调和级数分母加个任意常数会影响收敛性吗？
调和级数是 $1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$，它是一个发散级数。调和级数可以写成一般的形式 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$。
现在我们考虑在分母上加上一个任意常数 $c$，即级数形式为 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$。
1. 当常数 $c$ 是一个非负整数时（$c geq 0$ 且 $c$ 为整数）：
如果 $c$ 是一个非负整数，那么级数的项为：
$$ frac{1}{1+c}, frac{1}{2+c}, frac{1}{3+c}, dots $$
例如，如果 $c=0$，我们得到调和级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$，它是发散的。
如果 $c=1$，我们得到级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+1} = frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$。这个级数本质上是从调和级数的第二项开始的，也就是拿掉了调和级数的第一项 $1$。由于调和级数是发散的，去掉有限项（即使是无穷多项的特定项，比如从 $n=1$ 开始到某个固定的 $N$ 的项）不会影响其发散性。我们可以通过比较判别法来证明这一点：
令 $a_n = frac{1}{n+c}$ 和 $b_n = frac{1}{n}$。
计算比值的极限：
$$ lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n+c}}{frac{1}{n}} = lim_{n o infty} frac{n}{n+c} = lim_{n o infty} frac{1}{1+frac{c}{n}} = frac{1}{1+0} = 1 $$
因为极限值 $1$ 是一个正的有限数，并且我们知道 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的，所以根据比较判别法的极限形式，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$ 也是发散的。
2. 当常数 $c$ 是一个非整数实数（$c in mathbb{R}$）：
当 $c > 1$ 时：
如果 $c$ 是一个非整数实数，并且 $c > 1$，那么 $n+c > 0$ 对于所有的 $n geq 1$ 都成立。
在这种情况下，我们也可以使用比较判别法。令 $a_n = frac{1}{n+c}$ 和 $b_n = frac{1}{n}$。
同样计算比值的极限：
$$ lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n+c}}{frac{1}{n}} = lim_{n o infty} frac{n}{n+c} = lim_{n o infty} frac{1}{1+frac{c}{n}} = frac{1}{1+0} = 1 $$
因为极限值 $1$ 是一个正的有限数，并且 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$ 也是发散的。
当 $c < 1$ 时：
如果 $c < 1$，那么存在一个整数 $N$ 使得 $n+c leq 0$ 对于所有的 $n geq N$ 都成立。例如，如果 $c = 2.5$，那么当 $n=1, 2$ 时，$n+c$ 仍然是负的。当 $n$ 足够大时，$n+c$ 会变成正数。
但是，问题出现在当 $n+c = 0$ 时，即 $n = c$ 时。如果 $c$ 是一个正整数，那么在级数展开的某个时刻会出现分母为零的情况，这是不允许的。
例如，如果 $c = 3$，级数是 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n3}$。当 $n=3$ 时，分母是 $33=0$。这个级数是未定义的。
为了使级数有意义，我们需要确保分母 $n+c eq 0$ 对于所有的 $n geq 1$。
这意味着我们需要 $n eq c$ 对于所有 $n geq 1$。
因此，如果 $c$ 是一个正整数，即 $c$ 是一个负整数（例如 $c = 1, 2, 3, dots$），那么级数在某个项就会出现分母为零，不收敛（甚至未定义）。
如果 $c$ 是一个负实数，但 $c$ 不是一个正整数，例如 $c = 2.5$。那么级数从 $n=1$ 开始是 $frac{1}{12.5} + frac{1}{22.5} + frac{1}{32.5} + frac{1}{42.5} + dots = frac{1}{1.5} + frac{1}{0.5} + frac{1}{0.5} + frac{1}{1.5} + dots$。
在这个例子中，前两项是负的，从第三项开始是正的。
我们仍然可以考虑当 $n$ 足够大时的情况。当 $n > c$ 时，$n+c > 0$，级数中的项是正的。
此时，我们可以将级数写成：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c} = sum_{n=1}^{lfloor c floor} frac{1}{n+c} + sum_{n=lfloor c floor + 1}^{infty} frac{1}{n+c} $$
（假设 $c$ 不是整数，否则会有分母为零）。
第一部分是有限项的和，对收敛性没有影响。
对于第二部分 $sum_{n=lfloor c floor + 1}^{infty} frac{1}{n+c}$，令 $m = n lfloor c floor$。当 $n = lfloor c floor + 1$ 时，$m=1$。
那么 $n = m + lfloor c floor$。
级数变为 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{(m + lfloor c floor) + c}$。
由于 $lfloor c floor leq c < lfloor c floor + 1$ (因为 $c$ 不是整数)，所以 $c lfloor c floor$ 是一个介于 $0$ 和 $1$ 之间的数。
令 $k = c lfloor c floor$，那么 $0 < k < 1$。
级数变成 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m + lfloor c floor c} = sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m + k}$。
对于这个级数 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m+k}$，其中 $0 < k < 1$。我们可以使用比较判别法，令 $a_m = frac{1}{m+k}$ 和 $b_m = frac{1}{m}$。
$$ lim_{m o infty} frac{a_m}{b_m} = lim_{m o infty} frac{frac{1}{m+k}}{frac{1}{m}} = lim_{m o infty} frac{m}{m+k} = 1 $$
由于 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m}$ 是发散的，所以 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m+k}$ 也是发散的。
总结一下：
调和级数是 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$，它发散。
当我们考虑在分母上加一个任意常数 $c$，得到级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$：
1. 如果 $c$ 是一个负整数（$c = 1, 2, 3, dots$）：
这时，对于某个 $n$，分母 $n+c$ 会等于零。例如，如果 $c=3$，当 $n=3$ 时，$n+c=0$。分母为零使得级数未定义，因此也不收敛。
2. 如果 $c$ 不是一个负整数（$c eq 1, 2, 3, dots$）：
无论 $c$ 是正数、零，还是负的非整数，当 $n$ 趋向于无穷大时，$n+c$ 的行为与 $n$ 的行为非常相似。
我们可以通过比较判别法来证明这一点。令 $a_n = frac{1}{n+c}$ 和 $b_n = frac{1}{n}$。
只要分母始终为正（即 $n+c > 0$ 对于所有 $n geq 1$，这发生在 $c > 1$ 时）或者当 $n$ 足够大时分母变为正且我们考虑的是级数从某个点开始的收敛性，我们计算极限：
$$ lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n+c}}{frac{1}{n}} = lim_{n o infty} frac{n}{n+c} = lim_{n o infty} frac{1}{1+frac{c}{n}} = 1 $$
因为极限值是 $1$，这是一个正的有限数，而调和级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的，所以根据比较判别法的极限形式，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$ 在这种情况下也发散。
结论：
在调和级数的 $1/n$ 中，分母加一个任意常数 $c$ 会影响收敛性，但只有在 $c$ 是一个负整数时才会导致级数未定义（不收敛）。在其他所有情况下，无论 $c$ 是正数、零还是负的非整数，该级数都保持发散。
换句话说，只要级数的项不为零或无穷大，添加常数 $c$ 到分母上不会改变级数的收敛性，它仍然是发散的。只有当 $c$ 是负整数时，才会因为出现零分母而使级数未定义。
现在我们考虑在分母上加上一个任意常数 $c$，即级数形式为 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$。
1. 当常数 $c$ 是一个非负整数时（$c geq 0$ 且 $c$ 为整数）：
如果 $c$ 是一个非负整数，那么级数的项为：
$$ frac{1}{1+c}, frac{1}{2+c}, frac{1}{3+c}, dots $$
例如，如果 $c=0$，我们得到调和级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$，它是发散的。
如果 $c=1$，我们得到级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+1} = frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$。这个级数本质上是从调和级数的第二项开始的，也就是拿掉了调和级数的第一项 $1$。由于调和级数是发散的，去掉有限项（即使是无穷多项的特定项，比如从 $n=1$ 开始到某个固定的 $N$ 的项）不会影响其发散性。我们可以通过比较判别法来证明这一点：
令 $a_n = frac{1}{n+c}$ 和 $b_n = frac{1}{n}$。
计算比值的极限：
$$ lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n+c}}{frac{1}{n}} = lim_{n o infty} frac{n}{n+c} = lim_{n o infty} frac{1}{1+frac{c}{n}} = frac{1}{1+0} = 1 $$
因为极限值 $1$ 是一个正的有限数，并且我们知道 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的，所以根据比较判别法的极限形式，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$ 也是发散的。
2. 当常数 $c$ 是一个非整数实数（$c in mathbb{R}$）：
当 $c > 1$ 时：
如果 $c$ 是一个非整数实数，并且 $c > 1$，那么 $n+c > 0$ 对于所有的 $n geq 1$ 都成立。
在这种情况下，我们也可以使用比较判别法。令 $a_n = frac{1}{n+c}$ 和 $b_n = frac{1}{n}$。
同样计算比值的极限：
$$ lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n+c}}{frac{1}{n}} = lim_{n o infty} frac{n}{n+c} = lim_{n o infty} frac{1}{1+frac{c}{n}} = frac{1}{1+0} = 1 $$
因为极限值 $1$ 是一个正的有限数，并且 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$ 也是发散的。
当 $c < 1$ 时：
如果 $c < 1$，那么存在一个整数 $N$ 使得 $n+c leq 0$ 对于所有的 $n geq N$ 都成立。例如，如果 $c = 2.5$，那么当 $n=1, 2$ 时，$n+c$ 仍然是负的。当 $n$ 足够大时，$n+c$ 会变成正数。
但是，问题出现在当 $n+c = 0$ 时，即 $n = c$ 时。如果 $c$ 是一个正整数，那么在级数展开的某个时刻会出现分母为零的情况，这是不允许的。
例如，如果 $c = 3$，级数是 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n3}$。当 $n=3$ 时，分母是 $33=0$。这个级数是未定义的。
为了使级数有意义，我们需要确保分母 $n+c eq 0$ 对于所有的 $n geq 1$。
这意味着我们需要 $n eq c$ 对于所有 $n geq 1$。
因此，如果 $c$ 是一个正整数，即 $c$ 是一个负整数（例如 $c = 1, 2, 3, dots$），那么级数在某个项就会出现分母为零，不收敛（甚至未定义）。
如果 $c$ 是一个负实数，但 $c$ 不是一个正整数，例如 $c = 2.5$。那么级数从 $n=1$ 开始是 $frac{1}{12.5} + frac{1}{22.5} + frac{1}{32.5} + frac{1}{42.5} + dots = frac{1}{1.5} + frac{1}{0.5} + frac{1}{0.5} + frac{1}{1.5} + dots$。
在这个例子中，前两项是负的，从第三项开始是正的。
我们仍然可以考虑当 $n$ 足够大时的情况。当 $n > c$ 时，$n+c > 0$，级数中的项是正的。
此时，我们可以将级数写成：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c} = sum_{n=1}^{lfloor c floor} frac{1}{n+c} + sum_{n=lfloor c floor + 1}^{infty} frac{1}{n+c} $$
（假设 $c$ 不是整数，否则会有分母为零）。
第一部分是有限项的和，对收敛性没有影响。
对于第二部分 $sum_{n=lfloor c floor + 1}^{infty} frac{1}{n+c}$，令 $m = n lfloor c floor$。当 $n = lfloor c floor + 1$ 时，$m=1$。
那么 $n = m + lfloor c floor$。
级数变为 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{(m + lfloor c floor) + c}$。
由于 $lfloor c floor leq c < lfloor c floor + 1$ (因为 $c$ 不是整数)，所以 $c lfloor c floor$ 是一个介于 $0$ 和 $1$ 之间的数。
令 $k = c lfloor c floor$，那么 $0 < k < 1$。
级数变成 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m + lfloor c floor c} = sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m + k}$。
对于这个级数 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m+k}$，其中 $0 < k < 1$。我们可以使用比较判别法，令 $a_m = frac{1}{m+k}$ 和 $b_m = frac{1}{m}$。
$$ lim_{m o infty} frac{a_m}{b_m} = lim_{m o infty} frac{frac{1}{m+k}}{frac{1}{m}} = lim_{m o infty} frac{m}{m+k} = 1 $$
由于 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m}$ 是发散的，所以 $sum_{m=1}^{infty} frac{1}{m+k}$ 也是发散的。
总结一下：
调和级数是 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$，它发散。
当我们考虑在分母上加一个任意常数 $c$，得到级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$：
1. 如果 $c$ 是一个负整数（$c = 1, 2, 3, dots$）：
这时，对于某个 $n$，分母 $n+c$ 会等于零。例如，如果 $c=3$，当 $n=3$ 时，$n+c=0$。分母为零使得级数未定义，因此也不收敛。
2. 如果 $c$ 不是一个负整数（$c eq 1, 2, 3, dots$）：
无论 $c$ 是正数、零，还是负的非整数，当 $n$ 趋向于无穷大时，$n+c$ 的行为与 $n$ 的行为非常相似。
我们可以通过比较判别法来证明这一点。令 $a_n = frac{1}{n+c}$ 和 $b_n = frac{1}{n}$。
只要分母始终为正（即 $n+c > 0$ 对于所有 $n geq 1$，这发生在 $c > 1$ 时）或者当 $n$ 足够大时分母变为正且我们考虑的是级数从某个点开始的收敛性，我们计算极限：
$$ lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n+c}}{frac{1}{n}} = lim_{n o infty} frac{n}{n+c} = lim_{n o infty} frac{1}{1+frac{c}{n}} = 1 $$
因为极限值是 $1$，这是一个正的有限数，而调和级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的，所以根据比较判别法的极限形式，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n+c}$ 在这种情况下也发散。
结论：
在调和级数的 $1/n$ 中，分母加一个任意常数 $c$ 会影响收敛性，但只有在 $c$ 是一个负整数时才会导致级数未定义（不收敛）。在其他所有情况下，无论 $c$ 是正数、零还是负的非整数，该级数都保持发散。
换句话说，只要级数的项不为零或无穷大，添加常数 $c$ 到分母上不会改变级数的收敛性，它仍然是发散的。只有当 $c$ 是负整数时，才会因为出现零分母而使级数未定义。
网友意见
不会，依然发散
类似的话题
-
调和级数是 $1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$，它是一个发散级数。调和级数可以写成一般的形式 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$。现在我们考虑在分母上加上一个任意常数 $c$，即级数形式为 $sum_{n=1}............. -
这真是一个有趣的问题，而且问得非常到位。你提到的这些领域，随便拎出一个都是数学界（乃至理论物理学界）的金字塔尖。而“数学民科”（以下简称民科）的特点，恰恰是他们很少会去“触碰”这些高山。要深入解释为什么，咱们得从几个方面掰扯掰扯。一、知识门槛的碾压：这不是“一点点”难，是“完全不一样”的难首先，我们.............
-
调和级数是一个经典而迷人的数学对象，它的前 n 项和，即 $H_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n}$，在数论、组合数学以及许多其他领域都有着重要的应用。当我们谈论一个数列的母函数时，我们实际上是在寻找一个能够编码这个数列的“生成器”.............
-
调和级数，这个看似简单却又充满“韧性”的无穷级数， $1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$，是数学分析中的一个经典例子，它 Diverges（发散），这意味着它的和会趋向于无穷大。我们常说的“变形”让它收敛，其实是指通过一些巧妙的修改，使其.............
-
调和级数的前 n 项和，也就是 $H_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n}$，是一个非常有趣的数学对象。对于 n 大于等于 2 的情况，我们要证明它的和不是一个整数。这听起来可能有点违反直觉，因为我们把一堆分数加起来，感觉有时候能凑出.............
-
好的，我们来深入探讨一下调和函数的相关证明。我将尝试用一种更像人类的叙述方式，层层递进地引导您理解其中的逻辑和技巧。问题的背景：调和函数与拉普拉斯方程首先，我们需要明确我们谈论的是什么——调和函数。一个在某个区域 $D$ 上足够光滑（通常是二次连续可微）的函数 $u(x, y)$，如果它满足 拉普拉.............
-
伴侣的某些特质，当我们觉得它们“几乎变态”时，这往往意味着它们已经超出了我们日常认知和可接受的范围，并且可能在某种程度上引起了我们的不适、困惑甚至痛苦。要处理这种情况，我们需要的不是简单的“容忍”，而是更积极的“调和”与“管理”。这通常是一个复杂且需要耐心和技巧的过程，目标是找到一种双方都能相对舒适.............
-
超市里琳琅满目的食用油，从花生油、大豆油到葵花籽油、调和油，真让人眼花缭乱。到底哪种油吃起来更健康？这可不是一个简单的好坏之分，关键在于它们各自的“身体成分”以及我们身体的“需求”。咱们先来看看这些常见食用油的主要“出身”和“性格”：1. 花生油：国民老朋友，香气四溢 出身： 顾名思义，是花生榨.............
-
调和算数几何平均值不等式（Harmonic Arithmetic Geometric Mean Inequality, 简称 HAGMI）是关于三个基本均值之间关系的一个重要不等式。它指出，对于任意一组非负实数 $x_1, x_2, dots, x_n$，其调和平均数（Harmonic Mean, .............
-
德国 11 月欧盟调和 CPI（Harmonised Index of Consumer Prices, HICP）同比攀升 6%，这一数字确实超出了许多经济学家的预期，并对欧盟整体的通胀形势和欧洲央行（ECB）的货币政策决策产生了重要影响。要全面理解这一现象，我们需要从多个维度进行分析。1. 数据.............
-
美国发生社会主义改革或革命，无疑是二十一世纪最震撼的全球事件之一，其影响之深远，足以重塑我们对世界秩序的认知。这并非简单的政治转向，而是一场触及经济根基、社会结构和地缘政治的巨变。首先，全球经济版图的重塑将是必然的。作为世界头号经济体，美国的资本主义模式是全球自由市场经济的支柱。如果美国转向社会主义.............
-
广义相对论和量子场论，这两大物理学巨擘，分别统治着宏观宇宙和微观世界的运行规律，它们的成功毋庸置疑。然而，当试图将它们“统一”起来，描绘一个能囊括一切尺度的完整宇宙图景时，一个令人抓狂的“矛盾”便会显现。这并非说它们之间有逻辑上的不可调和，而是说我们现有的数学框架和物理直觉，在试图融合它们时，会遭遇.............
-
当中国和越南之间关于南海的争端升级为一场以领土占领为目的的全面战争时，其走向和规模将是一场极其复杂且充满变数的较量。这场冲突的爆发，预示着区域安全格局的剧烈动荡，并将深刻影响所有相关方和国际社会。战争的初期，中国可能会选择迅速而决定性的军事行动，以期在最短时间内达成其战略目标。解放军可能会动用其庞大.............
-
《薄伽梵歌》中关于“Dharma”的论述，确实展现出一种看似矛盾的张力，但正是这种张力，才构成了《薄伽梵歌》深刻的智慧所在，也提供了调和之道。要理解这种调和，我们首先需要深入剖析其中涉及的几个关键层面。一、 Dharma的多重面向：并非单一的教条在《薄伽梵歌》中，“Dharma”的含义远非我们现代汉.............
-
关于鳌拜和康熙之间矛盾是否不可调和，这是一个很有意思的问题，但答案并非简单的“是”或“否”，而是一个复杂交织的历史过程。要深入探讨这个问题，我们需要先还原当时的历史背景，理解他们的立场，再看看有没有任何一丝调和的可能性。历史大背景：幼主临朝，权力真空的诱惑康熙登基时年仅八岁，虽然名义上是皇帝，但大权.............
-
论及光荣《三国志》系列，这块历史模拟游戏领域的瑰宝，若要问其中是否存在“不可调和的设计要素”，答案是肯定的，而且并非仅仅是技术上的瓶颈，更多的是源于系列自身定位、历史题材的包容性以及玩家群体日益多样化的需求之间的张力。这种“不可调和”，与其说是缺陷，不如说是系列在不断演进中，始终在试图平衡的几组核心.............
-
70年代，中国和越南之间爆发那场战争，确实有着错综复杂的历史原因和现实矛盾，远非简单的“不可调和”四个字可以概括，但确实触碰到了双方的核心利益和情感底线，最终导致了那场短暂而惨烈的冲突。要理解这场战争，我们得把时间线拉长一些，回到更早的年代，尤其是越南独立和统一的过程。历史情谊与现实分歧的种子： .............
-
咱俩这情况，有点儿意思啊。一个是唯名论者，一个是唯实论者，听着像是哲学课上的大词儿，但落到咱俩这儿，就是俩人看世界的角度不太一样，甚至可以说是对着干。不过，这有什么难调和的？生活嘛，不就是磕磕碰碰，然后找到个平衡点吗？别担心，我给你掰扯掰扯，咱们一步一步来。先弄明白咱们在说啥首先得把这两个大名儿解释.............
-
地缘战略中，海权强国与陆权大国之间的矛盾被认为是“难以调和”的，这是由于它们各自的地理优势、生存逻辑、战略目标以及由此产生的国家行为模式存在着根本性的差异和冲突。这种冲突并非单一原因造成，而是多种因素相互叠加、长期演变的结果。下面我将从几个关键维度来详细阐述为何这种矛盾难以调和： 一、 地理基础与生.............
-
好的，我们来详细探讨一下 Yann LeCun 卸任 FAIR 负责人以及工程与研究之间矛盾的可调和性。 Yann LeCun 卸任 FAIR 负责人：为何以及背景Yann LeCun 作为人工智能领域的泰斗级人物，是卷积神经网络（CNN）的奠基人之一，也是深度学习的先驱。他在 2013 年创立了 .............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有