拉氏乘数法中为什么认为最值一定是极值呢？
在拉格朗日乘数法中，我们之所以认为求得的最值一定是极值，可以从几何直观和数学理论两个层面来理解。这并不是说“最值”和“极值”在所有情况下都可以随意互换，而是说在拉格朗日乘数法应用的典型场景下，它能帮助我们找到的那个“最”符合条件的点，在局部来看，确实表现为函数的极值点。
我们先来捋一捋拉格朗日乘数法的核心思想。它解决的问题是：在某个约束条件下，求一个函数的最大值或最小值。比如，我们要在一个圆周上找一个点，使得这个点到原点的距离最大或最小。这里，“在圆周上”就是约束条件，“到原点的距离”就是我们要优化的函数。
1. 几何直观：相切是关键
想象一下我们要优化的函数 $f(x, y)$，它的等值线是一族曲线。如果我们同时有一个约束条件 $g(x, y) = c$，这个约束条件本身也定义了一个曲线（或者曲面，如果是在三维或更高维度）。
拉格朗日乘数法的核心就在于：当函数 $f$ 在约束曲线 $g=c$ 上取得最值（最大值或最小值）时，函数 $f$ 的等值线一定与约束曲线 $g=c$ 在该点相切。
为什么会这样呢？我们来分析一下。
如果等值线与约束曲线不相切： 也就是说，它们是相交的。那么在约束曲线上，我们就可以沿着与等值线方向“稍微移动”一下，从而改变 $f$ 的值。如果在相交点附近，我们还能找到比当前点 $f$ 值更大（或者更小）的点，那么这个相交点显然就不是最值点。只有当沿着约束曲线移动时，我们无法再增大（或减小）$f$ 的值了，这才可能是最值点。而这种“无法再增大”或“无法再减小”的状态，在局部上就表现为与约束曲线的“相切”，因为在切点处，函数 $f$ 的等值线的方向“恰好”与约束曲线的方向一致或相反，再稍微偏离约束曲线一点，函数的增减方向就改变了。
用梯度来解释相切： 我们知道，函数 $f$ 的梯度 $ abla f$ 是指向函数值增长最快的方向。同样，约束函数 $g$ 的梯度 $ abla g$ 指向 $g$ 值增长最快的方向。当 $f$ 在 $g=c$ 上取得最值时，在约束曲线上沿着任何方向移动，函数的 $f$ 值都不会再增大（或减小）。这意味着，在最值点处，沿着约束曲线的方向的 $f$ 的方向导数为零。如果 $ abla g$ 在该点不为零（这是拉格朗日乘数法的基本假设），那么约束曲线的方向就是由 $ abla g$ 决定的。当沿着约束曲线无法改变 $f$ 的值时，就意味着 $ abla f$ 在该点要么是零向量，要么是与约束曲线切线方向共线的向量。如果 $ abla f$ 与 $ abla g$ 共线，它们就平行（同向或反向），这在几何上就意味着等值线与约束曲线相切。
总结几何直观： 最值点就像一个“爬坡”或者“下坡”到顶（或到底）的点。如果这个点还在一条路上（约束曲线），那么当你在路上走到一个最高点或者最低点时，你不能再往前走了而不离开这条路，并且往任何方向走都会让你“下坡”（如果是最高点）或者“上坡”（如果是最低点）。这时候，你所处的点，在沿着这条路的方向上看，你的“速度”就为零了，这和函数的等值线恰好“擦边”而过，没有继续交叉，就是相切的体现。
2. 数学理论：必要条件
从数学上讲，拉格朗日乘数法提供的是最值点的一个必要条件。这个必要条件就是：在极值点，目标函数的梯度 $ abla f$ 与约束函数的梯度 $ abla g$ 成比例，即 $ abla f = lambda abla g$，其中 $lambda$ 是拉格朗日乘数。
为什么说这个条件对应于极值呢？
考虑一个参数化路径： 假设约束曲线 $g(x,y)=c$ 可以被参数化为 $(x(t), y(t))$。那么我们要优化的函数在约束上的值就变成了 $F(t) = f(x(t), y(t))$。如果 $(x_0, y_0)$ 是 $f$ 在约束上的一个极值点，那么对于函数 $F(t)$，它在该点对应的 $t_0$ 也必须是极值点。根据微积分的知识，如果 $F(t)$ 在 $t_0$ 取得极值，那么 $F'(t_0) = 0$。
链式法则的应用： 应用链式法则，我们有：
$F'(t) = frac{partial f}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial f}{partial y} frac{dy}{dt} = abla f cdot (frac{dx}{dt}, frac{dy}{dt})$
注意到 $(frac{dx}{dt}, frac{dy}{dt})$ 就是约束曲线的切向量 $r'(t)$。所以，在极值点 $t_0$，我们有 $ abla f cdot r'(t_0) = 0$。
这意味着，目标函数的梯度 $ abla f$ 在该点必须垂直于约束曲线的切线方向 $r'(t_0)$。
约束函数的梯度与切线方向的关系： 同样，对于约束函数 $g(x,y)=c$，它在点 $(x_0, y_0)$ 的梯度 $ abla g$ 是垂直于等高线 $g=c$ 的法线方向。而约束曲线的切线方向 $r'(t_0)$ 是垂直于 $ abla g$ 的。因此，$ abla g$ 的方向也与约束曲线的切线方向垂直（或者说平行于法线方向）。
得出 $ abla f$ 与 $ abla g$ 的关系： 如果 $ abla f$ 和 $ abla g$ 都垂直于相同的切线方向 $r'(t_0)$，那么 $ abla f$ 和 $ abla g$ 就必须平行（同向或反向）。换句话说，存在一个标量 $lambda$ 使得 $ abla f = lambda abla g$。
这个 $ abla f = lambda abla g$ 的条件，实际上就是我们利用拉格朗日乘数法解题时建立的方程组的来源。这些方程组所解出的点，都是满足“梯度平行”这个条件的点。
关键的澄清：拉格朗日乘数法找到的是“候选点”，这些点是极值点的必要条件，但不是充分条件。
那么，为什么我们又说它找到的是“最值”？这是因为在很多实际问题和函数性质良好的情况下（例如，定义域是紧集且函数是连续的），最值一定存在，而且最值点往往是发生在“边界”或者函数值“平坦”的地方。在拉格朗日乘数法中，“梯度平行”这个条件就捕捉到了这些“平坦”的地方（在约束条件下）。
边界情况： 如果我们优化的函数是在一个闭合区域上（比如一个填充的圆盘），并且我们考虑的是整个区域的最值，那么最值可能发生在区域的内部（此时可能使用无约束优化方法，或者拉格朗日乘数法处理局部极值），也可能发生在区域的边界上。拉格朗日乘数法处理的就是约束边界上的极值。
全局最值 vs. 局部极值： 拉格朗日乘数法直接提供的等式 $ abla f = lambda abla g$ 以及约束 $g=c$ 是寻找满足局部最优条件的点。也就是说，这些点是函数在约束上的“局部极值”。
如何从局部极值得到全局最值？
1. 寻找所有满足拉格朗日乘数条件的点。
2. 检查这些点处的函数值。
3. 同时，还要考虑约束的“特殊”点。 例如，如果约束曲线有尖角或者不光滑的地方，这些地方可能是极值点但梯度不一定平行。在参数化约束时，这些可能对应于参数域的端点。
4. 比较所有这些候选点的函数值。 最大的就是全局最大值，最小的就是全局最小值。
所以，严格来说，拉格朗日乘数法找到的是满足 必要条件 的点，这些点在数学上对应于 局部极值。在许多问题中，我们对这些局部极值进行比较，从而找到全局最值。这是因为，在无约束情况下，函数的极值点（导数为零的点）是潜在的最值点。拉格朗日乘数法将这个概念推广到了有约束的情况：在约束曲线上“梯度为零”（在约束方向上的导数为零）的点，就是潜在的极值点，而这些点正好对应于目标函数等值线与约束曲线的相切点。
总而言之，拉格朗日乘数法认为最值一定是极值（在约束条件下），是因为它找到的是函数在约束曲线上局部性质最“平坦”的点。这些点是全局最值（最大值或最小值）的“候选人”，而这些候选人，在局部上，确实是函数的极值点。我们通过比较这些候选点的函数值，最终确定全局最值。
我们先来捋一捋拉格朗日乘数法的核心思想。它解决的问题是：在某个约束条件下，求一个函数的最大值或最小值。比如，我们要在一个圆周上找一个点，使得这个点到原点的距离最大或最小。这里，“在圆周上”就是约束条件，“到原点的距离”就是我们要优化的函数。
1. 几何直观：相切是关键
想象一下我们要优化的函数 $f(x, y)$，它的等值线是一族曲线。如果我们同时有一个约束条件 $g(x, y) = c$，这个约束条件本身也定义了一个曲线（或者曲面，如果是在三维或更高维度）。
拉格朗日乘数法的核心就在于：当函数 $f$ 在约束曲线 $g=c$ 上取得最值（最大值或最小值）时，函数 $f$ 的等值线一定与约束曲线 $g=c$ 在该点相切。
为什么会这样呢？我们来分析一下。
如果等值线与约束曲线不相切： 也就是说，它们是相交的。那么在约束曲线上，我们就可以沿着与等值线方向“稍微移动”一下，从而改变 $f$ 的值。如果在相交点附近，我们还能找到比当前点 $f$ 值更大（或者更小）的点，那么这个相交点显然就不是最值点。只有当沿着约束曲线移动时，我们无法再增大（或减小）$f$ 的值了，这才可能是最值点。而这种“无法再增大”或“无法再减小”的状态，在局部上就表现为与约束曲线的“相切”，因为在切点处，函数 $f$ 的等值线的方向“恰好”与约束曲线的方向一致或相反，再稍微偏离约束曲线一点，函数的增减方向就改变了。
用梯度来解释相切： 我们知道，函数 $f$ 的梯度 $ abla f$ 是指向函数值增长最快的方向。同样，约束函数 $g$ 的梯度 $ abla g$ 指向 $g$ 值增长最快的方向。当 $f$ 在 $g=c$ 上取得最值时，在约束曲线上沿着任何方向移动，函数的 $f$ 值都不会再增大（或减小）。这意味着，在最值点处，沿着约束曲线的方向的 $f$ 的方向导数为零。如果 $ abla g$ 在该点不为零（这是拉格朗日乘数法的基本假设），那么约束曲线的方向就是由 $ abla g$ 决定的。当沿着约束曲线无法改变 $f$ 的值时，就意味着 $ abla f$ 在该点要么是零向量，要么是与约束曲线切线方向共线的向量。如果 $ abla f$ 与 $ abla g$ 共线，它们就平行（同向或反向），这在几何上就意味着等值线与约束曲线相切。
总结几何直观： 最值点就像一个“爬坡”或者“下坡”到顶（或到底）的点。如果这个点还在一条路上（约束曲线），那么当你在路上走到一个最高点或者最低点时，你不能再往前走了而不离开这条路，并且往任何方向走都会让你“下坡”（如果是最高点）或者“上坡”（如果是最低点）。这时候，你所处的点，在沿着这条路的方向上看，你的“速度”就为零了，这和函数的等值线恰好“擦边”而过，没有继续交叉，就是相切的体现。
2. 数学理论：必要条件
从数学上讲，拉格朗日乘数法提供的是最值点的一个必要条件。这个必要条件就是：在极值点，目标函数的梯度 $ abla f$ 与约束函数的梯度 $ abla g$ 成比例，即 $ abla f = lambda abla g$，其中 $lambda$ 是拉格朗日乘数。
为什么说这个条件对应于极值呢？
考虑一个参数化路径： 假设约束曲线 $g(x,y)=c$ 可以被参数化为 $(x(t), y(t))$。那么我们要优化的函数在约束上的值就变成了 $F(t) = f(x(t), y(t))$。如果 $(x_0, y_0)$ 是 $f$ 在约束上的一个极值点，那么对于函数 $F(t)$，它在该点对应的 $t_0$ 也必须是极值点。根据微积分的知识，如果 $F(t)$ 在 $t_0$ 取得极值，那么 $F'(t_0) = 0$。
链式法则的应用： 应用链式法则，我们有：
$F'(t) = frac{partial f}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial f}{partial y} frac{dy}{dt} = abla f cdot (frac{dx}{dt}, frac{dy}{dt})$
注意到 $(frac{dx}{dt}, frac{dy}{dt})$ 就是约束曲线的切向量 $r'(t)$。所以，在极值点 $t_0$，我们有 $ abla f cdot r'(t_0) = 0$。
这意味着，目标函数的梯度 $ abla f$ 在该点必须垂直于约束曲线的切线方向 $r'(t_0)$。
约束函数的梯度与切线方向的关系： 同样，对于约束函数 $g(x,y)=c$，它在点 $(x_0, y_0)$ 的梯度 $ abla g$ 是垂直于等高线 $g=c$ 的法线方向。而约束曲线的切线方向 $r'(t_0)$ 是垂直于 $ abla g$ 的。因此，$ abla g$ 的方向也与约束曲线的切线方向垂直（或者说平行于法线方向）。
得出 $ abla f$ 与 $ abla g$ 的关系： 如果 $ abla f$ 和 $ abla g$ 都垂直于相同的切线方向 $r'(t_0)$，那么 $ abla f$ 和 $ abla g$ 就必须平行（同向或反向）。换句话说，存在一个标量 $lambda$ 使得 $ abla f = lambda abla g$。
这个 $ abla f = lambda abla g$ 的条件，实际上就是我们利用拉格朗日乘数法解题时建立的方程组的来源。这些方程组所解出的点，都是满足“梯度平行”这个条件的点。
关键的澄清：拉格朗日乘数法找到的是“候选点”，这些点是极值点的必要条件，但不是充分条件。
那么，为什么我们又说它找到的是“最值”？这是因为在很多实际问题和函数性质良好的情况下（例如，定义域是紧集且函数是连续的），最值一定存在，而且最值点往往是发生在“边界”或者函数值“平坦”的地方。在拉格朗日乘数法中，“梯度平行”这个条件就捕捉到了这些“平坦”的地方（在约束条件下）。
边界情况： 如果我们优化的函数是在一个闭合区域上（比如一个填充的圆盘），并且我们考虑的是整个区域的最值，那么最值可能发生在区域的内部（此时可能使用无约束优化方法，或者拉格朗日乘数法处理局部极值），也可能发生在区域的边界上。拉格朗日乘数法处理的就是约束边界上的极值。
全局最值 vs. 局部极值： 拉格朗日乘数法直接提供的等式 $ abla f = lambda abla g$ 以及约束 $g=c$ 是寻找满足局部最优条件的点。也就是说，这些点是函数在约束上的“局部极值”。
如何从局部极值得到全局最值？
1. 寻找所有满足拉格朗日乘数条件的点。
2. 检查这些点处的函数值。
3. 同时，还要考虑约束的“特殊”点。 例如，如果约束曲线有尖角或者不光滑的地方，这些地方可能是极值点但梯度不一定平行。在参数化约束时，这些可能对应于参数域的端点。
4. 比较所有这些候选点的函数值。 最大的就是全局最大值，最小的就是全局最小值。
所以，严格来说，拉格朗日乘数法找到的是满足 必要条件 的点，这些点在数学上对应于 局部极值。在许多问题中，我们对这些局部极值进行比较，从而找到全局最值。这是因为，在无约束情况下，函数的极值点（导数为零的点）是潜在的最值点。拉格朗日乘数法将这个概念推广到了有约束的情况：在约束曲线上“梯度为零”（在约束方向上的导数为零）的点，就是潜在的极值点，而这些点正好对应于目标函数等值线与约束曲线的相切点。
总而言之，拉格朗日乘数法认为最值一定是极值（在约束条件下），是因为它找到的是函数在约束曲线上局部性质最“平坦”的点。这些点是全局最值（最大值或最小值）的“候选人”，而这些候选人，在局部上，确实是函数的极值点。我们通过比较这些候选点的函数值，最终确定全局最值。
网友意见
本文的完成经过了 @柴斯基 的帮助。
在实际问题中，被讨论的优化问题即最值问题常常针对凸集上的凸函数，并且是二阶连续可微的。
以下假定 是开集，即不存在边界，并且所谓的凸函数其实是严格凸函数。
在 维欧氏空间上，称一个点集 是凸集，是指对于任意 和 成立
特别地，在实数集上，所有的开区间都是凸集；在平面上，椭圆盘、抛物线的内侧等等都是凸集。
称凸集 上的 元函数 是凸函数，是指对于任意 和 成立
例如二次函数 是实数集上的凸函数。进一步地，所有的正定二次型
都是凸函数，证明留做习题。
我们有类似一元微积分中的结论。设 是凸集 上的二阶连续可微的 元函数，则 是凸函数的充分条件是 对于任意 是正定矩阵，其中 定义为
根据多元微积分理论，设 是区域 上的二阶连续可微的 元函数， 满足
且 正定，则 是 的极小值点。所以凸函数的所有稳定点都是极小值点。
进一步地，凸函数的稳定点如果存在，那么是唯一的。这是因为稳定点处的所有方向导数都是零，在之前的假设下，任取单位向量 构造 上的函数
其中 是使得 总有意义的最大值，则 和 都单调递增，进而 在形如 的点处方向为 的方向导数大于零，说明此点不是稳定点。
再由凸集的定义，这些点与 完全囊括了凸集 并且 所以 也是 的最小值点。
综上所述，凸集上的凸函数至多有一个稳定点，当有稳定点时，它是极小值点，也是最小值点。
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