为什么很少人用FFT加速CNN卷积层的运算？
这个问题提得很有意思，也切中了深度学习优化中的一个重要方向。确实，FFT（快速傅里叶变换）在信号处理领域是加速卷积的利器，但在CNN中却不像想象中那样普及，这背后有几个关键原因，我们一点点拆解开来聊聊。
首先，得明确一点，FFT加速卷积的原理是什么？
FFT加速卷积的数学基础：卷积定理
在信号处理中，卷积操作可以被看作是两个信号在时域（或空间域）的“滑动叠加”。计算量是比较大的，尤其是在处理长序列或者高维数据时。
卷积定理告诉我们一个非常重要的事实：两个信号的卷积，等于它们在频域（傅里叶变换后）对应元素的乘积，再进行傅里叶逆变换（IFFT）。
用数学公式来表示就是：
$y(t) = (x h)(t)$ （时域卷积）
其中，$x(t)$ 是输入信号，$h(t)$ 是卷积核（滤波器），$y(t)$ 是输出信号。
根据卷积定理：
$Y(f) = X(f) cdot H(f)$ （频域相乘）
其中，$X(f) = mathcal{F}{x(t)}$ 是输入信号的傅里叶变换， $H(f) = mathcal{F}{h(t)}$ 是卷积核的傅里叶变换， $Y(f) = mathcal{F}{y(t)}$ 是输出信号的傅里叶变换。
要得到时域的输出 $y(t)$，只需要对 $Y(f)$ 进行傅里叶逆变换：
$y(t) = mathcal{F}^{1}{Y(f)} = mathcal{F}^{1}{X(f) cdot H(f)}$
为什么说FFT能加速？
在计算机中，我们可以通过FFT算法来高效地计算傅里叶变换，其时间复杂度大约是 $O(N log N)$，其中 N 是信号的长度。而直接在时域进行卷积的时间复杂度是 $O(N cdot M)$，其中 M 是卷积核的长度。当 N 远大于 M 时，$O(N log N)$ 远小于 $O(N cdot M)$。
举个例子，比如输入图像是 $256 imes 256$，卷积核是 $3 imes 3$。如果直接做卷积，每个输出像素都需要做 $3 imes 3 = 9$ 次乘法和 $3 imes 3 1 = 8$ 次加法。总的计算量会非常大。
而使用FFT，我们先把输入图像和卷积核都通过FFT变换到频域。这里就需要对整个输入图像进行FFT，以及对卷积核进行FFT。然后将两者在频域进行逐点乘法，最后再通过IFFT将结果转换回时域。
看起来很美好，但为什么CNN中不那么用？
尽管理论上FFT加速卷积是成立的，但真正将它应用到CNN的卷积层中，会遇到不少实际的挑战和瓶颈：
1. CNN卷积核的特性与假设的差异：
小尺寸卷积核： 这是最核心的原因之一。现代CNN大量使用小型卷积核，比如 $3 imes 3$、$5 imes 5$ 甚至是 $1 imes 1$。当卷积核尺寸很小时，直接在时域进行的卷积计算量并不像FFT理论上优化的那样“巨大”。在这种情况下，FFT变换和逆变换本身的开销（傅里叶变换的计算量、内存访问等）可能会超过直接时域卷积带来的收益。
卷积核的稀疏性和共享： CNN学习到的卷积核通常是稀疏的，并且在不同层、不同位置都会共享。FFT将卷积核变成了频域表示，这个频域表示的稀疏性不如时域卷积核那么直观和易于利用。而且，如果你想利用卷积核共享来加速，那么在频域中，如何高效地识别和利用这些共享的频域滤波器是一个问题。
多通道输入/输出： 真实的CNN卷积层通常处理的是多通道的输入（例如 RGB 三通道图像）和多通道的输出（不同滤波器生成不同特征图）。虽然FFT可以推广到多维数据，但处理多通道时，需要在通道之间进行一些特殊的处理，这会增加实现的复杂度。一种常见的方法是“向量化”或“分块”策略，但并不直接。
2. FFT的实现和硬件优化：
内存访问模式： FFT算法的计算过程涉及到复杂的蝴蝶结构（butterfly operations），这会导致非局部的内存访问模式。现代GPU和CPU的内存系统设计更倾向于局部性强的访问模式，以便充分利用缓存（cache）和带宽。FFT的非局部访问可能会导致缓存命中率低，从而抵消计算速度的优势。
并行化复杂性： 虽然FFT是高度可并行的算法，但其并行化实现（尤其是在高度优化的硬件上）比直接的卷积实现要复杂得多。GPU上现成的卷积库（如 cuDNN）已经针对卷积的局部性和数据重用性进行了极致的优化。
FFT的“边缘效应”和填充： 为了使用FFT加速卷积，我们通常需要将输入数据进行填充（padding），使得填充后的尺寸是FFT算法最容易处理的（通常是2的幂次方）。这个填充过程会增加计算的数据量，并且在FFT逆变换后，需要去除填充部分，这会引入一些额外的开销和潜在的精度问题。
3. 精度问题：
FFT涉及到复数运算，并且在变换和逆变换过程中可能会引入浮点数的累积误差。虽然现代浮点数精度已经很高，但在深度学习这种对精度敏感的领域，长链的FFT/IFFT操作可能会对最终的精度产生不易察觉的影响，尤其是当使用低精度浮点数（如FP16）时。
4. 库和框架的成熟度：
主流的深度学习框架（如 TensorFlow, PyTorch）及其底层的计算库（如 cuDNN, MKLDNN/oneDNN）都提供了高度优化的卷积实现。这些实现已经针对各种硬件平台进行了详尽的调优，能够非常好地处理小尺寸卷积核、多通道等情况。要让一个基于FFT的卷积实现能够超越这些高度优化的库，需要付出巨大的工程努力，并且在特定场景下才能看到收益。
5. 特定场景下的应用：
尽管不普及，但在某些特定场景下，FFT加速卷积的方法是有价值的。例如：
超大尺寸的卷积核： 如果研究方向是使用非常大的卷积核（比如 $31 imes 31$ 或更大），那么FFT加速的效果就会非常明显。
特定信号处理背景的神经网络： 某些研究会结合信号处理的理论，可能会引入使用FFT的层。
一些优化库或研究项目： 有些研究团队或库作者会尝试实现FFT加速的卷积，并可能在特定硬件或任务上展示其优势。例如，一些针对大规模模型或特定算子优化的库会包含FFT卷积的选项。
总结一下，为什么FFT加速CNN卷积不普及：
卷积核小： 现代CNN多用小尺寸卷积核，FFT的优势在这种情况下不明显，甚至会被自身开销抵消。
硬件优化： GPU等硬件为局部计算优化得非常好，FFT的非局部计算模式是短板。
实现复杂： 处理多通道、填充、复数运算等增加了实现的复杂性和潜在的精度风险。
已有成熟方案： 主流框架和库的直接卷积实现已经非常高效。
所以，虽然FFT在信号处理中是加速卷积的绝佳工具，但在CNN这个特定的应用场景下，由于其自身的特点和硬件环境，直接在时域进行的卷积（通常是winograd算法或im2col+GEMM等混合优化策略）是更主流和高效的选择。
理解这一点，对于我们理解深度学习的算子优化非常有帮助。它告诉我们，理论上的优化方法，最终落地到实际应用，还需要考虑硬件特性、数据特性和工程实现难度等多方面的因素。
首先，得明确一点，FFT加速卷积的原理是什么？
FFT加速卷积的数学基础：卷积定理
在信号处理中，卷积操作可以被看作是两个信号在时域（或空间域）的“滑动叠加”。计算量是比较大的，尤其是在处理长序列或者高维数据时。
卷积定理告诉我们一个非常重要的事实：两个信号的卷积，等于它们在频域（傅里叶变换后）对应元素的乘积，再进行傅里叶逆变换（IFFT）。
用数学公式来表示就是：
$y(t) = (x h)(t)$ （时域卷积）
其中，$x(t)$ 是输入信号，$h(t)$ 是卷积核（滤波器），$y(t)$ 是输出信号。
根据卷积定理：
$Y(f) = X(f) cdot H(f)$ （频域相乘）
其中，$X(f) = mathcal{F}{x(t)}$ 是输入信号的傅里叶变换， $H(f) = mathcal{F}{h(t)}$ 是卷积核的傅里叶变换， $Y(f) = mathcal{F}{y(t)}$ 是输出信号的傅里叶变换。
要得到时域的输出 $y(t)$，只需要对 $Y(f)$ 进行傅里叶逆变换：
$y(t) = mathcal{F}^{1}{Y(f)} = mathcal{F}^{1}{X(f) cdot H(f)}$
为什么说FFT能加速？
在计算机中，我们可以通过FFT算法来高效地计算傅里叶变换，其时间复杂度大约是 $O(N log N)$，其中 N 是信号的长度。而直接在时域进行卷积的时间复杂度是 $O(N cdot M)$，其中 M 是卷积核的长度。当 N 远大于 M 时，$O(N log N)$ 远小于 $O(N cdot M)$。
举个例子，比如输入图像是 $256 imes 256$，卷积核是 $3 imes 3$。如果直接做卷积，每个输出像素都需要做 $3 imes 3 = 9$ 次乘法和 $3 imes 3 1 = 8$ 次加法。总的计算量会非常大。
而使用FFT，我们先把输入图像和卷积核都通过FFT变换到频域。这里就需要对整个输入图像进行FFT，以及对卷积核进行FFT。然后将两者在频域进行逐点乘法，最后再通过IFFT将结果转换回时域。
看起来很美好，但为什么CNN中不那么用？
尽管理论上FFT加速卷积是成立的，但真正将它应用到CNN的卷积层中，会遇到不少实际的挑战和瓶颈：
1. CNN卷积核的特性与假设的差异：
小尺寸卷积核： 这是最核心的原因之一。现代CNN大量使用小型卷积核，比如 $3 imes 3$、$5 imes 5$ 甚至是 $1 imes 1$。当卷积核尺寸很小时，直接在时域进行的卷积计算量并不像FFT理论上优化的那样“巨大”。在这种情况下，FFT变换和逆变换本身的开销（傅里叶变换的计算量、内存访问等）可能会超过直接时域卷积带来的收益。
卷积核的稀疏性和共享： CNN学习到的卷积核通常是稀疏的，并且在不同层、不同位置都会共享。FFT将卷积核变成了频域表示，这个频域表示的稀疏性不如时域卷积核那么直观和易于利用。而且，如果你想利用卷积核共享来加速，那么在频域中，如何高效地识别和利用这些共享的频域滤波器是一个问题。
多通道输入/输出： 真实的CNN卷积层通常处理的是多通道的输入（例如 RGB 三通道图像）和多通道的输出（不同滤波器生成不同特征图）。虽然FFT可以推广到多维数据，但处理多通道时，需要在通道之间进行一些特殊的处理，这会增加实现的复杂度。一种常见的方法是“向量化”或“分块”策略，但并不直接。
2. FFT的实现和硬件优化：
内存访问模式： FFT算法的计算过程涉及到复杂的蝴蝶结构（butterfly operations），这会导致非局部的内存访问模式。现代GPU和CPU的内存系统设计更倾向于局部性强的访问模式，以便充分利用缓存（cache）和带宽。FFT的非局部访问可能会导致缓存命中率低，从而抵消计算速度的优势。
并行化复杂性： 虽然FFT是高度可并行的算法，但其并行化实现（尤其是在高度优化的硬件上）比直接的卷积实现要复杂得多。GPU上现成的卷积库（如 cuDNN）已经针对卷积的局部性和数据重用性进行了极致的优化。
FFT的“边缘效应”和填充： 为了使用FFT加速卷积，我们通常需要将输入数据进行填充（padding），使得填充后的尺寸是FFT算法最容易处理的（通常是2的幂次方）。这个填充过程会增加计算的数据量，并且在FFT逆变换后，需要去除填充部分，这会引入一些额外的开销和潜在的精度问题。
3. 精度问题：
FFT涉及到复数运算，并且在变换和逆变换过程中可能会引入浮点数的累积误差。虽然现代浮点数精度已经很高，但在深度学习这种对精度敏感的领域，长链的FFT/IFFT操作可能会对最终的精度产生不易察觉的影响，尤其是当使用低精度浮点数（如FP16）时。
4. 库和框架的成熟度：
主流的深度学习框架（如 TensorFlow, PyTorch）及其底层的计算库（如 cuDNN, MKLDNN/oneDNN）都提供了高度优化的卷积实现。这些实现已经针对各种硬件平台进行了详尽的调优，能够非常好地处理小尺寸卷积核、多通道等情况。要让一个基于FFT的卷积实现能够超越这些高度优化的库，需要付出巨大的工程努力，并且在特定场景下才能看到收益。
5. 特定场景下的应用：
尽管不普及，但在某些特定场景下，FFT加速卷积的方法是有价值的。例如：
超大尺寸的卷积核： 如果研究方向是使用非常大的卷积核（比如 $31 imes 31$ 或更大），那么FFT加速的效果就会非常明显。
特定信号处理背景的神经网络： 某些研究会结合信号处理的理论，可能会引入使用FFT的层。
一些优化库或研究项目： 有些研究团队或库作者会尝试实现FFT加速的卷积，并可能在特定硬件或任务上展示其优势。例如，一些针对大规模模型或特定算子优化的库会包含FFT卷积的选项。
总结一下，为什么FFT加速CNN卷积不普及：
卷积核小： 现代CNN多用小尺寸卷积核，FFT的优势在这种情况下不明显，甚至会被自身开销抵消。
硬件优化： GPU等硬件为局部计算优化得非常好，FFT的非局部计算模式是短板。
实现复杂： 处理多通道、填充、复数运算等增加了实现的复杂性和潜在的精度风险。
已有成熟方案： 主流框架和库的直接卷积实现已经非常高效。
所以，虽然FFT在信号处理中是加速卷积的绝佳工具，但在CNN这个特定的应用场景下，由于其自身的特点和硬件环境，直接在时域进行的卷积（通常是winograd算法或im2col+GEMM等混合优化策略）是更主流和高效的选择。
理解这一点，对于我们理解深度学习的算子优化非常有帮助。它告诉我们，理论上的优化方法，最终落地到实际应用，还需要考虑硬件特性、数据特性和工程实现难度等多方面的因素。
网友意见
斯坦福的cs231n课程里面讲cnn的那几节课有讲到过，你可以去看一看。
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