为什么熵值最大的分布状态是正态分布而不是均匀分布？
这个问题很有意思，很多人第一反应都会觉得，信息最“平均”的分布不就是均匀分布吗？怎么会是正态分布呢？这背后其实涉及到一个对“熵”和“信息”理解的细微之处，以及我们讨论的“状态”的背景。
咱们先不着急给答案，先来聊聊什么是熵，以及它跟信息有什么关系。
1. 什么是熵？
在信息论里，熵（Entropy）衡量的是一个随机变量的不确定性或者信息量的大小。说得更直白一点，就是你不知道结果会是什么的时候，有多“懵”。
想象一下，你手里有一个骰子。
均匀分布的骰子： 这个骰子很公平，掷出1、2、3、4、5、6的点数，每种情况的概率都是1/6。在你掷出之前，你不知道会是几点，这存在不确定性。每种结果出现的概率都很平均，所以你获得的“惊喜”或“信息”是一样的。
不均匀分布的骰子： 假设这个骰子被做了手脚，掷出“6”的概率是1/2，而其他点数出现的概率都很小。在你掷出之前，你几乎可以猜到很大概率会是“6”，你的不确定性就小了很多。你可能还没看结果，就猜中了。
熵越高，代表不确定性越大，信息量也越大。为什么？因为当你知道一个事件发生的概率很小时，一旦它发生了，你会觉得“哇！真不容易！”，这带给你的信息就越多。反之，如果一个事件总是发生，它带来的信息量就很小，因为你早就知道了。
2. 为什么我们常说均匀分布“最随机”？
这里需要区分一下“概率分布的形状”和“信息的平均程度”。
从“概率平均性”来看： 在一个有限的、离散的取值空间里（比如上面那个骰子），如果所有可能结果出现的概率都相等，那么分布就是均匀的。在这种情况下，我们可以说信息是“平均分配”到了每个结果上。你不能根据某个结果的概率就预判出它会发生，每一种结果都给了你“同等份”的惊喜。
但是，熵的计算方式不是简单的“概率相等就是熵最大”。 熵的计算公式是：
$H(X) = sum_{i=1}^{n} p_i log_2(p_i)$
其中，$p_i$ 是第 $i$ 个结果出现的概率。
我们来看看均匀分布和正态分布在熵计算上的表现。
3. 正态分布和均匀分布在熵计算上的比较
这里要稍微引入一个概念：连续分布的熵。
连续均匀分布： 在一个有限区间 $[a, b]$ 上的连续均匀分布，其概率密度函数是 $f(x) = frac{1}{ba}$ 对于 $a le x le b$，其他地方为0。它的熵是 $log_2(ba)$。这意味着，区间越大，熵越大。
正态分布： 一个均值为 $mu$，方差为 $sigma^2$ 的正态分布，其概率密度函数是 $f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$。它的熵是 $log_2(sqrt{2pi e}sigma) = frac{1}{2}log_2(2pi e sigma^2)$。
你可能会注意到，正态分布的熵依赖于方差 $sigma$。方差越大，表示数据越分散，不确定性越高，熵也越高。
所以，问题来了：为什么说在“有约束的连续区间”上，正态分布可以达到最大的熵？
这里关键在于我们讨论的是什么“状态”，以及这个状态有什么“约束”。通常在讨论“熵值最大”时，我们是在一个给定的取值范围（或者说约束条件下）来寻找最优的概率分布。
如果我们的取值范围是无限的，没有其他约束，那么没有一个分布能够达到最大的熵。 因为你可以无限地“摊平”你的概率，让不确定性无限增大。
但如果我们加上一些自然的约束条件，情况就不同了。 最常见的约束是：
1. 概率必须积分为1： $int_{infty}^{infty} f(x) dx = 1$ (这是所有概率分布的定义)
2. 期望值是固定的： $E[X] = int_{infty}^{infty} x f(x) dx = mu$ (分布的平均值是确定的)
3. 方差是固定的： $Var(X) = E[(Xmu)^2] = int_{infty}^{infty} (xmu)^2 f(x) dx = sigma^2$ (数据离散程度是确定的)
在这些约束条件下（特别是固定均值和方差），数学证明表明，正态分布是熵最大的分布。
那为什么是这样呢？
这可以用一个直观但不够严谨的方式来理解：
想象你在一个舞台上跳舞，你有很多动作可以做。
均匀分布： 你所有的动作都用同样的时间来跳。这看起来很平均，很“全能”。
正态分布： 你大部分时间都跳的是你最擅长、最喜欢的那些“核心动作”，但偶尔也会穿插一些不太常用但同样重要的“花式动作”。这些核心动作出现的频率最高，越偏离核心动作，出现的频率就越低。
如果你的目标是让你的舞蹈“变化最多、最难以预测”，同时你又有一些必须遵守的“节奏和力度”（对应于固定的均值和方差），那么正态分布的模式往往能更好地实现这一点。
正态分布的“尾巴”很重要： 虽然正态分布的峰值集中在均值附近，但它有两个无限延伸的“尾巴”。这意味着，尽管极端值出现的概率较低，但它们确实是可能出现的，并且这些可能性是无限的。这正是它不确定性的来源。正态分布巧妙地利用了这些尾巴来最大化整体的不确定性。
均匀分布的“硬边界”： 在有限区间上的均匀分布，它的不确定性在于它可以在区间的任何一点以相等的概率出现。一旦出了这个区间，它就不可能出现。它的“可能性”被一个硬性的边界锁定了。
打个比方：
假设你手里有一个数字飞镖盘（从1到100，每个数字出现的概率都是1/100）。这是一个离散的均匀分布。它很公平，每一镖都可能落在任何一个数字上。
现在想象你站在一个房间里，你手里有一个飞镖，你必须瞄准一个点投掷。
如果我们固定你瞄准的平均位置（均值），并且限制你飞镖能散开的范围（方差）。
如果你的飞镖总是精确地打在中心点，那就没有不确定性了。
如果你允许飞镖有一定的散射，但不能太离谱。那么，一个“最舒服”、“最容易”的点你可能会打中很多次，离这个点越远，打中的可能性越小，但你仍然可能打到很远的边缘区域。这种“核心集中，边缘分散”的模式，在保持固定均值和方差的情况下，创造了最大的整体不确定性。这就是正态分布。
一个均匀分布呢？ 在固定均值和方差的约束下，你想想看，如果你的分布是均匀的，那么它在区间的两端也必须有和中心相同的概率。但一旦你增加了区间两端的概率，为了保持总概率为1，你势必会降低中心区域的概率，这反而减少了你“最常发生”的那个情况带来的确定性。
总结一下：
在有限的、有约束的（通常是固定均值和方差）连续变量情况下，正态分布通过将概率主要集中在均值附近，但同时允许概率沿着无限延展的尾部缓慢下降，从而最大化了整体的不确定性，也就是熵。
而均匀分布，虽然在离散情况下是最“平均”的，但在连续且有均值/方差约束的条件下，它的“硬边界”反而限制了它进一步增加不确定性的可能性。它将概率平均分配在整个允许的区间内，这使得它在满足约束的同时，无法达到正态分布那种“既有核心又有广阔尾部”的细致的不确定性结构。
所以，不是说均匀分布不“随机”，而是说在特定的数学约束下，正态分布更能代表一种“最无知”、“最不确定”的状态。这在物理学（如热力学中的平衡态）、统计学和机器学习等领域都有重要的应用。
咱们先不着急给答案，先来聊聊什么是熵，以及它跟信息有什么关系。
1. 什么是熵？
在信息论里，熵（Entropy）衡量的是一个随机变量的不确定性或者信息量的大小。说得更直白一点，就是你不知道结果会是什么的时候，有多“懵”。
想象一下，你手里有一个骰子。
均匀分布的骰子： 这个骰子很公平，掷出1、2、3、4、5、6的点数，每种情况的概率都是1/6。在你掷出之前，你不知道会是几点，这存在不确定性。每种结果出现的概率都很平均，所以你获得的“惊喜”或“信息”是一样的。
不均匀分布的骰子： 假设这个骰子被做了手脚，掷出“6”的概率是1/2，而其他点数出现的概率都很小。在你掷出之前，你几乎可以猜到很大概率会是“6”，你的不确定性就小了很多。你可能还没看结果，就猜中了。
熵越高，代表不确定性越大，信息量也越大。为什么？因为当你知道一个事件发生的概率很小时，一旦它发生了，你会觉得“哇！真不容易！”，这带给你的信息就越多。反之，如果一个事件总是发生，它带来的信息量就很小，因为你早就知道了。
2. 为什么我们常说均匀分布“最随机”？
这里需要区分一下“概率分布的形状”和“信息的平均程度”。
从“概率平均性”来看： 在一个有限的、离散的取值空间里（比如上面那个骰子），如果所有可能结果出现的概率都相等，那么分布就是均匀的。在这种情况下，我们可以说信息是“平均分配”到了每个结果上。你不能根据某个结果的概率就预判出它会发生，每一种结果都给了你“同等份”的惊喜。
但是，熵的计算方式不是简单的“概率相等就是熵最大”。 熵的计算公式是：
$H(X) = sum_{i=1}^{n} p_i log_2(p_i)$
其中，$p_i$ 是第 $i$ 个结果出现的概率。
我们来看看均匀分布和正态分布在熵计算上的表现。
3. 正态分布和均匀分布在熵计算上的比较
这里要稍微引入一个概念：连续分布的熵。
连续均匀分布： 在一个有限区间 $[a, b]$ 上的连续均匀分布，其概率密度函数是 $f(x) = frac{1}{ba}$ 对于 $a le x le b$，其他地方为0。它的熵是 $log_2(ba)$。这意味着，区间越大，熵越大。
正态分布： 一个均值为 $mu$，方差为 $sigma^2$ 的正态分布，其概率密度函数是 $f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$。它的熵是 $log_2(sqrt{2pi e}sigma) = frac{1}{2}log_2(2pi e sigma^2)$。
你可能会注意到，正态分布的熵依赖于方差 $sigma$。方差越大，表示数据越分散，不确定性越高，熵也越高。
所以，问题来了：为什么说在“有约束的连续区间”上，正态分布可以达到最大的熵？
这里关键在于我们讨论的是什么“状态”，以及这个状态有什么“约束”。通常在讨论“熵值最大”时，我们是在一个给定的取值范围（或者说约束条件下）来寻找最优的概率分布。
如果我们的取值范围是无限的，没有其他约束，那么没有一个分布能够达到最大的熵。 因为你可以无限地“摊平”你的概率，让不确定性无限增大。
但如果我们加上一些自然的约束条件，情况就不同了。 最常见的约束是：
1. 概率必须积分为1： $int_{infty}^{infty} f(x) dx = 1$ (这是所有概率分布的定义)
2. 期望值是固定的： $E[X] = int_{infty}^{infty} x f(x) dx = mu$ (分布的平均值是确定的)
3. 方差是固定的： $Var(X) = E[(Xmu)^2] = int_{infty}^{infty} (xmu)^2 f(x) dx = sigma^2$ (数据离散程度是确定的)
在这些约束条件下（特别是固定均值和方差），数学证明表明，正态分布是熵最大的分布。
那为什么是这样呢？
这可以用一个直观但不够严谨的方式来理解：
想象你在一个舞台上跳舞，你有很多动作可以做。
均匀分布： 你所有的动作都用同样的时间来跳。这看起来很平均，很“全能”。
正态分布： 你大部分时间都跳的是你最擅长、最喜欢的那些“核心动作”，但偶尔也会穿插一些不太常用但同样重要的“花式动作”。这些核心动作出现的频率最高，越偏离核心动作，出现的频率就越低。
如果你的目标是让你的舞蹈“变化最多、最难以预测”，同时你又有一些必须遵守的“节奏和力度”（对应于固定的均值和方差），那么正态分布的模式往往能更好地实现这一点。
正态分布的“尾巴”很重要： 虽然正态分布的峰值集中在均值附近，但它有两个无限延伸的“尾巴”。这意味着，尽管极端值出现的概率较低，但它们确实是可能出现的，并且这些可能性是无限的。这正是它不确定性的来源。正态分布巧妙地利用了这些尾巴来最大化整体的不确定性。
均匀分布的“硬边界”： 在有限区间上的均匀分布，它的不确定性在于它可以在区间的任何一点以相等的概率出现。一旦出了这个区间，它就不可能出现。它的“可能性”被一个硬性的边界锁定了。
打个比方：
假设你手里有一个数字飞镖盘（从1到100，每个数字出现的概率都是1/100）。这是一个离散的均匀分布。它很公平，每一镖都可能落在任何一个数字上。
现在想象你站在一个房间里，你手里有一个飞镖，你必须瞄准一个点投掷。
如果我们固定你瞄准的平均位置（均值），并且限制你飞镖能散开的范围（方差）。
如果你的飞镖总是精确地打在中心点，那就没有不确定性了。
如果你允许飞镖有一定的散射，但不能太离谱。那么，一个“最舒服”、“最容易”的点你可能会打中很多次，离这个点越远，打中的可能性越小，但你仍然可能打到很远的边缘区域。这种“核心集中，边缘分散”的模式，在保持固定均值和方差的情况下，创造了最大的整体不确定性。这就是正态分布。
一个均匀分布呢？ 在固定均值和方差的约束下，你想想看，如果你的分布是均匀的，那么它在区间的两端也必须有和中心相同的概率。但一旦你增加了区间两端的概率，为了保持总概率为1，你势必会降低中心区域的概率，这反而减少了你“最常发生”的那个情况带来的确定性。
总结一下：
在有限的、有约束的（通常是固定均值和方差）连续变量情况下，正态分布通过将概率主要集中在均值附近，但同时允许概率沿着无限延展的尾部缓慢下降，从而最大化了整体的不确定性，也就是熵。
而均匀分布，虽然在离散情况下是最“平均”的，但在连续且有均值/方差约束的条件下，它的“硬边界”反而限制了它进一步增加不确定性的可能性。它将概率平均分配在整个允许的区间内，这使得它在满足约束的同时，无法达到正态分布那种“既有核心又有广阔尾部”的细致的不确定性结构。
所以，不是说均匀分布不“随机”，而是说在特定的数学约束下，正态分布更能代表一种“最无知”、“最不确定”的状态。这在物理学（如热力学中的平衡态）、统计学和机器学习等领域都有重要的应用。
网友意见
在应用最大熵原理得到最大熵分布的时候，不同的具体条件会给出不同的具体分布。可参考wikipedia：https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_entropy_probability_distribution
简单来说，正态分布是在给定finite mean and variance下的最大熵分布。这可以用最大熵原理加上这两个限制条件直接推导得到。
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