络，其最小生成树的总数可以作为连通性的一种指标，那么如果使用Kirchhoff’s Matrix Tree Theorem进行计算的话，就需要算矩阵的行列式。
如果是稠密矩阵，其计算量相当于一次LU分解，N个节点的图对应计算的时间复杂度就是
后来有人（参考链接3）意识到了下面这个算法（参考链接2）刚好可以干这个事情
Han, Insu, Dmitry Malioutov, and Jinwoo Shin. "Large-scale log-determinant computation through stochastic Chebyshev expansions." International Conference on Machine Learning. PMLR, 2015.
用了一种有趣的随机算法对进行逼近。对于任何一个正定矩阵，假设其最大特征值的一个任意上界为吗，先做变换，平移下特征值到 区间上，
那么有
其中 是N阶的正交多项式投影，也就是正交多项式展开逼近。另一方面，把矩阵放在多项式里计算也是挺费事的，幸运的是最后也只需要计算trace
更准确地讲，是
其中u是归一化的高斯随机向量或者Rademacher随机向量，这里的B得是个对称矩阵。
然后只要采几个样进行逼近，矩阵跟矩阵的乘法也不用算了。剩下再用三项递推公式来继续减少计算量，总计算量就是几个矩阵向量乘法跟向量求和平均了，时间复杂度大概在:
不知道上面这个算不算利用了Laplace矩阵的对称性质，逼近算法本身倒是跟混沌多项式的思想挺像的：
参考链接：
[1] Kirchhoff’s Matrix Tree Theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Kirchhoff%27s_theorem
[2] 原算法 http://proceedings.mlr.press/v37/hana15.html
[3] 在图上的应用 https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0898122117307010
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