拉马努金的那些壮观的公式，都是怎么发现的？
首先得明白，拉马努金不是那种在黑板前推导、在草稿纸上演算出无数个方程的数学家。他的工作方式，更像是“接收”信息。他自己曾这样描述，他的公式和定理是来自于一位女神（Namagiri Thayar）的启示，这些公式如同梦境般清晰地出现在他的脑海中。当然，我们现代人可能会将其理解为他内心深处强大的直觉和潜意识的驱动。
想象一下，一个来自印度南部的青年，几乎没有受过正规的数学高等教育，却对无穷级数、数论、连分数等领域有着惊人的洞察力。他没有图书馆可以查阅最新的研究成果，没有同行可以交流探讨。他所拥有的一切，就是他那颗敏锐得不可思议的心灵，以及无数本他自己写下的笔记。
这些笔记，就是他通往数学宝库的地图。里面密密麻麻地写满了各种各样的公式，很多时候，他只是写下结果，而缺乏详尽的证明过程。这让当时的数学家们，包括他后来的重要合作伙伴哈代，都感到困惑和着迷。他们看到的不是逻辑的链条，而是宛如一颗颗璀璨的珍珠，直接呈现在眼前。
那么，这些“珍珠”是如何被发现的呢？
1. 深邃的直觉与洞察力： 这是最核心的要素。拉马努金拥有非凡的数学直觉。他能“看到”数字之间的关系，即使这些关系在当时是无人能够理解的。比如，他关于π的级数公式，比如他对整数分区的研究，这些都是在他之前的数学家们难以企及的高度。他能够敏锐地捕捉到看似无关的数学对象之间的微妙联系，并将它们编织成和谐的整体。
2. 无休止的试验与计算（非形式化）： 虽然他没有像传统数学家那样进行严谨的符号推导，但拉马努金大量的计算是他发现公式的基础。他会花大量时间去计算、去观察、去猜测。他会一遍又一遍地检验一个想法，直到它在无数个例子中都表现出惊人的规律性。这更像是一种“经验主义”的数学探索，但他的“经验”是基于一种超越常人的洞察力。
3. 经典的“数”的吸引力： 拉马努金对数字有着近乎狂热的热爱。他能从数字本身的美丽中找到启发。例如，传说中哈代去看望生病的拉马努金时，提到他坐的出租车号码是1729，这个数字很普通。拉马努金立刻回应说：“不，这是一个非常有意思的数字！它是两个立方数之和，有兩種方法可以表示成兩個立方數之和。即 $1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3$。” 这个故事完美地展现了他对数字特殊性的敏感和热爱。这种热爱驱使他去探索数字的更深层次的奥秘。
4. 借鉴与升华前人的知识： 尽管拉马努金没有受过正规训练，但他并非完全孤立。他在印度时接触过一些数学书籍，比如《رامانujanのノートブック》（George E. Andrews 编辑出版的他的笔记本）。他会从这些有限的资源中汲取灵感，然后将它们推向一个全新的高度。他不是在重复别人的工作，而是在已有的基础上，以一种前所未有的方式进行扩展和创新。
5. 与哈代的合作与交流： 拉马努金的伟大成就，在很大程度上也得益于他与英国数学家G.H. Hardy的合作。Hardy是一位严谨而富有声望的数学家，他看到了拉马努金笔记中那些“奇迹”般的公式，并意识到它们的重要性。Hardy和他的同事Littlewood花了很多精力去理解和证明拉马努金的许多公式。这种合作是拉马努金思想传播和被认可的关键。Hardy就像一位翻译家，将拉马努金的“诗歌”翻译成了数学界能够理解和尊重的“散文”。
一个具体的例子：
我们来看看拉马努金关于π的级数公式之一。在20世纪初，数学家们已经知道一些计算π的级数，但它们收敛得非常缓慢。拉马努金发现了一个非常惊人的级数，它的收敛速度非常快，以至于每增加一项就能使π的值精确到小数点后八位。这个公式是：
$frac{1}{pi} = 12 sum_{n=0}^{infty} frac{(1)^n (6n)! (13591409 + 545140134n)}{(3n)!(n!)^3 640320^{3n + 3/2}}$
这个公式的长相本身就足够令人震撼。它是如何被发现的？我们可以想象拉马努金在无数次的思考中，可能观察到某些特定的模形式（modular forms）与π的计算之间存在某种深刻的联系。他可能通过对数论中某些恒等式的研究，或者在分析连分数时偶然发现了这种模式。他“知道”这个公式是正确的，即使他无法立即给出完整的证明。他的直觉告诉他，这种形式会与π产生如此高效的联系。
总结来说，拉马努金公式的发现，并非单一因素的结果，而是以下几种能力的奇妙融合：
超凡的数学直觉和洞察力： 他能“看到”别人看不到的数学规律。
不懈的思考和对数字的热爱： 他沉浸在数字的世界里，乐此不疲地探索。
非形式化的试验与验证： 他通过大量计算来支持自己的猜测。
对已有知识的吸收与创新： 他站在前人的肩膀上，但看到了更远的风景。
与顶尖数学家的合作： 他得到了哈代等人的支持和帮助，将他的发现传递给世界。
拉马努金的发现过程，就像是在一个黑暗的房间里，用内心的火焰点燃了一盏盏探照灯，照亮了数学宇宙中许多前人未曾涉足的角落。他的公式之所以壮观，不仅在于它们的美丽和力量，更在于它们诞生的方式，那是一种纯粹的、来自灵魂深处的数学创造力。
网友意见
Ramanujan可能是最后一个现代人目睹过的古代数学家，他肯定很不容易理解，就像第一个引入0的概念的人，在数千年前是怎样的情形？
要是他能多活二十年数值分析这门课应该叫拉马努金学了
Ramanujan的事迹在我的个人知识体系里是一个很bug的存在，让我一直百思不得其解。因为我不相信一个人可以无中生有创造公式，神明托梦更是无稽之谈。最近又仔细看了the man who knew infinity，以下是我对Ramanujan思维方式的一点猜测：
我觉得他能够“凭空”写出那些令人匪夷所思的公式其实是依赖于他超级强大的运算能力。这里先举两个我自己的例子：
我在小学低年级的时候就发现了x^2-y^2=(x+y)(x-y)这个公式。这个式子很简单，用简单的代数知识就可以证明，但是当时我并没有学过任何的代数知识，我是如何得到的呢？以下是我的思维完整过程：
因为我算过4-1=3，而3=3*1，3和1恰好等于2+1和2-1；同样我也算过9-1=8，而8=4*2，4和2恰好是3+1和3-1。9-4也是这个道理。
所以虽然小学时没有接受过任何正规的代数知识，也无法给出证明，但是通过大量运算经验我就可以猜出“两个数的平方差等于两个数之和乘以两个数之差”这样的公式。
另一个例子是，我在小学时也自己发现了等差数列求和的经验公式，同样完全没有代数知识的情况下，大量运算经验让我知道用1+9，2+8，3+7...这样的算法会更简便。
好，现在回到Ramanujan上来。显然，Ramnujan的运算能力远超常人，影片和各种资料也多次证实这一点。做一个类比，在他眼里做乘方开方的运算就和我们做加减法的难度差不多。在他眼里做积分和微分就和我们做乘除法差不多。而且他可以轻松把这些乘方开方积分微分的数字算到成百上千。
当你有了这等惊人的运算能力，你会觉得那些公式就变得瞬间亲切了（你不妨把那些式子乘方开方全部替换成加减法来看）。因为他完全可以就像我小时候那样，只需自己代数字进去算就可以了，完全不需要知道证明过程，但是却可以猜出公式。这就是他为什么能写出公式，却很多时候写不出证明过程的尴尬。因为实际情况是，他脑子里算了一大堆发现都是对的，但是哈代问他要严格证明的时候他却给不出，最后只能说是直觉。这也是影片中他给人感觉一直不太自信的原因，原因很大可能就是他是用枚举法算的，而不是严格证的，所以一直感觉他无法据理力争。
我们常人看这些公式觉得简直开挂，仿佛来自虚空，归根结底还是我们的运算能力跟不上罢了。
注：以上完全都是个人的猜测，基本无法证实。而我这样的弱鸡肯定是无法完全理解拉马这样的绝世天才。这里提出来只是为了让我自己的知识体系里少一些bug和盲点。
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