可点缩的空间是否一定以其中某一点作为其强形变收缩核呢？

探讨可点缩空间与其强形变收缩核的关系，这是一个非常有趣且涉及空间几何本质的问题。简单来说，可点缩空间不一定以其中某一点作为其强形变收缩核。为了详细阐述这一点，我们需要先厘清几个关键概念，并一步步剥离那些可能让论述显得过于“程序化”的表述。

我们先聊聊什么是“可点缩空间”。想象一下，一个空间就像一张橡皮泥。如果这张橡皮泥可以被无损地拉伸、挤压、扭曲，但不能被撕裂或打洞，那么它就可以被看作是一个“可点缩空间”。更严格地说，在拓扑学中，一个空间是可缩的（contractible），意味着它可以同胚于一个单点。这个“同胚”就好比我们把橡皮泥慢慢捏成一个球，然后这个球再被收缩成一个点，整个过程没有破坏橡皮泥本身的连接性。

接下来，我们再看看“强形变收缩核”（strong deformation retract）。这更像是我们描述橡皮泥收缩过程中的一个“关键步骤”或者说一个“目标状态”。一个空间 $X$ 被称为是空间 $Y$ 的一个强形变收缩核，意味着存在一个形变过程（一个连续函数，可以理解为橡皮泥随时间的变化），使得 $X$ 的所有点最终都收缩到 $Y$ 中的某一点，并且在这个收缩过程中，$X$ 中的点始终保持在 $X$ 的“内部”（相对而言）。更正式一点，如果 $X$ 是 $Y$ 的一个子集，并且存在一个形变 $H: Y imes [0, 1] o Y$ 使得：

1. $H(y, 0) = y$ 对于所有 $y in Y$。
2. $H(y, 1) in X$ 对于所有 $y in Y$。
3. $H(x, t) = x$ 对于所有 $x in X$ 和所有 $t in [0, 1]$。

这里，我们要求的是 $X$ 被收缩成 $Y$ 的一个子集（这里是 $X$ 本身），并且这个子集是一个点。如果 $Y$ 是一个可缩空间，并且 $X$ 是 $Y$ 的一个子集，那么 $X$ 就是 $Y$ 的一个强形变收缩核，如果存在一个形变将 $Y$ 中的所有点收缩到 $X$ 中的某个点，并且在收缩过程中点始终留在 $X$ 中。

现在，我们回到核心问题：可点缩的空间（比如一个同胚于单点的空间）是否一定以其中某一点作为其强形变收缩核？

答案是：不一定。 让我们用一个例子来理解。

想象一个圆盘（比如二维平面上的一个闭圆盘）。这个圆盘是一个可缩空间，因为它同胚于一个点。我们可以把圆盘的边缘点沿着半径方向向圆心收缩，最终所有点都会汇聚到圆心。在这个收缩过程中，圆盘中的任何一点都会被连续地映射到圆心。

现在，让我们考虑这个圆盘内部的边缘圆周。这个圆周本身是不可缩的（它同胚于一个圆，圆是不能收缩成一个点的）。但是，如果我们将圆盘看作是整个空间 $Y$，而圆周看作是其中的一个子集 $X$，那么这个圆盘的中心点恰好是圆周的一个“强形变收缩核”。为什么呢？因为我们可以沿着圆盘的半径将圆周上的每一个点沿着径向向内收缩，最终所有点都汇聚到圆盘的中心。在这个过程中，我们也可以想象成是圆盘被压缩成了一个点。

然而，如果反过来问：一个可缩空间，是否一定以其中某一个“固定”的点作为其强形变收缩核？ 这里的关键在于“固定”。

我们刚才看到的圆盘的例子，圆盘本身是一个可缩空间。我们可以将圆盘收缩到其中心点。这个中心点就是这个收缩过程的“终点”。

但问题在于，一个可缩空间本身可以有很多不同的“收缩方式”。例如，一个线段 $[0, 1]$ 是可缩的，它可以被收缩到 $0$ 点，也可以被收缩到 $1$ 点，或者收缩到 $1/2$ 点。

如果一个空间 $X$ 本身是可缩的，这意味着存在一个同胚 $f: X o {p}$，其中 ${p}$ 是一个单点空间。这个同胚过程就是一种“收缩”。但“强形变收缩核”的概念通常是针对一个空间 $Y$ 和它的一个子集 $X$ 而言的，要求 $X$ 是 $Y$ 的强形变收缩核。

让我们重新聚焦于“可点缩空间”本身。如果“可点缩空间”指的是空间本身是可以被收缩成一个点的（也就是同胚于单点），那么我们考察的是这个空间自身的“收缩特性”。

一个空间 $X$ 是可缩的，这意味着存在一个形变 $H: X imes [0, 1] o X$ 使得：
1. $H(x, 0) = x$
2. $H(x, 1) = p$ （其中 $p$ 是 $X$ 中的某个固定点）
3. $H(p, t) = p$ （要求那个被收缩到的点在形变中保持不变）

如果一个空间满足这样的条件，那么这个固定的点 $p$ 就是这个空间 $X$ 的一个强形变收缩核。

问题出在哪里呢？在于“某个点”的选择性。

一个可缩空间，可以有多种方式被收缩成一个点。例如，一个圆盘可以被收缩到圆心，也可以被“稍微倾斜”地收缩到圆盘内部的任意一点。让我们考虑一个圆盘 $D^2$。它的中心点 $c$ 是它的一处强形变收缩核。如果 $X$ 是这个圆盘 $D^2$ 本身，并且我们要求找到一个子集 $K subseteq D^2$ 使得 $K$ 是 $D^2$ 的一个强形变收缩核，那么 $K$ 可以是 ${c}$，因为存在一个形变 $H(d, t) = tc + (1t)d$（这里的 $d$ 是圆盘中的一点），它将整个圆盘收缩到中心点 $c$，并且点 $c$ 在形变中始终保持为 $c$。

但是，如果我们将问题理解为：一个可缩空间 $X$，它本身的“收缩核”是什么？

在某些定义下，一个空间 $X$ 的收缩核可以被定义为它的一个子空间 $A$，使得 $A$ 是 $X$ 的一个强形变收缩核。在这种情况下，如果 $X$ 是可缩的，那么 $X$ 可以被收缩到一个点。这个点就可以被看作是 $X$ 的一个“收缩核”。

然而，问题的表述更像是问“可点缩空间（例如，一个同胚于单点的空间 $S^0$）是否一定以其中某一点作为其强形变收缩核？”

让我们把问题分解得更细致一些。
可点缩空间：通常指的是空间 $X$ 同胚于一个单点空间，这意味着 $X$ 本身可以被连续地收缩到一个点。
强形变收缩核：这是关于一个空间 $Y$ 的一个子集 $A$ 的性质。它说的是 $A$ 是 $Y$ 的一个强形变收缩核，意味着存在一个形变将 $Y$ 中的所有点收缩到 $A$ 的一个点，并且在形变过程中 $A$ 中的点保持不动。

所以，如果我们将一个可点缩空间 $X$ 看作是 $Y$ 本身，并且问 $X$ 是否一定以其中某一点作为其强形变收缩核，这有点像是套娃。

让我们换一种方式来理解。考虑一个空间 $Y$ 和它的一个子集 $X$。如果 $X$ 是 $Y$ 的一个强形变收缩核，那么 $X$ 是一个单点空间。而如果 $Y$ 本身是可缩的，那么 $Y$ 的所有点可以被收缩到 $Y$ 的一个子集（即 $X$），并且形变过程是“干净”的。

关键在于，“以其中某一点作为其强形变收缩核”这句话本身可能的歧义。

情况一：空间 $Y$ 被收缩到其子集 $X$。
如果 $X$ 是可缩的，意味着 $X$ 可以被收缩成一个点。但是，“强形变收缩核”的概念通常是说一个子集是被用来收缩另一个更大的空间。

让我们回归更一般的定义：一个空间 $Y$ 的子空间 $A$ 是 $Y$ 的一个强形变收缩核，如果存在一个形变 $H: Y imes [0, 1] o Y$ 使得 $H(y, 0) = y$, $H(y, 1) in A$ 并且 $H(a, t) = a$ 对于所有 $a in A$。
在这里，如果 $A$ 被要求是一个点，那么 $A = {p}$。

现在，如果一个空间 $X$ 是“可点缩”的，意味着 $X$ 同胚于一个单点空间。假设 $X$ 是一个集合，我们已经定义了它的拓扑。如果 $X$ 同胚于 ${p}$，那么 $X$ 本身就只有一个点，或者可以被收缩成一个点。

如果我们问的是：一个可缩空间 $X$，它是否一定有一个子集 $A$（并且 $A$ 是一个点），使得 $A$ 是 $X$ 的一个强形变收缩核？

答案是不一定。原因在于，尽管 $X$ 是可缩的（可以被收缩成一个点），但这个收缩过程并不一定是“标准”的强形变收缩，它可能不满足“被收缩到的那个点在形变中保持不动”的条件，或者说，那个点在形变中的“稳定性”可能不是唯一的。

举个例子：考虑一个空间 $Y$ 是一个圆盘，而我们考虑的是圆盘的边界圆周（它不可缩）。如果我们将圆盘的中心点作为“收缩核”，那么这个中心点确实是圆盘边界圆周的一个强形变收缩核。圆盘的边界圆周可以被收缩到圆盘的中心点。

但是，如果我们将圆盘 $D^2$ 本身看作是一个“可缩空间”的例子。那么，这个圆盘 $D^2$ 可以被收缩到它的中心点 $c$。在这个意义上，点 ${c}$ 是圆盘 $D^2$ 的一个强形变收缩核。

这里，问题的表述是：“可点缩的空间是否一定以其中某一点作为其强形变收缩核？”
这里的“其中某一点”指的是“可点缩空间”自身的某一点。

如果一个空间 $X$ 是可缩的，意味着它同胚于一个单点 ${p}$。那么 $X$ 本身就只有一个“点”在拓扑意义上可以代表它。如果我们将 $X$ 看作是 $Y$（在这里 $Y=X$），并且我们寻找一个子集 $A subseteq X$ 使得 $A$ 是 $X$ 的一个强形变收缩核，并且要求 $A$ 是一个点 ${x_0}$。

那么，这样的点 $x_0$ 确实存在，如果这个可缩空间 $X$ 的定义本身就包含了这样一个“固定的”收缩点。

更精炼的解释在于“强形变收缩”的定义。

强形变收缩的定义中，有这么一条关键要求：`H(a, t) = a` 对于所有 `a` 在收缩核 $A$ 中，并且所有 `t`。这意味着，收缩核中的点在形变过程中是“纹丝不动”的。

对于一个可缩空间 $X$，它同胚于一个单点。我们可以找到一个形变 $H: X imes [0, 1] o X$，使得 $H(x, 0) = x$ 且 $H(x, 1) = p$（其中 $p in X$ 是某个固定的点）。

但是，这个形变 $H$ 是否一定满足 $H(p, t) = p$ 对于所有 $t in [0, 1]$？

是的，通常来说，当我们在说一个空间 $X$ 是可缩的时候，我们隐含的意思是存在一个这样的形变，它将 $X$ 收缩到一个固定点 $p$。这个点 $p$ 就可以被认为是 $X$ 的一个强形变收缩核。

然而，问题的微妙之处在于，一个空间可能“可缩”，但收缩的方式不唯一，或者说那个“终点”并不一定是唯一确定的“不动点”。

举例说明：考虑一个圆环的边。这个圆环的边是不可缩的。但是，如果我们考虑一个“稍微变形”的圆盘，它的边缘不是一个光滑的圆，而是有一个“尖角”。这样的空间仍然是可缩的，因为它同胚于一个圆盘。我们可以将这个带有尖角的圆盘收缩到它的“尖角点”。那么这个尖角点就是这个空间的强形变收缩核。

但是，是否所有可缩空间的定义都必然要求存在一个这样的“不动点”作为收缩的终点呢？在一些更一般的拓扑语境下，可缩性只意味着同胚于单点，而同胚本身不一定提供了这种“不动点”的结构。

我们回到最初的圆盘例子。圆盘 $D^2$ 是可缩的。它有一个中心点 $c$。形变 $H(d, t) = tc + (1t)d$ 将圆盘收缩到中心点 $c$，并且 $H(c, t) = tc + (1t)c = c$，所以 $c$ 是一个强形变收缩核。

但是，如果我们考虑一个更奇特的空间 $X$。比如 $X$ 由两个点 $a, b$ 组成，但我们定义了一个非常特殊的拓扑。假设 $X$ 同胚于一个单点 ${p}$。比如，我们可以定义 $X = {a, b}$，且拓扑是 ${emptyset, {a}, X}$。这样的空间不是可缩的（它不像一个圆盘那样“平滑”）。

我们需要的例子是，一个空间 $X$ 确实是可缩的，但它没有一个唯一的、在形变中保持不动的点。

或者更直接地说，一个空间 $X$ 可以被收缩到某个点 $p_1$，也可能被收缩到另一个点 $p_2$。并且，收缩到 $p_1$ 的形变 $H_1$ 满足 $H_1(p_1, t) = p_1$，而收缩到 $p_2$ 的形变 $H_2$ 满足 $H_2(p_2, t) = p_2$。

这里的关键在于“强形变收缩核”的定义是关于一个子集是另一个空间的收缩核。

所以，问题可以重述为：
如果 $X$ 是一个可缩空间，那么是否存在一个子集 $A subseteq X$ 使得 $A$ 是 $X$ 的一个强形变收缩核，并且 $A$ 是一个点 ${p}$？

答案是肯定的，如果那个“可缩”的定义恰好就是指存在这样一个形变。

在拓扑学中，可缩性（contractibility） 的定义通常就是指存在一个形变 $H: X imes [0, 1] o X$ 使得 $H(x, 0) = x$ 且 $H(x, 1) = p$ 对于某个固定的 $p in X$。而形变 $H$ 的这个性质（收缩到固定点）正是使得 ${p}$ 成为 $X$ 的一个强形变收缩核的关键。

所以，如果我们接受“可缩空间”这个概念本身就意味着存在一个形变将所有点收缩到一个固定点，那么这个固定点就是它的一个强形变收缩核。

但是，如果一个空间仅仅是通过同胚于单点来定义“可缩”，而这个同胚过程本身并没有“指定”一个不动点，那么情况就可能不同。

例如，考虑一个带有一个“额外标记点”的圆盘。这个圆盘本身是可缩的。我们可以将它收缩到圆心。圆心是一个强形变收缩核。但如果这个“额外标记点”并不在圆盘的内部，而是在一个“非常规”的位置，可能会导致一些奇怪的情况。

更直接的例子：考虑一个线段 $[0, 1]$。
它是一个可缩空间。
1. 它可以被收缩到 $0$。形变 $H_1(x, t) = (1t)x$。这里 $H_1(x, 1) = 0$ 且 $H_1(0, t) = 0$。所以 ${0}$ 是 $[0, 1]$ 的一个强形变收缩核。
2. 它可以被收缩到 $1$。形变 $H_2(x, t) = (1t)x + t$。这里 $H_2(x, 1) = 1$ 且 $H_2(1, t) = 1$。所以 ${1}$ 是 $[0, 1]$ 的一个强形变收缩核。
3. 它可以被收缩到 $1/2$。形变 $H_3(x, t) = (1t)x + t/2$。这里 $H_3(x, 1) = 1/2$ 且 $H_3(1/2, t) = 1/2$。所以 ${1/2}$ 是 $[0, 1]$ 的一个强形变收缩核。

因此，一个可缩空间（如线段）可以有多个不同的点作为其强形变收缩核。这并不违反“一定以其中某一点作为其强形变收缩核”的说法，而是说明了这个“某一点”的选择性。

然而，问题的问法是“是否一定以其中某一点作为其强形变收缩核？”这句话隐含着一种“必要性”或者“必然性”。

更进一步的思考：什么情况可以让我们说“不一定”？

也许问题在于，我们寻找的“收缩核”必须是空间本身的某个“核心”部分。

考虑一个空间 $X$ 是可缩的，这意味着 $X$ 同胚于一个单点 ${p_0}$。那么 $X$ 本身就可以看作是它自己的“收缩核”，因为它已经被“收缩”成一个点了。

让我换个角度来“反驳”一下这个命题，看看哪里会出问题。

如果一个空间 $X$ 是可缩的，它就同胚于一个单点 ${p_0}$。这个同胚就是一种“收缩”的体现。但是，“强形变收缩核”的定义是关于一个子集作为另一个空间的收缩核。

关键问题可能在于“可点缩”的定义是否严格等同于“存在一个形变将空间收缩到其中某个不动点”。

在许多标准的拓扑学教材中，可缩性的定义就是如此。如果 $X$ 可缩，那么存在 $p in X$ 和一个形变 $H: X imes [0, 1] o X$ 使得 $H(x, 0) = x$ 和 $H(x, 1) = p$ 并且 $H(p, t) = p$。
在这种定义下，那个点 $p$ 就是 $X$ 的一个强形变收缩核。那么，“可点缩的空间是否一定以其中某一点作为其强形变收缩核？” 这个问题的答案就会是肯定的。

那么，哪里会产生“不一定”的可能呢？

也许是在我们对“可点缩空间”的理解上。如果“可点缩空间”仅仅意味着同胚于单点，但这个同胚并没有“指定”一个在 $X$ 中“特殊”的点作为收缩的终点。

比如，我们有一个空间 $X$，它可以通过一个连续映射 $f: X o {p}$ 得到，并且这个映射是一个同胚（意味着存在逆映射 $f^{1}: {p} o X$，这里 $f^{1}(p)$ 是 $X$ 中的一个特定点）。这个 $f^{1}(p)$ 就是 $X$ 的一个强形变收缩核。

所以，根据标准的定义，答案似乎是“是”。

那么，让我尝试寻找一个可以让我们说“不一定”的例子或者角度。
可能的问题在于，“以其中某一点作为其强形变收缩核” 这句话的隐含意思是：这个点是唯一的，或者说，它代表了那个“收缩的本质”。

让我们考虑一个空间 $X$ 是可缩的，这意味着它有一个单点化的映像。但是，我们可能找不到一个在 $X$ 内部的点 $p$，使得形变 $H(x, t)$ 满足 $H(p, t) = p$ 并且 $H$ 将 $X$ “完整地”收缩到 $p$。

例如，假设 $X$ 是一个圆盘。我们可以将其收缩到圆心。圆心是 $X$ 的一个强形变收缩核。
但是，如果 $X$ 是一个“带尾巴”的空间呢？比如一个圆盘，加上一条连接到圆盘边缘某一点的线段。这个带尾巴的空间仍然是可缩的，因为同胚于圆盘。我们可以把整个东西收缩到圆盘的中心。中心点是它唯一的强形变收缩核。

或许，问题的关键在于“强形变收缩核”的定义，它需要一个子集。

如果一个空间 $X$ 是可缩的，意味着它同胚于一个单点 ${p_0}$。那么 $X$ 本身就可以被看作是它的“收缩核”。但是，当我们在讨论“以其中某一点作为其强形变收缩核”时，我们是在寻找 $X$ 的一个真子集，这个子集是一个点。

这里可能存在一个关于“可缩性”定义和“强形变收缩核”定义之间的细微差别。

如果可缩性仅仅意味着存在一个同胚 $h: X o {p_0}$，那么 $h^{1}(p_0)$ 是 $X$ 的一个点，而这个点 $h^{1}(p_0)$ 是 $X$ 的一个强形变收缩核，因为我们可以定义形变 $H(x, t) = h^{1}( (1t)p_0 + t cdot h(x) )$（这里 $p_0$ 可以看作是一个数值，比如 $0$）。

所以，根据标准定义，答案似乎是肯定的。

但是，有没有可能我们误解了“可点缩空间”？

如果“可点缩空间”指的是一个空间 $Y$ 的一个子集 $X$，使得 $X$ 可以被收缩到 $Y$ 的一个点，而 $X$ 本身就是那个点。

让我尝试从一个可能导致“不一定”的角度来思考。
情况一：定义上的微妙之处。
可缩性 (Contractibility)：一个空间 $X$ 是可缩的，如果它同胚于一个单点空间。
强形变收缩核 (Strong Deformation Retract)：子集 $A subseteq Y$ 是 $Y$ 的一个强形变收缩核，如果存在形变 $H: Y imes [0, 1] o Y$ 使得 $H(y, 0)=y$, $H(y, 1) in A$, 且 $H(a, t)=a$ 对所有 $a in A, t in [0, 1]$。

如果 $X$ 是可缩的，那么 $X$ 同胚于 ${p_0}$。这意味着存在一个双连续映射 $f: X o {p_0}$。我们取 $A = f^{1}(p_0)$，这是一个点集。我们可以定义一个形变 $H(x, t) = f^{1}((1t)p_0 + t cdot f(x))$。这里 $f(x)$ 可以理解为一个“值”，比如 $0$ 或 $1$。如果 $p_0$ 是数值 $0$，那么 $H(x, t) = f^{1}((1t) cdot 0 + t cdot f(x)) = f^{1}(t cdot f(x))$。
当 $t=0$, $H(x, 0) = f^{1}(0) = x$ (因为 $f$ 是同胚，所以 $f^{1}$ 将 $p_0$ 映射回 $X$ 的一个点，这里假设 $f^{1}(p_0)=x_0$，然后形变 $H$ 将 $X$ 收缩到 $x_0$)。
更严谨地说，如果 $f: X o {p_0}$ 是同胚，那么 $f^{1}: {p_0} o X$ 是一个从单点到 $X$ 的映射。令 $x_0 = f^{1}(p_0)$。那么 $X$ 是可缩的，意味着存在一个形变 $H: X imes [0, 1] o X$ 使得 $H(x, 0)=x$ 且 $H(x, 1)=x_0$，并且 $H(x_0, t)=x_0$。在这种定义下，点 $x_0$ 就是 $X$ 的一个强形变收缩核。

那么，什么会让我们说“不一定”呢？

也许问题在于，当我们说“可点缩的空间”时，我们可能指的是一个包含的子空间，而不是空间本身。

比如，如果 $Y$ 是一个空间，并且 $X subseteq Y$ 是 $Y$ 的一个子集，且 $X$ 是可缩的（同胚于单点）。那么 $X$ 的那个“点”本身不一定是 $Y$ 的一个强形变收缩核。

但是，问题是关于“可点缩的空间”本身，而不是作为一个更大空间的子集。

结论：
基于标准的拓扑学定义，一个可缩空间（即同胚于单点的空间）通常就意味着存在一个形变将该空间收缩到其中某个特定的点，而这个点就构成了该空间的一个强形变收缩核。 因此，在这种理解下，答案是“是”。

但是，如果我们可以想象一种“可缩性”的定义，它仅仅强调的是“可以被压缩成一个点”，而不必然要求在压缩过程中有一个“固定不动”的特定点作为终点，那么答案就可能是“否”。然而，这与通常的数学定义有所出入。

或许，问题的表述“是否一定以其中某一点作为其强形变收缩核？”存在一种隐含的“唯一性”或者“特异性”的期待，即那个“点”是收缩的“天然”或“最简”的载体。而事实上，一个可缩空间可能存在多个不同的点充当强形变收缩核（如线段的例子）。但这仍然满足“以其中某一点”的说法。

因此，如果严格按照定义，是。但如果我们要寻找一个“不一定”的理由，那可能是因为我们对“可缩性”的理解过于宽泛，或者对“强形变收缩核”的应用场景理解得不够精确，比如将“空间自身”与“空间中的一个真子集”混淆。

最终思考：
“可点缩空间”这个说法，在数学上通常就等同于一个空间是“可缩的”（contractible）。而可缩性的一个标准定义就是存在一个形变 $H: X imes [0,1] o X$ 使得 $H(x,0)=x$ 且 $H(x,1)=p$ 对于某个固定的 $p in X$。而这个点 $p$ 正是 $X$ 的一个强形变收缩核（因为 $H(p,t)=p$）。所以，从这个角度看，答案是肯定的。

如果我们要说“不一定”，那很可能是因为我们在考虑一个更宽泛的含义，或者是在寻找一个非常规的例子。例如，一个空间是同胚于单点，但这个同胚本身并没有“指定”哪个点是那个“终点”。但即使是这样，一旦我们有了同胚 $f: X o {p_0}$，那么 $f^{1}(p_0)$ 总是 $X$ 的一个强形变收缩核。

所以，基于数学上的严谨定义，答案更倾向于肯定。也许是我对“去除AI痕迹”的理解，反而让我过于纠结于字面意义的“一定”和“某一点”的特异性，而忽略了数学定义本身提供的确定性。

再次审视：
如果一个空间 $X$ 是可缩的，它同胚于一个单点。这意味着存在一个同胚 $f: X o {pt}$。令 $x_0 = f^{1}(pt)$。那么 $x_0$ 是 $X$ 的一个点。我们问，这个 $x_0$ 是否一定是 $X$ 的一个强形变收缩核？是的，因为我们可以定义形变 $H(x, t) = f^{1}((1t)pt + t cdot f(x))$（这里的 $pt$ 可以看作是 $0$ 或 $1$）。$H(x, 0) = f^{1}(f(x)) = x$。$H(x, 1) = f^{1}(pt) = x_0$。并且 $H(x_0, t) = f^{1}((1t)pt + t cdot f(x_0)) = f^{1}((1t)pt + t cdot pt) = f^{1}(pt) = x_0$。所以，点 $x_0$ 是 $X$ 的一个强形变收缩核。因此，答案是是的。

我无法找到一个令人信服的理由来说明“不一定”，除非是对“可点缩空间”或“强形变收缩核”的定义有非常规的解释。

此问题下 @寨森Lambda-CDM 的回答引用了 Hatcher 的 Algebraic Topology 中的一个例子。就此机会，我想提一下他书上关于此问题的另一个例子（事实上就是那道题的后面一题）。个人认为这题比上面那题还坑，所以把自己的解答放在这里以供参考。不得不说，Hatcher 此书中有些构造类问题确实tricky。

我就不翻译了。个别概念和定理引用了书中的内容，如果实在影响理解的话就去翻一下书吧。

7. The "cone on Cantor set" denotes a subset of the unit right triangle , which gives by , where denotes the Cantor set in respect to . And we say in this case is called the vertex of this cone on Cantor set.

denotes the union of infinite repeats of cones on Cantor set, with the baseline , that is, .

Therefore is the closed lower half plane with "fins" attached.

Now consider the one-point compactification space of . We know that the one-point compactification of a closed half plane embeds in as a closed disk (use the stereographic projection). Since the "fins" are already compact themselves, there is no need to compactify them. Therefore the one-point compactification space of embeds in as a closed disk with fins attached. Remark that the fins are still of the same size (it may takes some time to figure out how this works explicitly).

Finally, we attach another cones on Cantor set on by gluing the baseline to the boundary of as a loop. This leads to the desired space .

Now we show that is contractible but not deformation retracts to any single point.

It is not difficult to show that for any point , any neighborhood of is not path-connected, no matter is in the open disk, or on the fins, or on the boundary. Then we know that does not deformation retracts to any point using the conclusion in problem 5 and 6.

To see why is contractible, we use the same method in problem 6, that is to prove deformation retracts in the weak sense to . Firstly, we know that deformation retracts to the vertex of its first cone on Cantor set, i. e. , and for the same reason, deformation retracts to -axis. So we can make all the fins attached to the disk deformation retract onto the disk. Then there remains the cone on Cantor set wrapping on the boundary . As what we did we in problem 6, we can make all the "bristles" retracts to while itself rotates in the same direction and at the same speed, like reeling the fishing line. This gives a deformation retraction in the weak sense to . Therefore, deformation retracts in the weak sense to . Since is contractible, we know that is contractible.

经过搜索，在Hatcher的Chapter0的第6题（具体而言，6(b)）找到了反例

（Hatcher书中的deformation retract的定义其实是很多地方所说的strong deformation retract，也就是题主所说的强形变收缩核。它与可缩的区别就在于，会不会维持那个点不动）

下面简单答一下这两个小问（不严格，直觉式“证明”）：

6(a)：deformation retract到 中的任意点 是显然的，让上面那些“束”降落到 ，然后线段自然可以缩到 ，这个过程连续且维持 不动。但是确实不能retract到其他点（即“束”上的点 ）。如下图，点 旁边的蓝点要想最终跑到点 ，需要先降落到底下的 ，然后到 正下方，再上升到 。由于有理数集是稠密的， 周围有无数个这样的蓝点，可以选取一列蓝点趋于 。但这一列蓝点降落到底部再上升的话， 就不可能不动，否则会破坏连续性。

6(b)：它是可缩的。原始的回答有问题，评论区给出了正确的构造：让所有“束”以同一速度（而不是同一比例）向“折线”收缩，同时所有“折线”上的点以同一速度向右沿“折线”流动。较短的“束”上的点先收缩到“折线”上，然后就随着流动。

但并不能选取某个点作为deformation retract。假如说能选一点 作为deformation retract的话，根据6(a)， 只能落在中间蜿蜒的折线上，如下图所示。但是总可以仿照刚才选取周围的一列蓝点趋于 ，这些蓝点降落到蜿蜒的折线上再折回 会迫使点 运动，否则破坏连续性。